Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Пусть а Ф О. Найти области схсдимости следующих рядов Лорана: а) 2 а «"=~,а«"+~,'а "« "; б)~,а "«"=~ а "«"+~ а "« "; в) ') а !м«" =~ а "«" +~ а-"«-". 14. Найти разложения в ряды Лорана в соответствующих областях по степеням « — «е следующих функций: а)« — *, «»=1; б)« -соз-г+ — *, «»=О в)« —,-' — «»=О 15. Разложить в ряды Лорана в указанных областях следующие функции: а) «! -,,!»!т;у — и при 1< ~«( <2; б) «!-»,—,! От! — г — !при ф > 2; в) «с!8«приО< ~4 <»г; г) «! с«8 «при х < )«) < 2»г. 16. Показать, что при всех «: О < !4 < со » ! а) сЬ («+ —,') = а» + ~ а„(«" + — '„), где а„= — ' 1» сЦ2 со« В) соз пВ г(В; » 2 б) е «*' = ~ а„«", где а„= — ',„( соз(сйиВ(1 — со«В) — пВ)е'~~~~' юВВ.
о 17. Показать, что область сходнмости ряда ~ — „,', „состоит нз внутренности и внешности единичной окружности, и что в каждой нз этих частей ряд представляет одну функцию. 18. Определить характер точки « = О для следующих функций: ! »» * 3 «» 2* а) е *; б) — ' — т', в) (е* — 1 — «)сгй «; г) в!з-г — г, д) е '-*. »»-.» — * »0!*-!!--* 2 19. Определить характер точки « = со для следующих функций: ,а „! »,, »2 а) — *,; б) соз« вЂ” ип«; в) -т; —, г) -т' — -»!.
20. Найти особые точки следующих функций; 21. Пусть сумма 1 степенного ряда ~ , 'а„«" имеет на границе круга сходнмости только одну особую точку «» — простой полюс. Показать, что в этом случае ча- — «» и, следовательно, !" — ~ -! Я, где Я вЂ” радиус сходимости ряда. 22. Доказать, по когда точка « = а является существенно особой точкой функции 1, то она остается существенно особой точкой и для функции «Р(1(«)), где Р(гз) — многочлен (Р(ы) ~ сопя!). 23. Доказать,что функциональное уравнение У(«) = ((й«), « Ф 1, не имеет решений, аналитических в точке « = О и отличных от тожлественной постоянной.
24. Пуси радиусы сходимости рядов ~,'а„«" и 2 Кеа»«" равны единице и Кеа» > О 'чл б Е». Доказать, что точка « = 1 является особой для сумм этих рядов. 25. Пуси функция 1 — аналитическая в области г» за исключением конечного числа полюсов и А б С. Доказать, что функция «» 7Яз)2 (логарифмическая производная функции У вЂ” А) имеет простые полюсы во всех полюсах функции у и во всех А-точках этой же функции н не имеет никаких других особых точек. Глава б Аналитическое продолжение Анализ ическое продолжение является одним из основных и важных понятий комплексного анализа.
Оно позволяет лучше понять природу функций комплексного переменного и наиболее естественно определить многозначные анкштические функции. Выясним, какие данные являются достаточными для определения аналитической фргкции во всей области ее существования, и как по этим данным можно построить аналитические выражения, определяющие функцию в этой области. В случае целой рациональной функции степени и достаточно знать ее значения в и+1 точках, чтобы определить ее на всей плоскости. Дги определения дробно-линейной функции, являющийся отношением двух целых много- членов степени ш и и, достаточно задать пг+ и Ч- 1 ее значений.
Но уже в случае целой трасценцентной функции недостаточно задать ее значения даже на бесконечном множестве дискретных точек. Например, условие Г(з) = О при з = йл ()е Е Х) может относиться к функциям г(з) = О, г(з) = йпз, г(з) = Аз(па, А = сопзг, В случае целой трансценденпюй функции достаточным является, например, задание значений функции и ее производных всех порядков в любой точке з,, поскольку по этим данным можно построить степенной ряд Е~"(" ' „", сходящийся во всех точках плоскости и, таким образом, опрелеляюший в ней функцию 7. Для определения функции, аналитической в замкнутой области, достаточно, согласно фор- муле Коши, знать ее значения на контуре.
