Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 49
Текст из файла (страница 49)
В интеграче произведем замену переменной, полагая» — а = Ж*, О < ! ( х, Пусть и ~ — !. Тогда В о! «! о! «и! «! оп! и+1 о Л"+' = — ((-1)"+ — 1). + (» — а)" «(» = Если и = -1, то ь о 2) Если и ~ -1, то подынтегральная функция аналитическая в односвязной области, ограниченной окружностью 7л, являющейся гладкой кривой. По теореме Коши (см. п.5.3) имеем (» — а)" «(» = О. 186 Гл. 4. Интегрирование в комплексией плоскости. Если и = -1, то, произведя ту же замену переменной, что н в предыдущем примере, получим: 2 ь о 3) Если и Ф вЂ” 1, то функция в в (х-о)" аналитическая в односвязной области, ограниченной кусочно-гладкой кривой и по теореме Коши (з — а)" ао = О. ь Пусть п = — 1, Тогда подынтегральная функция не является аналитической в области, ограниченной сторонами квадрата. Из теоремы 4, и. 5.3, следует, что криволинейный ив!гетрах второго рода по замкнутой кусочно-гладкой кривой не зависит от ее вида.
Поэтому вместо границы квадрата возьмем окружность с центром в точке о и радиуса, большего половины длины диагонали квадрата. Заваф2елась к случаю, рассмотренному в 2). Поэтому в(г =42я, ы з — о 12. Вычислить интеграл Т = / 1.п г в(о, Г = (7, 7„,), гле; г 1) 7 — единичная окружность и Ьп 1 = О; 2) 7 — елиничная окру:кность и Ьп в = —; 2 ' 3) 7 — окружносток 7 = (а Е С; 1в) = )с) и 1.п )г = 1П )с; 4) 7 окружность; 7 = (г Е С: ~4 = 22) и Ьп 22 = 1и 22 -Ь 2кв. М Многозначная функция ю = Ьп о имеет следующие однозначные ветви: воа =!пф-Ьвагкв-Ь2ьяв, Ь Е Х. 2 г, в в=о о о в в в 1 = — у! !ео вй = — — ев — у! е' в!! ~2 в в 2 = 2(в ~( К+ и)е" г(! = -Н ~ ге" а а и 1 = яв ~()пК + й)ев 4(! = - —, — / ев вй в в и е' + —.
в в — = в2вг; в=а в 5 и к е" к — — + — = -2ог; 2 1,.) Т 2) в(! = в2я)2; 3) вс 4 = вЖе" ~ = 42я)2. ~ 4=2 При интегрировании слелует выбирать соответствующие ветви, определяемые дополнительными условиями. В кюкдом из случаев 1) — 4) окружности положительно ориентированы и ориентация их соответствует возрастанию параметра. В случаях !) и 2) параметрические представления окружностей имеют вид соответственно з = р(!) = е", О ( С ( 2к, о = У)(!) = е", — < ! ( -'вг, а в случаях 3) и 4) — г = ув(!) = Ве", О ( ! ( 2вг, о = й(!) = 22е", 2вг ( ! ( 4я. Произведя в каждом из рассматриваемых интегралов замену переменной, получим: В б.
Интеграл типа Коши !87 13. Вычислзпь интеграл 7 = / 2" 1.п 2 322, Г = (7, у,р), и б У,, 7 = (2 6 С: 12) = 1), гле: 1' 1) 1ю 1 = 0; 2) Еп(- ! ) = Огр. м Рассуждая аналогично (см. предыдущий пример), получим; 1) Пусть и ю 1. Тогда 2 2 7= — !еи А=в (" 1 ОНО 1=3 1 т~ !е*( Оцр ер" м ( 7' (и+ 1) О О 1=2 2аг -О +1 Пусть и = — 1. Торпа получим: 2 Т= — /И(= О 1=3 = — 2я . 2 2 1=2 2) Пусть и Ф -1. Имеем 3~ 1=3 Если и = -1, то 3 7=- /!М= С 2 1= =-4х. ю 2 1=3 14. Показать, что если путь интегрирования не проходит через начало координат, то 3(à — = 1и г+ ьр+ 2ягв, ! / — = / — = / — + / —., 2й = 1пг+ 193. ь 1 1 О Пусть Г, — глалкая или кусочно-гладкая кривая с началом в точке з и концом в точке 1, охватмваюцшя начало координат (рис. 79). Тогда положительно ориентированная замкнутая кусочногладхая кривая Г = (Г1, Гз, Гз) окружает начало координат и в силу однозначности функции Т интеграл,! — не зависит от выбора кривой Г и его можно заменить, согласно теорег аг г ме Коши, интегралом по любой замкнутой гладкой или кусочно-главкой кривой, например, по где Ь вЂ” целое число, указывающее, сколько раз путь интегрирования обходит начало координат (2 = гера ).
