Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 63
Текст из файла (страница 63)
о з ' з з — 2 ' о Получим формулы для вычисления вычета относительно полюса, Пусть з = а — полюс функции у порядка р. Разложение функции у в ряд Лорана в проколотой окрестности точки з = а имеет вид у(с) .= р + .. т — + э се(з — а) (з — а)р з — а =о Отсюда получаем: у(з)(з — а)' = с, +с „„(з — а)+ ...
+ с,(з — а)" '+ ь с (а — а)"", еО йр-о —, (у(з)(з — а)") =с,(р — 1)!+ ) с„(п+р)... (и+ 2Нз — а)" ', !р -! 1пл —, (З(з)(з — а) ) = с ~(р — 1)!. йер ' Имеем формулу для вычисления вычета функции у относительно полюса р-го порядка: ! , йр-г гео.у(я) = — !1гл —, () (з)(з — а)") .
(р 1)! г)ее (2) и ь еочьльные Егеьн еньье тине (феона.) — енчее. 1.1. Вычет относительно изолированной конечной точки. Определение. Вычетолг аналитической функции ) относительно ее изолированной особой точки з = а Е О называется коэффициент с ~ нри нервой отрицательной стенени разлоэкения Функции г' в гьяд Лорана в окрестности этой точки, Обозначение вычета ~: 24б Гл. 7. Вычеты и вк примеиеитв В частности, при р = 1 формула (2) принимает вид гезу(г) = Ош у(г)(г — а). (3) На практике оказывается полезной небольшая модификация последней формулы. Пусть функция 7 в окрестности простого полюса г = а имеет вид У(г) =— Р(г) ф(г) (4) где !о и ф — аналитические в точке г = а функции, причем р(а) ф О, ф(а) = О, ф (а) зе О. В соответствии с формулой (3) имеем !з(г)(г — а), зз(г) у(а) гез |(г) = !пп = !пп т.е р(а) гез Г(г) = —, ф'(а) Например, ге»си) г = гез ',~,' = ,'— „", = 1.
ь ь В случае, когда функция у определена формулой (4), а функции !з и ф имеют в точке г = а нули порядка выше первого, для вычисления вычета удобно заменить функции р и ф несколь- кими членами разложения их в ряд Тейлора. Например, 9 3 .Э з з!пЗ» — Зз!пг Зг — -г +... — Зг 4 = -4» гез, = гез 1 2 = гез, = 24. О япг(5!Пг г) О ( м~+ 1 ( з ) 0 1.2. Вычет относительно бесконечности. Пусть г = со — изолированная особая точка функции У.
Разложение функции У в окрестности бесконечности О = (г Е С: г < (г! < оо) имеет вид у(г) = ~~> с„г". ПРоинтегРиРУем это Равенство по окРУжности Г„= (У„, Улм ), оРиентиРованной в напРавлении хода часовой стрелйн (при этом бесконечность остается слева). Тогда получим: у(г)йг = ь с / г бг = — 2яФс г- г- так как г" Игтб при пав!. Г гез Г(г) = -с, = — )' у(г) аг, 2я(,/ (2) гЗаметим„что в соответствии с данным определением гез У(г) определяется коэффициентом ) правильной части ряда Лорана и поэтому может быть отличным от нуля и в том случае, когда бесконечность является Ус»ранимой особой точкой функции у, например, геа -,' = — 1. гОпредеаеиие.
Вычетом функции у' относительно бесконечности но»мелется коэффициент лри первой отрнцотельной степени рамон»ения функции у е окрестности бесконечности, умнолселный на — 1. Принимая во внимание (1), имеем и 1. Определенве вычета. Основная теорема 247 Пуси бесконечность является устранимой особой точкой функции 1.
Введем обозначение йш 1(г) = 1'(оо). Тогда гезу(г) = йщ г (У(ос) — У(г)) . (3) Действительно, разложение функции Т в ряд в окрестности бесконечности в этом случае имеет вид 1(г) = 1(оо) + ~ с ьг откуда г(1(г) — 1(ос)) = ~~) с ьг и=! Совершив в последнем равенстве предельный переход при г со, получим формулу (3).
Легко можно получить следующую формуяу гез Г(г) = — (о'(О), (4) гле р (-) = 1(г) и р(г) — аналитическая функция в точке г = О. 1.3. Теорема о вычетах. Теорема 1(Коши). Если функция 1 аналитическая в Р Ы дР С С, зо исключением некоторого мнозкества изолированных особых точек (аь„й = 1, и), принадлехсаты области Р (но не дР), то справедливо равенство à — / Г(г)с(г = ~~! гезу(г). 2я! / оп и=! I т РассмотРим окРУжности 7!, .(г, ...,7„( ( ) 7ь и! причем рь выбираем настолько малыми, пабы круги лежали области Р.
