Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Теорема 2. Любойряд 2,'с„(» — »ь)" = '> с „(» — »ь) "+ 2 с„(» — »ь)" вкольцесходимосх гн е»а сти 1', л является рядом Лорана своей суммы. Из этой теоремы, в частности, следует, что разложение аналитической функции Г в кольце )г, л в ряд по целым степеням» вЂ” »ь единственное. Формула (2) для коэффициентов ряда Лорана на практике применяется редко, поскольку требуется вычислять интегралы. Поэтому для получения лорановских разложений можно воспользоваться любым законным приемом.
Гл. 5. Ряды аналитических функций. Изолираваииые особые точки Отсюда заключаем, что точка г = 2! является простым полюсом функции /. Аналогично получим разложение функции 1 в ряд Лорана в проколотой окрестности точки г, Ъ'~'4 — — (г б С ~ О < !г + 2й < 4), с помощью которого убедимся в том, что гочка г! = -2! также является простым полюсом функции 1.
Прммер 3. Функции г 1(г) = г!и „!, аналитическая в проколотой окрестности 1'ь (г б С ( О < !г — 1~ < со). Раздол!ение этой функции в ряд Лорана в )~ имеет вид 1 ! ! 5!и — = —— г — ! г — ! 3!(г — 1)! из которого следует, что г = ! — существенно особая точка функции 1. 2.3. Поведение аналитической функции при подходе к изолированной особой точке. Поведение аналитической функции в окрестности устранимой особой точки полностью описывается следующими двумя утверждениями. Теорема 1. Если лри нодходе к июяированной особой точке г = а функция 1 ограниченная ияи имеет норядок рости меньше единицы, то г = а — устраниыая особая точка. м Пусть функция 1 в окрестности точки г = а удовлетворяет неравенству М (Т(г)(<, О<а<1.
!г — а! Тогда чп б (!( получим: 1 )с (= — Г(г)(г — а)~ 'дг < — р" ' '2лр=Мр" 2л! / 2чг г, Принимая во внимание, что и — а > О, а р можно выбрать как )тодно малым, имеем с „= О !уп б И . Следовательно, г = а — устранимая особая точка. М Теорема 2. При нодходе к устранимой особой точке г = а функция 1 имеет конечный предел, и если его оринеть в качестве значения функции в точке г = а, то 1 становится аналитической функцией в точке а. М При г Е )ь я = (г б С ! О < 1г — а~ < Л) 1(г) = со+ 2 с„(» — а)", откуда !пп 1(г) = сь. =! Лоопределим функцию 1 в точке г = а равенством 1(а) = сь, Тогда разложение 1(г) = сь+ 2 с„(г — а)" будет справедливым в круге Кл — — (г Е С; !г — а( < К).
Ряд Лорана пре=! образуется в ряд Тейлора, а функция 1 становится аналитической в круге Кз, и, в частности, в точке г = а. М В дальнейшем, как правило, будем считать устранимые особые точки точками аналитичности соответствующих функций.
Поведение функции в окрестности полюса устанавливается следующей теоремой. Теорема 3. Изогированнач особая точка г = а функции 1 является нолюсом тогда и только тогда, когда !ьш 1(г) = со. М Необходимость. Пуси г = а — полюс функции г порядка р. При г б )гь л имеем 1(г)т е -!- " +... = ~~! с„(г — а)", с рфб. (г — а)е (г — а)е 1(г) = ~~ с (г — а) = ~~~ с (г — а) 1! (г) (2) (г — а)я (г — а)я (г а)г =о где 1! — аналитическая в круге Кя = (г б С: )г — а! < Я) функция, 1!(а) = се = е р зь О. Из (2) следует (1).
й 2. Рад Лорана и изолированные особые точки аналитических фуикпвй 223 Итак, при подходе к полюсу функции у она стремится к бесконечности, и чем выше порядок полюса, тем быстрее это стремление. Достаточность. Пусть з = а — изолированная особая точка функции у и 1пп г(з) = со. Очевидно, сушествует проколотая окрестность точки а, в которой ~(з) ф О. Поэтому точка з = а является изолированной особой точкой функции з ьч )з(з) = — и 11гпш(з) = О, т.е.
а— пю устранимая особая точка функции ш. Устраним ее, полагая р(0) = О, и пусть з = а — нуль функции ш кратности р. Тогда согласно формуле (3), и. 1.8., имеем ш(з) = (з — а)зр,(з), где (о,(з) р 0 в окреспюсти точки з = а. Следовательно, 1 1 з(з) = ф(г), (г — а)я(о~(з) (з — а)я где ф — аналитическая в точке = = а функция и ф(а) ф О. Представим ее в окрестности точки з = а рядом Тейлора: ф(з) = ~~~ с„(з — а)", сь — — ф(а) ф О. =ь Тогда у(з) = ~~ь с (з — а)" ", =а т. е. точка з = а — полюс функции у порядка р, т Следствие. Точка з = а является тыюсам функции / порядка р тогда и только тогда, когда функция ш = — (р ~ 0) аназитическая в точке а, и точка а — ее нуль кратности р.
