Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Поскольку ! / )(х 2 Е (хг+ !)" то по формуле (3), п.4.1, получим: лг и" ' (» — г)" лг а" ' ! 1= л!ге»1(») = — Шп (в — 1)! -'г(»" ' (»'+1)" (п — 1)' г(»" ' (»+г)" Так как а о (» + г) " = (- 1)~ в(п -Ь 1) ... (в + !о — !)(» -1- г) ы+~), то 1 1 = (-1)" в(п+ 1) ...
(2в — 2) . г(»" ' (»+ г)" (»+ г)г" 4" ' 1 (-1)" 'п(в+ 1) ... (2п — 2) Впг г(»" ' (»+ г)г" гг -1. 2) лг (-1)" )п(п+1)... (2п — 2) лв(в+1) ... (2п — 2) Š—— (п — 1)! гг -)2г«-) (п — 1)! 2»" гг (2п — 2)! гг (2п — 2)! гг (2п — 3)О 2 ((п — 1)!)г(2 -))г 2 ((2п — 2)н)г 2 (2п 2)л' Если и = 1, то Е г(х 1 л 1= = гго 1пп —, = —.
м / хо+1 г»+о 2' о $4. Применение вычетов лля вычисления интегралов и сумм рядов 2В5 51. Вычислить интеграл 2= а(х (а > о, ь > о). (х' + аз)(хз + Ьз) 1 1 1 = 2лЦгеаДз) + гез~(з)) = 2зз 1пп „+ 1пп *ь зз. ' (г.!. аа)(аз оьз) * *ь (ха+аз)(з оаь)гг 1 1 1 зг (Г! 11 л = 2ла 2аа(Ьг — аз) 2аЬ(Ьа — а') / Ь' — аз 1 а Ь/ аЬ(а + Ь) 52. Вычислить интеграл Г х'+1 2= / а(х. / ха+! е М Очевидно, гак как функция з г-г 2(а) = —,, имеет в верхней полуплоскости два г,, ,з и з, = е 4, то по формуле (3), и. 4.1, имеелг простых полюса з, = е* а — 3 — ла — 3+ — а з +! Е = ага геаа'(з) 4-геаа(з) = л! .г / ~4з — а) ъ'2ла' 4а л 4 — 2 ъ'2 1- ) гла (1-ьг)' — (! — 2 53.
Вычислить интеграл хсоахйх 1= хз — 2х+ 10 < Применим формулу (10), п.4.1, приняв во внимание, что функция х г-г -т-'з ь — г имеет в верхней полуплоскости простой полюс з, = 1+ 3(; зег' (1+ За)еггььзгг У= Ке2ла гез 1(х) = Ке2ла' 1!пз, = Ке2аа г+зг з — 1+ Зз 6! а. -з -з = — Ке(1+ За)е (сов 1+ аял 1) = — е (сов 1 — 3 ил 1). и 3 3 54. Вычислить интеграл хялха(х ха+ 4х+ 20 Ч Поскольку функция х 2(з) = -л — т)-л-~ имеет в верхней полуплоскости два простых га +«Х= ьь з полюса з, = аа, ез — — аЬ, то, применив формулу (3), п.4,1, получим: Гл. 7. Вмчепе н ик применения 286 М ФУНКЦИЯ Л ь-4 1(а) =;2- 4 — ИМЕЕТ В ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСтн ПРОСТОЙ ПОЛЮС 2< —— -2+ 24. По формуле (11), п.
4.1, находйм; 14),< 2<н4> Г= !<п22г! гез 1(л) = !>п2ль' Ыгл = !<п2яь' *--24 4 4+ 2+ 24 82' -4 4 2 = 1<п — ( — 2+ 42)е (соз2 — ьйп2) = — е (2ап2+ 4соз2) = — е (ип2+ 2соз2). М 4 4 2 55. Вычислить интеграл Г совах 1= / <(х (а>О,Ь>0). )< х2>62 а м поскольк>' функции х ~-4 <2(х) = -т- 2, х 4 у<(х) — 2 г, 1>~ = !)е = ( — оо, +ос) соответственно четная и нечетная, то 1=— <(х. /, Функция л ь 1(а) = -'т-.ьь имеет в верхней полуплоскости простой полюс 2, = 62', поэтому Е* * Х> <м><,ь> >à —.ь 1 = я<газ Г(л) = >гь 1пп — = — е < * = — е ь* -и а+Ьь 2Ь< 2Ь 56.
Найти главное значение интеграла 1= япх <(х. (х> + 4) (х — 1) е'* е" 1=!п>~2яггеаУ(л)+яьгезГ(л)) =!п> 2ть 1пп +хь!!п> —, \,,-2 (2+22)(е — 1) *-< 22+ 4,2 е = !>и 2>п +ль — / = 1>п ~ — + — (соз1-Ь ьмп1) 42(22 — 1) 5 / ~ 2 22 — 1 5 Гь <Г ( Я, -2 =1>п~ — е (-1 — 2!)+ — соз1 — — з!п1Г! = — <с<и! — е ). И ~,10 5 5 ) 5 57. Вычислить интеграл 1= <(х (а>0, 6>0). / х(х> + Ь2) ь м Очевидно, 4 1 /' совах 1 / е' 1,= <(х=0, 1=— , <(х.