Рассмотрим область Р ! (Крь, й неодносвязной области (см. теорему 4, и.3.3, гл.4): =ц!) радиуса рь с центром в точках аь, К,ь с гРаниЦами уь компактно пРинад= 1, и) и применим формулу Коши лля 1 г — / 1(г)бг = ~~! — / ((г)дг = ) гез|(г), 2!Г! 2я!',1 ь ап г. и=! ь Г„ы (7а 7,") . и. Эта теорема имеет большое принципиаььное значение. Она сводит вычисление глобатьной величины, которой является интеграл от аналитической функции по границе области, к вычислению величин яокальных вычетов функции в ее особых точках.
Например, вычислим интеграт дг Р = (» б С: ~г — 1 — г~ < 2). (г — 1)'(»' + 1)' оп Подынтегральная функция 1 аналитическая в замыкании Р, за исключением точек г! = 1 (полюс второго порядка), г, = ! (полюс первого порядка). С помощью формулы (1) получаем: Иг г 1 1) = 2ьп' (гезу(г) + гез Г(г)) = 2я! — — +— (г — 1)г(гг+1) ! ! ( 2 4/ 2 ' оп Справедливо следующее утверждение. Теорема 2. Пусть 1 б А (С ! (аь( й = 1, и)). Тогда сумма вычетов функции 1 во всех ее конечных особых точкак и вычета на бесконечности равна нулю: гезу(г) ! ьч51(г) = О, (2) и и=! 248 Гл. 7. Вычеты и их применения М Пусть ( = (я Е С; !а! = 22) — окружность столь большого радиуса Я, что она охватывает все конечные особые точки аь.
Тогда согласно формуле (1) и формуле (2), п 1,2, получим: 1 — / у(а)гЬ = ~~г гез у(я) = — гезу(я). И 2я! / ь ь=! Доказанная теорема может оказаться полезной при вычислении интегралов по контуру. В качестве примера рассмотрим интеграл з о, Г=(7,7р),7=(хЕС:!х(=2 г Согласно теореме 1 имеем з 2=2кг тех, +7 гез о гз(аи 2) ~~ С~ зз(а~о 2) ью где (ь ()г = 1, 10) — корни уравнения =" — 2 = О, или, воспользовавшись формулой (2), 1 1 = -2я(гез = О. - гз(х'е — 2) Рассмотрим примеры. Найти вычеты указанных функций относительно всех изолированных особых точек и относительно бесконечно удаленной точки (если она не является предельной для особых точек).
1. У(с) = '," зг(г — 1) М Особыми точками функции У являются х~ = О, гз = 1, гз — — оо. По формуле (2), и.1.1, нахоцим: п' г( г'-г+х — 1') гезг(х) = 1!гп — (х 2(а)) = )птг — $ ) =!пп, = О о . ог(я,-айх ~Х г — 1 ) „. о(г — 1)г (принято во внимание, что точка г, = Π— полюс второго порядка функции Г).
Точка а, = 1 является полюсом первого порядка функции Г, поэтому для вычисления вычета в этой точке применим формулу (3), п. 1.1. Получим х'+х — 1 гез У(х) = йш У(г)( — 1) =!!гп, = 1. 1 я Согласно формуле (2), п. 1,3, имеем гез у(г) + гез у(х) + гез |(с) = О, ==о откуда геаУ(г) = -1. в 1 г. Г(.) =— зшх м В точках яь — — яя (й Е Ж) функция 1 имеет простые полюсы. Воспользуемся формулой (5), п.1.1, в которой уг = 1, гР(х) = зшя. Тогда гез Г(а) = — ', =, '„= ( — 1) . Бесконечно удаленная точка является предельной для особых точек, и 1 3 2(Я) = сох —.
а — 2 < Точка я = 2 — существенно особая для функции У. Ее разложение в ряд Лорана в окрестности точки х = 2 имеет внд 249 б1. Определеиие вычета. Основная теорема Коэффициент при (г — 2) ' равен нулю, следовательно, гез)(х) = О. г Согласно формуле (2), п.1.3, гезу(г) + гезу(г) = О, откуда гезу(г) = О. ~ 3 1 4. у(г) =г соз —. -г' и Как и в предыдущем примере, ° = 2 — сугцественно особая точка для функции ) . Поскольку гз = (2 4 (г — 2)) = 8+! 2(с — 2) + 6(г — 2)' + (г — 2), 3 то 3 3 „3 1 1 — = (Н 22 — 22 НН* — 22 \ — 22 ) ( г — 2 [ 23(г — 2)' 4!(г — 2)' Очевиюю, что коэффициент при (г — 2) равен -6+ —, = —,4 .
