Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Однако общая показательная функция (см. п.4.2, гл.3), определенная равенством *ь т = а* = е* не является полной аначитической функцией, поскольку ее отдельные элементы не являются аналитическим продолжением друг друга (а' есть совокупность различных аналитических в С функций вь — — Уь(г) = екы +'" ', й б Ж), 2.3. Особые точвн полной аналитической функции.
Определение 1. Точки границы области определении иапнай аналитической функции называютгя вг особыми тачками. Наибольший интерес представляют собой изолированные особые точки. Пусть г = а — изолированная особая точка полной аналитической функции з, ); — ее проколотая окрестность, расположенная в области Р определения у. Лемма. Если какой-нибудь канонический элемент Ро, принадлежащий З, при аналитическом продолжении вдоль нгкатарага замхнутога пути Го — — (7о, 7оот), 7о С )ч, нг измгнягтсн, та и любой элемент Р, напученный из Ро анаиитичгснии продолжением в !', нв изменяется при прадопхггнии вдоль любого пути Г = (7, 7,р), если жардановы кривыг 7о и 7 гоматопны в 1' . щ Пусть Г = (7, У,'„) — путь в 1;, переводящий Ро в Р.
Упорядоченный набор Го = (Г, Го, Г ) является ориентированной замкнутой кривой, совпадающей с Го. Поэтому кривые ГЗ у, ГЗ у' и 7 гомотопны в !'. Согласно теореме 1, п.1.3, аналитические продолжения элемента Р по путям Ги и Г совпадают. Но аналитическое продолжение вдоль Г" не изменяет элемента Р, поскольку Г переводит Р в Ро, Го не изменяет Р,, а Г' переводит Ро в Р. Следовательно, элемент Р не изменяется при аналитическом продолжении вдоль Г. > Из леммы следует, что аначитические продолжения вдоль путей, гомотопных нулю в )г, не изменяют элементов, поскольку такие пути стягиваются в пути, лежащие в круге любого элемегпа, аналитическое продолжение вдоль которых не изменяет элементов.
Поэтому в дальнейших наших исследованиях рассматриваются лишь аналитические продолжения вдоль замкнутых путей, непрмотопных нулю в !' . Определение 2. Пусть г = а — изолированная асабан точка полной аналитической фунхцци У, )Р, — гв прохалатал окрестность, прииаслгжащая области определения )', и 7о С )Р— замкнутая хгорданава нриващ охватывающая точку г = и.
Тогда, если: 1) обход по кривой Го = (7о, 7ор) приводит к ижадному элементу, та г = а называется особой точкой однозначного характера; 2) обход Го приводит к элементу, отличному от исходного, та г = и называгтсн особой точкой многазначнога характера или тачкой разветвления. В первом случае легко убедиться, что аналитическое продолжение исходного элемента вдоль любого пути Г = (7, у,',), 7' С )р,, ведущего в фиксированную точку х б 1'„приводит к одному и тому же элементу, и, следовательно, аналитическое продолжение начального элемента гщоль путей, лежащих в множестве )р„, определяет аналитическую (однозначную) в )ч функцию, являющуюся ветвью полной аналитической функции, которую рассматриваем.
Для этой ветви точка х = а булет, согласно классификации (см. п. 22, гл. 5) либо устранимой особой точкой, либо полюсом, либо существенно особой точкой Заметим, что если начальный элемент канонический, то случай устранимой особой точки исключается, поскольку она уже с самого начала является усзр~~й- Гл. 6. Аналвтвческое продолжение 240 Замечание. Легко проверить, что порядок разветвления не изменится, если кривую Эе заменить любой жоРЛановой кРивой 1, гоиогопной 'Уе в У . Этим лолгвеРждаетсЯ коРРектность опРедЕлениЯ 3. В качестве примера заметим, что точки г = 0 и г = оз являются точками разветвления (и — 1)-го порядка дяя функции в =,"уд и ло~арифмическими точками разветвления для функции в = Гид. 2.4. Существование особой точки ня гршпще круга сходнмости степенного ряда.
Пусть степенной ряд,> а„(г — га)" имеет ненулевой радиус сходимости К. При 22 = оо его сумма есть аналитическая функция в С и, таким образом, имеет единственную особую точку на бесконечности (граница круга сходимости). Пусть 22 < со. Тогда пара (Кл, Тд), где Кл = (г Е С: ~г — гд! < К) — круг сходимости степенного ряда, ге(г) = ~ , 'а„(г — га)" опреде- =О ляет аналитический элемент Рш порождающий некоторую полную аналитическую функцию 1, которая, в частности, может совпасть с зе (см. пример в п. 2.2).