Для определения непрерывной функции недостаточно знать даже все ее значения в какой-то области. Например, функцию [а, б[ Н можно продолзкить за сегмент [а, Ь[ неограниченным У количеством способов, не нарушая при этом непрерывности функции. Рассматривая класс аналитических функций, который вылеляется из совокупности всех не- прерывных функций требованием их дифференцируемости в области„мы увидим, что он имеет такое свойство, которое позволяет определить аналитическую функцию во всей области ее суше- ствования, зная: а) "элемент" этой функции, т. е. степенной ряд У (зе) (з — зе) , определяющий ее в круге сходимости, или б) значения этой функции в как угодно малой области, или, наконец, в) значения ее на как угодно малой дуге некоторой кривой.
После установления этого обстоятельства естественно поставить вопрос о том, как, имея аналитическую в некоторой области Ю функцию у, расширить область определения функции, т. е. построить новую область, содержащую обласп П, и определить в ней такую аналитическую фуикшпо, сужение которой на область Р совпадало бы с 7. Такое расширение области определения аналитической функции называется процессом ее аналитического продолжения, а полученное при этом аналитическое выражение, определяющее функцию в новой области — ее аналитическим продолжением. Необходимость такого расширения области определения функции возникает, напРимер, при нахождении Решенгш дифференциального уравнения в виде ряда, сходящегося внутри некоторого круга.
232 Гл. 6. Аналитическое продолжение ф 1. Основные понятия. Аналитическое продолжение вдоль пути 1.1. Свойство единственности аналитической функции. Определение аналитического продолжения. Теорема. Если функция У аналитическая в некоторой области Р и обращается в нуль в некоторой ее чаопи Р,, та У ев 0 ва всей области Р.
Ч Допустим, что З отлична от нуля в точке з = Ь той части области Р, которая лежит вне области Рь Соединим эту ® точку с любой точкой а б Р~ некоторой кривой Т, лежащей в Р (рис. 83). 12 Ь На некоторой дуге этой кривой„примыкающей к точке а, у(з) = О, а на некоторой дуге, примыкающей к Ь, Т(з) р О.
о Тогда существует такая точка ао б у, что ОУз б аз, з(з) = О, а на луге зоЬ есть точки, как угодно близкие к ло, в которых У(з) ф О. Поскольку функция У непрерывная, то должно выполняться равенство У(ло) = О, т.е. зо является неизолированным нулем функции Т. Зто посяеднее обстоятельство возможно лишь тогда, когда разложение функции Т в ряд Тейлора у о.аз в окрестности с центром в точке ло тождественно равно нулю. Но тогда У( ) буде~ равно нулю Гч и на некотором отрезке дуги л,Ь, примыкающем к точке зо, что невозможно в силу свойства точки зо. ь При доказательстве теоремы можно бьшо бы ограничи~ься требованием, чтобы функция У обращалась в нуль на некоторой кривой, лежащей в Р, поскольку тогда она обращается в нуль и в некотором круге с центром в олной из точек этой кривой.
Следствие. Если две функции Т~ и Ут, аналитические в некоторой области, принимают оди- наковые значения на некоторой части этой области или на отрезке кривом, лелсащей в аблистщ та з1 = зз ва всей области. Таким образом, задание элемента функции, аналитической в неко. горой области, или, вообще, задание ее значений в как угодно малой области или на кривой, а также на бесконечном множестве точек, имеющем огредельпуоо точку, полностью определяет функцию в области ее аналитичности. Определение 1. Пусть функция то определена на некотором множестве М С С. Акал ит и ч еским продолжением функции То в область Р 3 М называется аналитическая в области Р функция у, сузкенис которой Ям — — то.