м Пусть путь интегрирования не проходит через начало координат. Согласно теореме 3, и. 5.3, интеграл от аналитической функции С 1 — ' в односвязной области, не солержащей начала координат, не зависит от выбора пути, соединяющего точки ( = 1 и С = 2 = ге'". Пусть Г, — ориентированный отрезок [1, г) с параметрическим представлением з = )21(в) = в, Г,— положительно ориентированная дуга окружности 7„= (2 б С: 12~ = г) с параметрическим представлением рз(1) = ге", 0 < ! < 93. тогда упорядоченный набор Г = (Г„Г2) является кусочно-гладкой положительно ориентированной кривой с началом в точке С = 1 и концом в точке ( = 2 = гегг.
Интегрируя по кривой Г, получим Гл. 4. Интегрирование в комплексной плоскости. окружности радиуса 1 с центром в начале координат и направлением обхода против хода часовой стрелки. При этом получим ! 1=Г= й4" 1 [е' — — — [!1 = 2[г!. / е.! г о После такого полного обхода по кривой Г путь из точки С = 1 в точку ( = х состоит из объединения кривых Г и Г, т. е. кривая Г будет пройдена два раза, и при этом имеем к г д~ г дс — — + ~ — = 2ло+!и г-1- йр. с l с ! г !' Теперь становится ясным, что при обходе начала координат [о раз получим равенство /= еь — =!пг+ир+2л!'ь, й б ло. с ! Пусть ! ф = ! ф. Тогда ~ =ь -ь у ф = -2ло, откуда г, г, к где гк, гас — — — ! — — 2л!' = ! — — 2л! =!пг+1р — 2л!.
l~ l~ /~ г- г- !' ! При обходе начала координат Ь раз в направлении хода часовой стрелки получим [!1' — = 1п г+ о[р — 2л !'Ь, й б К ! Объединив полученные результаты, имеем — =!пг+ ил+ 2лол, Ь б у- и е'ь ! ' 15. Показать, что если пугь не проходит через точки лг, то дс = — +ьл, 1+с! 4 о где Ь вЂ” целое число. м Поскольку — т — — — *, — — *, то ! ыс ти+ ! 2[[- [' ! ! ! о о о Если путь интегрирования не охватыаает точки жо, то интеграл не зависит от его выбора и можно ин[егрировать, например, по отрезку [О, 1).
Тогда получим'. ! ! а — = / — = агс[йл! 1+ого / 1+л! ! =а о о $ б. Интеграл типа Каши 191 Пусть Я о я Ь вЂ” — 2Ь* а Ь -« -22Ь* а Ь -* -223* а =/е е ' 2(х=/е е ' 2(х+/е е ' х. После замены х = -! в первом интеграле, получим Интеграл я Ь !нп / е " 2(х = / е 2(х = 32'х и + -лоьо2 .
е " йп 222удуь О при Л-3-ьсо, о (это известный интеграл Эйлера — Пуассона), оа 1 2(х = / е соз 2Ьх2(х. о !пп / е соз 2Ьх и +-1 о Таким образом, перейдя к пределу в (1) при 21 +ос, получим: , ) Ьгк — 2е / е соз 2Ьх 2(х = О о откуда ъга -ь' е * соз 2Ьх ах = — е 2 о ) 2(2 18. Вычислить интеграл / —, Г = (Т, Т,), у — замкнутая гладкая или кусочно-гладкая 22-!-9 г кривая, если: !) точка 3! лежит внутри кривой Т, а точка -32 вне ее; 2) точка -32 лежит внутри кривой 2, а точка 32 вне ее; 3) точки х32 принадлежат внутренности кривой 3.
м Поскольку -тт — = -' ( —,',. — —,), то 2 * +о о (*+33 -32 / '+3 6(/ 31~ / — 3) 1) Так как точка -32 принадлежит внешности кривой т, то по теореме Коши 3 2+32 г В интеграле !" 2!З г ! „2 , 1 1= 2е / е * соз2Ьхг(х, / е " 2(х — 22' / е л+" з!п22(у2(у — 2е / е ' соз 2Ьхг(х = О. 192 Гл. 4. Интегрирование в комплексией плоскости.
вместо кривой у можно взять окружносгь у, = (з б С: (а — За) = г), принадлежащую внутренности у. Тогда получим, после замены з — За = ге", О ( 1 ( 2к: 7 Г о г 2) По аналогии с предыдущим, имеем ) ' б / а + За 3 ' / аг + 9 3 г г 3) Применим теорему 4, п.5.3, к интегралу по положительно ориентированной полной границе области, состоящей из контуров Г, Г„Г, (см. рис. 82).
