Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Тогда «р «-г «р дй(х)((й~«(з) — Уй(х)) < ~ !дй(х)! !(йн«(з) — )й(з)! < я«р !!дй!!2 ~ (~йь«(з) — (й(х)) < й= -«! й — ! й> й= < 2 зпр !!дй!! ) У„.,р„.«(з) — („(з)! < 2 звр /!дй/! зпр !!Уй — („!!. (7) й> й> й> Из оценки (7) и критерия Коши для функционального ряда следует утверждение теоремы.
М Теорема 4 (Абеля). Пусть «Ух б Я последовательность комплексных чисел (7„(х)) бимоиотонная. Если ряд 2 Зз„сходится равномерно и !!У„!! = О(!), то ряд 2 („«р„является равномерно сходящимся. щ Пусть Ф = 2,' (о„. Полагаем д„= Г )зй — Ф Чп б р(. По условию !!д„!! = о(1), Поскольку =! й=! зир !!дй!! звр !!зй — У )! = о(1)0(1) = о(1) и нп > 2 Зз„= д — д «, то выполнены все условия й> й> теоремы 3. Поэтому рад 2., д (7 ы — Т„) равномерно сходится. Так как !! у„д„!! < !!у„!!)!д„)! = 0(1)о(1) = о(1), то по теореме 2 ряд 2; у„пз„равномерно сходится, в 203 й 1. Риа Тейлора Теорема б (Д и рихл е) .
Пусть Ь)л б Я последовательность комплексных чисел ()„(г)) биманатанная Если ! р, =0(П и ((У„;(=а(Рц ь=ь (8) / ю I Оиределеиие 3. Ряд ~ 2,' уь ! называется п-огтаткам ряда 2,г„= ~ ~ гь) гон он Если ряд 2 У„сходится равномерно, то, очевидно, его п-остаток равномерно сходится к нулю. 1.5. Функциональные своиства равномерной суммы функционального ряда. Теорема 1.
Если функцианальныи ряд 2,')„сгодится равномерно в области 0 С С и всв его члены являются непрерывными функциями в точке го б О, та его сумма Я будет непрерывной функцией в этой тачке. < Пусть в > О. В силу равномерной сходимости ряда ~„у„найдется такое п, б Н, что Уп>п, ((д-б„()= '~~ Уь (-'.
3 ь= +ь Выберем Л > 0 из условия Кь С О, где К„= [х б С: )а — хо! < Л), рассмотрим чгх б Кь разность д(л) — $(ло) = д(л)-д . (*)+д,(л)-й . (ло)+$,(ло) — й(ло) = ~~ь уь+д . (л)-д . (го)+ 2 уь(ло) ь= .+ь Ьт +ь та ряд 2 )„(о равномерна сходится. м Полагаем чп б !и д = ~ (оь Так как ьир ((дь!! зцр ((гь — г„(! = О(!)а(!) = а(1) и ь=ь ь> ь> )гп > 2 д„-д„, = Чь„, то, согласно теореме 3, ряд 2,'д„(у„.„ь — 2„) сходится равномерно. КРоме того, (!У д !! гч (!г.(!(!д !! = а(1)0(!) = а(1). По теореме 2 ряд 2 У„ю„сходится равномерно, и ь Пример 1.
Исследовать на равномерную сходимость ряд 2,' ф„, если ф„(х) = ь ь„у(п б Я, х б (О, +со)). Воспользуемся признаком дирихле, обозначив ьу(п б (ц, х б (О, +оо)) 2„(х) = „—, (а„(х) = (-1)". Последовательность (/„(х)) является монотоьгиой чх б (О, +оо) и тем самым бимонотонной. Далее, !(1 (! = -„' = а(1), !2, уьь = 0(1). Следовательно, выполнены все условия признака Дирихле, т. е. Ряд сходится равномерно. Пример 2, Доказать, что ряд 2 — ' сходится равномерно в интервале (-1, 0), а ряд 2 „! — * в этом же интервале сходится, но не равномерно. На рассматриваемом множестве ряд имеет вид 2 '( — 1)" — *„.