Примеры: 1) Ь(х) = е*, М = 22; З(з) = е* = е' соху+ ое' з1п у, Р = С; 2) Уо(з) = ~ з, М = (з б С:!4 < 1); ((л) = —,',, Р = С~(1). =о Расширим понятие аналитического продолжения. Определение 2. Аналитическим элементом Р называется упорядоченнаяпара Р = (Р, (), состоящая из области Р С С и аналитической в этой области функции у. Определение 3. Два аналитических элемента Р, = (Рн У,) и Рз — — (Рз, Уз), обнести которых удааоетваряют условию Р, гт Рт ~ а, явлюатся непосредственным аналитическим продолжением друг друга через область гь — связную компоненту множество Р~ го Рз, если везде в ьь 7, = Уз. Заметим, что значения функций то и Зз в дРУгих связных компонентах пересечения Р, ГЗ Рз не обязательно доллсны совпадать.
Пример 1. Пусть Ро = гтя б С ~(з = ге™, -л < уо < л, г > 0), То(я) = т/ге ~, — л < уо < л, Рз = Тл б С ~ з = ге™, з < Зо < зл, г > 0), Тз(х) = т/ге з о Т < )о < з ' $1. Освовыые повгтыя. Аваяитьтеское продолзкеыие вдоль пути 233 Элемент Р, = (Рь, (,) определяет в г-гиоскости с разрезом вдоль отрицательной действительной полуоси функцию ~,, аналитичность которой следует из таких рассухсдений. Очевидно, что ш' = У,'(л) = гене = г, тлк что уь(з) = чью Поскольку ~, дает однолистное отображение области 23, на правую полуплоскость плоскости т, то существует г'(г) чз Е Р~ и эту производную можно найти по правилу дифференцирования обратной функции: 1 1 ! Л(з)= —., = — = — 2т 21'г(я) Таким образом, функция У, аналитическая в области Р,. Аналогично убеждаемся в том, что Рз = (Рг, Зз) также является аналитическим элементом.
Пересечение 2)~ О Рз ~ Я состоит из двух связных компонент Ь, и Ьг, представляющих собой соответственно второй и третий квадранты г-плоскости. Из определения функций У, и зг следует, что при з Е Ь~ ~~(з) = зз(з) и /~(з) е- Уг(г), есяи з Е Ь,. Следовательно, элементы Р, и Р, являются аналитическими продолжениями друг лруга через второй квалрант Ь,. Определеыие 4. Элементы Р = (В, У) и (2 = (6, д) явяяются аналитическцьщ продолжениями друг друга через области Ь, (и = О, п — 1), если существует такая цепочкаэлеиентов Р, = (В„, у,) (и = О, и), что: 1) Рь = Р Р = !'ь; 2) области 2), и 2) ь~ имеют непустое пересечение и Ь, является одной из коипонент этого пересечения; 3) элемент Рею является непосредственным аналитическим продолжением элемента Р„че- резЬ .
Пусть, например, В = (л Е С ~ г = ге', — — < р < г, г > 0), У(з) = чгге г, — г < 'г < г, С=(гЕС~ =веге, з <Р< г, г>0), з(г)=илге г, г <(э< Как н в примере 1, устанавливаем, что пары Р = (2), у) и () = (С, р) являются аналитическими элементами. Попочка элементов Р,, Рц Рз, где Рь — — Р, Р, = (3, а Р, = (2)н /,) определяется равенствами *к 2)~ = (л Е С ~ з = ге ~, 0 < уь < к, г > 0), у>(з) = чг е* г, О < )з < я показывает, что элементы Р и гд являются аналитическими прслолжениями друг друга в смысле опрелеления 4. При этом Ь, —,первый квадрант, а Ь, — второй квадрант з-плоскости.
Для простоты последующих рассуждений конкретизируем понятие анатитического элемента. Определеыие 5. Каноническим элементом с центром в точке а Е С назовем нару Р = (Кя„, з ), где з — сумма сходящегося степенного ряда, а Кл. — круг сходимости этого ряда с центром в точке л = а: Кя, =(зЕС;~л — а~<В ), у (л)= ~ с„(з — а)". =ь Круг Кя.
называется кругом сходимости элемента Р . Приведенные выше определения 3 и 4 для канонических элементов упрощаются, так как их области (круги) всегда пересекаются по связным множествам, и поэтому нет необходимости оговаривать, через какие компоненты пересечения Ь„совершается продолжение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