Получим, принимая во внимание случаи 1) и 2): г г, г, а а(а 19. Вычислить интеграл /,, Г = (у, у,р), у = (а б С: !а — а| = а), (а > 1). г М функция з г-г аа Ь 1 имеет нули в точках аь = Л = е' г, (а = О, 1, 2, 3. Кривая у окружает лишь точку ар — — 1, Записав подынтегральное выражение в виде з А Ваг -ь Са + Р аа 1 а 1 (а 4 1)(аг -ь 1) легко найдем А а 1 А=йщ -а (а+!)(аг О 1) 4 В силу свойства аддитивности интеграла, имеем .Ва 1 /,~ /'В.г+Са+Р ! /,и аа — 1 4 / г -'1 / (а + 1)(аг + 1) 4 / а + 1 ' так как по теореме Коши Ваг+ Са+ Р а(а = О.
(а 4 1)(аг О П г Произведя в интеграле замену переменной по формуле г — 1 = ге', О ( а ( 2к, находим: г а а(а 1 Г агеи 2ага ага — — Ф= — =— аа — 1 4/ ге' 4 2 г а е* а(а АО. Вычислить интеграл —, / —, Г = (у, у„), если замкнутая кусочно-гладкая кри2ка,/ аз+о ' г вая т окружаеткруг й =(а бС;)а((~а),т.е. К ФР,где Р— область, ВР=Г.
М Разлатая функцию а -у'авиа простые дроби, получим: 1 а а аз+аз 2а(а+ао) 2а(а — аа) 193 () б. Интеарал типа Коши Таким образом, 1 / е*а(з 1 / ае* 1 / ае* а(з —— а(з. 2яа Г за+ аа 2аа,! 2а(з -в аа) 2агв ! 2о(г — аа) Применив интегральную формулу Коши (см. п. 5.4), находим; 1 Г е' а а„а„нп а — / — а(з = — (е '" — еа") = —. М 2агв,/ за 4 а' 2а о г 1 Г зе* 21. Вычислить интеграл — / — а(з, Г = (у, у,р), если точка а принадлежит вну2яа / (з — а]' г тренности кусочно-гладкой замкнутой кривой у. м Пусть 1 Г (е у( ) = —, /à — (!.
2.! / —, г Согласно формуле (2), л. 6.1, имеем 2! Г !е' ул(~) = — ~' -2„;/ (! г а по интегральной формуле Коши Г(з) = ае*. Следовательно, 1 Г е'а(а 22. Вычислить интеграл — / а(з, Г = (т, у, ), у — кусочно-гладкая замкнутая 2яа / з(1 — з)з Г кривая, если; 1) точка 0 принадлежит внутренности кривой у, а точка 1 — ее внешности; 2) точка 1 приналлежит внутренности кривой у, а точка Π— ее внешности; 3) точки 0 и 1 принадлежат внутренности кривой у, м Записав подынтегральную функцию в виде суммы е" е" ( — з + Зз — 3) — + з Пз получим 1 Г е*а(з 1 Г е*(-за+ Зз — 3) ./ ' / з а(~ Г' + !а' 2агв / з 2агв / (з — 1)з г Г 1) По интегральной формуле Коши 1а = е' = 1. Поскольку подьантегральная функция в интеграле уа аналитическая, то Га — — О и, таким образом, 1 / е а(з ,=1.
2ла Г з(1 — з)' г 2) В рассматриваемом случае Хз = О, поскольку функция з а '— , аналитическая. Пусть 1 Г (-!'+ За — 3)е' У(з) = —. / а(й 2ла / г 194 Гл. 4.Ивтегрироваиие в комплексией плоскости. Применив формулу (2), п. б. 1, получим: 2! Х (-гз+ 31 — 3)е' ее уя( ) = — './Х вЂ” 2„;/ г Поскольку Х(а) = ( — аз -ь За — 3)е', то ((-а~ 4 За — 3)е*) Хз = 2 е з е = — ( — а — а ч-1) 2 2 ш 3) Рассуждая так же, как и при решении примера 1В, 3), и принимая во внимание результаты, полученные прн решении задач в случаях 1) и 2), можем сразу записать: Х г(х = ! — —. ~ 2я( / а(1 — х)з 2 г 23. Функция Х вЂ” аналитическая в области, ограниченной простым замкнутым контуром 7, окружаюшим начало координат.
Доказать, что при любом выборе ветви Вп а 1 — / Х (е) г-папе = У(ао) Х(0), Г = (7 7 г) 2я( / г где зе — начальная точка интегрирования. М Интегрируя по частям, получим; Х Х(.) — / Х'(а) 1.п а г(а = — Х(а) 1.п а) — — / г)а. 2л( / 2я( 2х( / х г г Поскольку 1 из ~„= 2к(, то,— 'Х(а) 1л а)г = Х(ае). По интегральной формуле Коши — / да = Х(О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