Числовой ряд 2,' -':„) — сходится, а поскольку его члены не зависят от х, то эта сходимость равномерная. При каждом х б ( — 1, 0) последовательность ((х!") монотонная и ограниченная. По признаку Абеля ряд 2 — '„сходится равномерно на интервале (-1, 0). Исследование ряда 2 ~ — *~ на равномерную сходимость на интервале ( — 1, О) равносильно исследованию ряда 2 — „на равномерную сходимость на интервале (О, !).
Сумма ею п-остатка ь — 0 при п оо. Оценим ((г„— О(! = ((г„(!. Поскольку точка х„= ! — — приналлежнт интервалу (О, 1) ььп > 1 и ь„(х„) = (! — ь ) е ', то ((г„(! ь' 0 при п оо и ряд схолится неравномерно. Гл. 5. Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки и оценим ее. Получим !Йг) — б(гьН < ~~' Уь(х) + ~~', Уь(хь) + Ф,(х) — 8 .(гьН < ь= ы ь= ч! 2 ) Уь + !э *(х) э,(хь)1< — е-Ь !о,(х) а,(гь)1.
3 ь = .!- ! Поскольку члены ряда являются непрерывными функциями в точке г,, то и их конечная сумма 5„, непрерывна в этой точке. Поэтому по заданному е > О найдется такое б > О, что из условия )! < б ггх 6 Кь выполняется неравенство !о„, (х) — Я„, (гь)! < -',. Объединяя полученные оценки, имеем: гге > О Вб > О такое, что )ь < б ~ 'чг 6 Кь !Я(г) — 6(гь)! < е, т.е. сумма Я равномерно сходящегося функпиона!!ьно!о ряда является непрерывной функцией в точке гь. М Следствие.
Если члены ряда 2, У„непрерывны в области !л и ряд сходится равномерно в !л, то его сумма б является непрерывной функцией в этой области. Теорема 2 (о почленном интегрировании равномерно сходящегося функциои ал он ого ряда) . Пусть члены ряда 2, („ являются непрерывными функциями в области б С С, у С 6 — гладкая или кусочно-гладкая жордояово крива» и ряд сходится равномерно в О.
Тогда его можно интегрировать почленно вдоль кривой Г = (т, Эьр) и при этом !<|о-г=)гг„(!!. г "=' г м Поскольку и — остаток равномерно сходящегося ряда равномерно сходится к нулю, то !уе > О Бп, 6 (!(: (гп > и, !!г„(! = !!Я вЂ” о„!! < е. По теореме 1 сумма ряда Я является непрерывной функцией в каждой точке кривой у, поэтому интеграл ~ 6(г) дх существует. Из оценки г се!.!-!.!*!ге )г!е!.!-!.!.г!ь!л )г!!.!!!! ! где 1 — длина кривой у, следует, что Я(г)дг — ~Я„(х)дх = / Я(г)дг — ~ / Уь(х)дх О при и оэ! т.е.
г г г ь=! г справедлива формула (1), В Теорема 3 (Вейерштрасса). Пусть (Уь) — последовательность функций, аналолшческих в некоторой области Р С С и ряд ~ У равномерно сходится но любом компактном подмножеапве этой области. Тогда: 1) сумма ряда У аналитическая в Р; 2) ряд можно почленно дифференцировать в колодой точке области Р сколько угодно раз; 3) все продифференцировпнные ряды равномерно сходятся на любом компактном подмножестве области Р М 1) Пусть хь 6 Р— любая точка. Рассмотрим круг КГ т (х 6 С: !г — ль! < г) Са Р.
Согласно условию теоремы ряд 2 , 'У„равномерно сходится в круге К„и по теореме 1 его сумма У являегся непрерывной функцией !ух 6 К,. Пусть дсе — положительно ориентированная граница треугольника С С К„. Поскольку рял 2 у„равномерно сходится на дб, то согласно теореме 2 его можно почленно юпегрировать: Т()д =~:/Т.()д. во "='вс б 1. Ряд Тейлора 205 й! й! — — < ч-сю. 2я((з — г,)ьы 2ятью (2) Из равномерной сходимостн ряда,> У„ и условия (2) следует равномерная сходимость ряда й( ть У„(з) 2яо ~-~ (з — зо)ью Пусть У вЂ” равномерная сумма ряда 2 , 'У„. Так как ряд (3) можно гючленно интегрировать по кривой дК, и его сумма равна,о —,-~Я-;т, то У» .у-'~ У() 2т( У (т — зо)аю ~-~ 2ло / (о — зо)ью ак.