Следовагеггьно, гез|(г) = — —,. — ! 243 343 Согласно формуле (2), п.1.3, гез 3(г)+ гсвг(х) = О, откуда гезг(я) = 3„. ~ 3 1 5. У(з) = г" 3!л — (и Е Б). м точка х = Π— существенно особая лля функции )'. Ряд лорана функции 3' в окрестности точки г = О имеет вид С ( !)ь 1 С ( 1) г(г) = з" ~ ~-4 (2)н 4 1)! х'34' ~-4 (2)н + 1)! хм ь=о ь=о Равенство 2й — и 4- 1 = 1 невозможно, если и ( О или если и Е У, — нечепюе. В указанных случаях гез 3'(г) = гез Г(г) = О. о если и = 2нп (пз ) О), то главная часть ряда лорана функции / будет содержать член (-1) -н (-1) ' (2гп + 1)! (п -Ь 1)! Следовательно, для всех четных и Е 4:а гез Г(г) = ' 23, . В частности, при п = О гез Г(г) = 1.
! «- ! !' ' Применив формулу (2), п. 1.3, получим, что дяя всех четных ц Е Уа — 4! (-1) " гез)'(г) = — гезу(г) = о (и+ 1)! В частности, при и = О геа У(г) = — 1. м 15гз — 11гг + 4з 4 6 гг. у(х) = 2гг(х' — 1) < Представляя функцию у в виде суммы простых дробей, получим: 2 3 4 3 У( ) = — — — + — + г хг г + 1 2(г — 1) Особыми точками функции Г являются г, = О, а, = -1, ез = 1, е« = гю.
Поскольку точки г„яз и гз — простые полюсы функции У, то гезу(х) = 2, гезу(а) = 4, гезу(а) = -'. Согласно о -! ! формуле (2)„п. 1.3, геа3(х) + гсвг(а) + геа3(х) + газ!(е) = О, о -! ! откуда гсвг(е) = — геаг(е)+гезу(х) +гезу(х) = -75. 3ь е ! Гл. 7. Вычепа и вх применения 250 7. Найти вычеты всех ветвей многозначной функции ! У(г) = з/24/г + ъ/г + 1 во всех ее конечных точках однозначного характера. О Из представления функпии з/24/г — $1» + 1 У(») = УЗ(2) = 2 — з 3, Уз(2) = -2 — з 3, Уз(2) = 2 + 1/3, У4(2) = -2 + з/3, Тогда получим: 1 Зг ; — / агйг агй» д ; — — / агд(г + 1) ага(г + 1) 4$ ЗЗ У,(1) = — з/2~4 ~соз — +зяп — ) — Х/~л+ И соз »вЂ !1 ~ 2 -!- 4яп 2 1 У,- — / агбг агбгд, — У агя(г+!) агд(»+1) ! Уз(г) = — — з/2!4( соз — + 2пп — ) — 4!г -1- Р, ~сох г — 1 ~, з, 2 + 4$1П 2 Уз(г) У2(г) У4(г) Уз(г)' Таким образом, гезУЗ(г) =!пп(» — !)Уз(г) = -з/2 — ч2 = -2ч2, 1 гезУ,(г) = Бш(г — 1)У,(г) = ъ'2 — з/2 = О, 1 1 гезУз(г) = 2ч2, гезУ4(г) = О.
~ 1 г гз 8. Доказать, что если г„явшется полюсом функции г У(г) =, то ге»У(г) = — ". »4 04 ' , !04 О Воспользуемся формулой (3), и. 1.1, и правилом Лолиталя раскрытия неопределенностей вида '-. Получим: г г(г — г,) 2» — »„1 2»2 — г„» 1 2»2 — гз »2 »4 04 »4 04 , , 4»з 4 , »4 04 ! 04 4 04 404' ез* е'* 9. Найти: а) гез; б) гез, (О б В). 1)з' 2+аз < а) Согласно формуле (2), п. 1.3, имеем: е' 24 ! )2 2 2 гез —, = — гез —, = -- йш — е ' = -2е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