2 7 Из проведенных выше рассуждений следует такое утверждение. Теорема 4. Для того чтобы изолированная особая точка з = а функции у оыла ее существенно особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы у не имела предела при з а. Углублением и уточнением теоремы 4 являеюл следующее утверждение. Теорема 5 (Сохоцко го). В окрестности существенно особой точки аналитическая функция принимает значения как угодно близкие любому наперед заданному числу расшцренной комплексной плоскостш Другими словами, если з = а — существенно особая точка функции у, то з(А е с найдется такая последовательность (з„), з„-ч а, что 1пп у(з„) = А.
щ 1) Пусть А = сю. Функция г' не может быть ограниченной в окрестности точки з = а, поскольку в противном случае точка а была бы устранимой особой точкой. Поэтому в проколотой окрестности Уь и = (з б С ( 0 < )г — а~ < 22) найлется такая точка зш что 11'(зь)! > 1. Возьмем проколотую окреспгость )г )т ~ = (з Е С (0 < 1з — а! < --'- — 1 ) . В ней найдется такая точка гз, ь, т что ~ ((яз)~ > 2 и т д. В проколотой окрестности Р (гз щ = Тз Е С ! 0 < 1з — а( < ць„:-'-1 ) найдется ч такая точка з„, что 12(з„)) > и. Очевидно, что з„а и 1пп (у(з„)1 = +ос.
2) А ф оо. Здесь возможны два случая: 1') А-точки функции у имеют а своей предельной ючкой. Тогда, очевидно, найдется такая последовательность (з„), з„-ч а, что у(з„) А при п оо. Следовательно, утверждение справедливо. 2') сушествует проколотая окрестность точки з = а, в которой у(з) ф А. Тогда лля функции з р(з) = ' „точка з = а является изолированной особой точкой. Установим ее характер.
Рассмотрим возможные случаи. Допустим, что а — устраннмая особшз точка функции (р. Ч'бгда чз имеет конечный предел при подходе к ней: бш чз(я) = В и бгп у(я) = А+ — '. Отсюда следует, что если В т' О, то я = а является устранимой особой точкой функции у, а при В = О точка з = а — полюс функции у. Обе возмо;кности противоречат условию теоремы. Следовательно, з = а не может быть устраннмой особой точкой функции (о. 224 Гл.
5. Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки Допустим теперь, что» = а — полюс функции у!, т. е. 1пи Р(») = оо Л йш 1'(») = А. Следовательно, » = а — устранимая особая точка функции У, что снова противоречит условию теоремы. Таким образом, остается единственный возмозкный случай, что» = а — существенно особая точка функции р. Тогда, согласно доказанному в 1), существует такая последовательность (»„), »„ а, что 1ип (е(»„) = со л 1ци г'(»„) = А, ~ Рассмотрим пример.
! Пусть У(») = е* = 2 —,'„!» Е 1е ~ = (» Е С ! О < !»! < оэ), Здесь а = Π— существенно =О особая точка функции г. С помощью очевидных соотношений ! ! 1ии е= =со, йт е ° =О *= >о =*со о *-е проверяем утверждение теоремы Сохоцкого для А = оо и А = О. Пусть А ~ ( . Решим О ! уравнение е = А: 1 1 1 1 — = 1.иА, » — —— — п Е».. » ' 1.иА 1и (А)+ !'Лей А !п !А! + г(агд А -1-2п;г)' Пусть 1 1и!А! е !(а»в А+ 2и!г)' ! ! Очевидно, что»„- О, е ° = А, следовательно, йщ е* = А. Характерным в этом примере является то, что за исключением значений О и со, все остальные значения А достигаются не в пределе, а на целой последовательности.
Оказывается, что это не случайность, а общая тенденция. Об этом свидетельствует меорема Пикара, уточняющая теорему Сохоцкого и утверлщаюшая, что в окрестности существенно особой точки функция у принимает, причем бесконечное число раз, любое конечное значение, за исключением, может быть, одного. Этим случаем для е * является нуль. 2.4. Бесконечная изолированная особая точка.
Пусть у — анюгитическая функция в области )гл — — (» Е С ! В < !»! < оо). Это означает, что точка» = со является изолированной особой точкой функции г. Представим функцию У в окрестности бесконечности рядом Лорана 1'(») = ~~! с„»". Члены ряла 2 с„»" с неположительными степенями» образуют его правильную часть, а с положительными — его главную часть. Харис»ар особой точки» = оо определяется, как и в случае конечной особой точки, главной частью ряда Лорана, а именно: точка» = со явшется соответственно устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой в зависимости от того, отсуютвует ли главная часть в разложении (1), содер;кит ли главная часть конечное или бесконечное число членов.
Например, функция» ! у(») = —,' имеет на бесконечности устранимую особую точку, функция» ~+ !р(») = » имеет на бесконечности полюс первого порядка, а функция » 3 м » !-! гр(») = яи» = ~ (-1)" (2и+ 1)! =е имеет на бесконечности существенно особую точку. 4 2. Ряд Лорана и изолированные особые точки аналитических функций 225 Замечание 1. Все сказанное в и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