ак„ (4) Принимая во внимание формулы для производных от интеграла Коши, имеем У (зо) = ~ У (зо). ю (5) Поскольку зо б Р— произвольная точка, то формула (5) справедлива Хгз Е Р, 3) Пусть К вЂ” произвольное компактное подмножество области Р и зо Е К вЂ” любая точка. Выберем число Ы > 0 так, чтобы выполнялось включение Кы = (з Е С: ~з — зо) < 2г() С Р. Ряд У„сходится равномерно на окружности дКы = (з Е С: )х — зо~ = 2о(), т.е. ое > 0 Вп„б г'М: хг(п ) п„з б дКы) ~~' У (з) < о (6) (и-остаток ряда 2 , 'У„ равномерно сходится к нулю).
Имеем Рз Е Км. Е У-(() Л. У- ( ) = 2,1 У ((,), (. ак и Пусть з б Ка = (з б С:!з — зо~ < г() и 6 Е дКы. Сшеним и-остаток ряла 2 У'~'. Приняв во внимание, что ~( — з~ > д, а также неравенство (6), получим У(п ) п„б б дКы) оценку ,';У»< — ', гол й!4лг(е 2ййе 2то(ь г(ь ' (8) не зависяшую от з Е Ка. Следовательно, ряд 2, Уы' сходится равномерно в круге Ка, т.
е. в некоторой окрестности точки яо. Поскольку любое компактное подмножеспю области Р согласно теореые Бореля — Лебега может быль покрыто конечным семейством окреспюстей, в каждой из которых по доказанному ряд 2; Угол сходится равномерно, то он сходится равномерно на таком множеспю.
м ч ~ яппх Пример. Показать, по ряд ~ — удовлетворяет условиям теоремы Вейерштрасса в обла- 2- 3- сти Р = (я б С: ) (та а) < 1п 3) и найти У'(0). По теореме Коши )гп б 2( ~ У„(з) г(х = О, вследствие чего ( У(з) Ых = О. Функция У удовлеас ас творяет условиям теоремы Морера (см. п.6.3, гл. 2), поэтому является аналитической в круге К„. В силу произвольности К„С Р приходим к выводу, что У Е А(Р).
2) Пусть зо ŠР— произвольная точка и К. = (з Е С: 1а — зо) < г) С Р. Для кюкдой точки з б дК, и й Е (4 выполняется условие Гл. 5. Ряды аналитических фуикиий. Изолированные особые точки Очевидно, что згп б м У„6 А(2)), где Т„(х) = — "",."'. принимая во внимание равенство ! йп г~р = йп х+ зЬ у, при 1у( < Е!и 3, О < д < 1, получаем оценку 1У„(х)! < 3 "+ 3 "О " из которой по мажорантному признаку Вейершграсса следует равномерная сходимость ряда 2,' У„ в области 2). Сумма ряда у является аналитической функцией в области )3 и по доказанной теореме его можно почленно дифференцировать, т. е.
ч ч~ пспзпа у(') =хь 3- и 3 У'(О) = ~~ Применим теперь теорему Вейерштрасса к рядам определенного вила. 1.6. Степенные ряды. Рял 2 у„, где у„(х) = а„(г — хо)", и б Бо, а„б С, а„= сопзц го б С, х б С, называешься степенным. Частичные суммы этого ряда являются гшгебраическими многочленами, и поэтому его сумму 2 а„(г — х,)" можно рассматривать как дальнейшее обобшение понятия много пена. =о Члены степенного ряда являются аналитическими функциями во всей плоскости С. При опрелеленни степенного ряда возникает вопрос, в какой области он сходится равномерно и, следовательно, по теореме Вейерштрасса определяет аналитическую функцию. Каждый степенной ряд 2, а„(г — го)" облалает замечательным свойством: с ним связано число О < К < Еоо, называемое его радиусом гходимости. Зная это число, можно ответить на вопросы о поточечной, равномерной и нормальной сходимости, указать свойство его шенов (ограниченность, стремление к нулю).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