Рассуждая от противного покажем, что на окружности тн —— (г 6 С .' ~г — де~ = Л) лежит по меньшей мере одна особая точка функции з. Пусть Гл = (ул, уннт) = дКл, Чл С В, где  — область определения функции 1'. Тогда каждую точку г б ун можно рассматривать как центр некоторого элемента Р,, являющегося непосредственным аналитическим продолжением элемента Р, = (Кл, уе). Объединение круга Кл с кругами сходимосги элементов Р„г Е ун, определит область В' С Р, при этом Кк 6 Р, а функпии этих элементов определят в Р аналитическую функцию. Разлагая ее в ряд Тейлора в окрестности точки дд, мы, очевидно, получим степенной ряд с радиусом схолимости, большим чем 22. Полученное противоречие и доказывает, что на границе круга сходимости степенного ряда всегда найлется по меньшей мере одна особая точка полной аналитической функции, порожденной этим рядом.
5 3. Принципы аналитического продолжения В связи с понятием анатитического продолжения возникают вопросы, когда оно существует и как его находить на практике. В решении этих вопросов важная роль принадлежит принципам аналитнческопз продолжения. Теорема 1 (принцип непрерывности). Пусть две области Р1 и Рз, Р, О Рг —— ю, имеют общий участок границ, содержащий замкнутую или незамкнутую гладкую дугу Жордаиа уд. Тогда, еслц функции 11 и )з аналитические соответственно в областях Р~ и Вз и делрериены влдоаь до 'ге, причем чд Е ув л()=л(), то функция 1, где т 1'1(г), если д Е Р„ гг(д) = згз(д) если г б Рз, Л(х) = гз(г), если д Е 'Ге, (2) аналитическая е области В = Р~ 0 Рз 0 Ти т Пусть Кг(го) = (д Е С: (г — хо! < б) — некоторая окрестность произвольной фиксированной точки до Е уо, Кд(ге) С Р, причем считаем, что б меньше стандартного радиуса Определение 3.
Пусть г = а ледветсв точкой разеетаееиия ладной аиадитичегкой фуикции 1', и у, С р — замкнутая жордаиава кривая, охватывающая точку д = а. Тогда, если: 1) существует такое целое число и > 2, что и-кратный обход Гд — — (уа, тд ) в одном и там же направлении приводит к исходному элементу, то г = о иазываетсв точкой разветвления, а именно, (и — 1)-го ло ряди а, если и является наименьшим из всех целых чисел, имеющим указанное свойство; 2) целого числа, указанного в 1), ие сущестауеа, т. е. обходы Га в одном иалраелеиии лриеодят все х новым и надым элементам, то г = а иазываетгя точкой разветвдеиия бесконечного порядка или логарифмической тачкой разветвления.
$3. Принципы аналитического продал)кения 241 кривой 7ь (гладкне замкнутые кривые Жордана имеют свойство: для казкдой такой кривой суше сгвует число бь > О, называемое ее стандартным радиусом и имеющее свойство, что окружность радиуса б < бь с центром в любой точке кривой ровно два раза пересекает кривую). Интеграл типа Коши Р(х) = — / Т Т(б) йг (3) 2кз / б — х вк,(,) опрелеляет в окрестности Кь(кь) аналитическую функцию. Пусть, далее, у) и уз соответственно границы областей Р' = Р, Р Кь( ь) и Рч = Рз П Кь(гь).
Принил(ая во внимание (1) и (2), формулу (3) запишем в виде Т Т)(б)дС 1 Т Т)(()дб г (к) кк †. / — + . / — 1 ) = (7) 7( )) 1 з = (7) 7) ). 2хз / à — к 2хз / г, г) С помощью обобщенной теоремы и йюрмулы Коши получаем равенства / Т((Одб / Т)(к), если х Е Р', 2)гк / (' — к '( О, если к Е Р", / Л(ИдС / О, если г Е Р', 2п( / б — х ~ Л(г), если х Е Р", г( у*(,-) = г(,), , = -. ц Имеем Т"( '+ба *) — Т( *) Т( + ~ ) — з'( ) (гг( ч- ~х) — Т( ) Ьх* Ьк ) (ах Отсюда, перейдя к пределу при Ьк 0 ((3к* О), получим, что функция у* дифференцируема в Р' и Т* (к") = Т'(к). Таким образом, Т'" — аналитическая в области Р* функция и, при условии доопределення ее на Г равенством )" (х) = 1'(х), непрерывная в Р* ы 7.
Теперь к Т и г' можно применить принцип непрерывности. М Рассмотрим задачи. 1. Доказатгч что элементы к,=((к„г *), к,=(* с )) ), =ь 1 )х — (ч) п=(км,—.г ( —.) ), К,=(* с(.)* — ) 2), ~1-(/ =о являются непосРедственным аналитическим продолжением друг друга. < Оба Ряла прелставляют функцию к м —,' в кругах к( и кз. )ь из которых следуег, что )ух б Кь(з„) Е(к) = Т(к).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