2 / х(хз+Ь2) ' 22 1 х(аз+ Ьг) 1 /' агп ах 1=— <(х 2 / х(х2.1- Ь2) м Интеграл 1 расходящийся, так как при х ~ ! подыгпегральная функция имеет одинаковый порядок роста с функцией х ~ Поскольку функция 2 Г(г) = тД--,— „имеет в верхней полуплоскости простой полюс 2, = 22, а тюске простой полюс л> = ! на действительной оси, то воспользуемся формулой (!3), и.4.1; й 4. Првиеиетше вмчетов дла аычислеииа интегралов и сумм рядов 287 1= 2/ У(г)де= / Г(г)их+ / У(2)дх+ / 7(2)да+ д/У(е)де = ал г, г, Г, г, и 2 -Я о 1+е / 1+етг+*о / 1+с / 1+ е л+'т л 2 Г / л — я / 1+е / т!+етгетт 1+с лет/ — л о Точки 25 = (тг+ 2йя)т (Ь Е Я) являются простыми полюсами для функции 1.
Однако, внутри прямоугольника Р находится лишь один полюс го = тт'. По основной теореме о вычетах имеем 1 = 2яггео Г(х) = 2ят — = -2тте" . (4) "о е* *=2 В равенстве (4) перейдем к пределу при В +ос, приняв во внимание предельные соотношения и — л !птт л = !пп , . =0 (0<а<!). л о 1+еле'" л о 1+е лего При этом получим: Хт(ото — е '"") 2х!о' (! — о ' ") 45!а атг 22Гто*' 1 — е~т™ янах х — -тп2!— 2 япт ат яп атт 2 хат атг ' т В интеграле г 2,, дт произведем замену переменной, полагая ! = е .
При этом получим о рассмотренный интеграл что доказывает равенство (1). функция л т-т 1(л) = ',, имеет два простых полюса в точках ат = Ь! и гт = 0 соответственно М том! в верхней полуплоскости и на действительной оси. Применив формулу (13), п.4Л, получим: тг 1 — Я(те51(а)+ 1 Гезу(х) = 2Г (тп\ + (пп 2 2 т 2 + 2 2 „*-5 5(а+ Ь!) 2 *-о 52+ Ьт — 2Ь2 2Ь2 2Ь2 5оттт.
ДОКаэатЬ РаВЕНСтВа: е* Г! ' тг д =/ 41= (0<а< 1), (!) 1 + е / ! + 1 яп атт о х ~ г Их= (0<тя<п). (2) 1+ х пяп -„тг о М РаССМОтРИМ ФУНКЦИЮ З ~т 1" (г) = —;, И ПРОИНжГРИРУЕМ ЕЕ ПО ПО22ОИНГЕЛЬНО ОРИЕНтн- рованной границе прямоугольника Р с вершинами в точках (-В, О), (В, О), (В, 22г), (-В, 2т), дР = (Гт, Гн Гт, Го ) (рис.89): Гл. 7. Вычеты и их применения 288 В интеграле 21 = ) —...„2(а (О < ги < и) произведем замену переменной по формуле а" = 1. о При этом получим: о 1 Г( ' 1 к — д( = — (О < Р < 1).
м и 1+! и згп — 'г о Читатель, вероятно, заметил, что при О < а < 1 С' л г(1 = В(а, 1 — а) = Г(а)Г(! — а) =— 1+1 мп аог о 59. Доказать, что — — — ) — =2 2. о 1 Очевидно, и подыптеграчьная функция имеет устранимую особую точку а = О, груп я /1 а 2-2 ((5) = 5)гз) а также имеет устранимую особую точку з = О. Кроме того, оиа имеет простые полюсы в точках хо = яао ()г б ЙЦО)). Рассмотрим последовательность (В„) положительных чисел, где и„= (и+ -,') гг, а также последовательность областей кл = (л е с: (5! < В„; 1глз > О) с пололгительно ориентированными границами дКд„— - (Г„, Гл„) (рис, 90).
Интегрируя функцию у по кривым дКл„, имеем я )2 22*22*-~222 ° +)'л 22.=)' 12-' — „— ') ~,)'(22 — ' ) 'о= гв в 4. Применение вмчетав для вычисления интегралов н сумм рядов 289 з)з « — « Ф«-« 2«1~~',гез/(«) =2т( ~ гез —, = 2г( ~ й, «1«Ь «2«зЬ «+ «!с(4 « й=! й=! й=! *=й . й -)гт!' ( — 1) = 2т!'~~' 1 1, — — -2~~' — = 2 — )гзтз с)1((гт!) )г й=! й=1 1)йй! й При и -! оо „— 4 +со, поэтому по лемме Жордана и„ / /1 1!пз ) /(«)!(« =О и 2= !пп ) ! 44 !(Х Ч вЂ” з (-1)"+' — — = (п2. зй з11'« х л -и„ 60, Доказать, что при — 1 < а < 3 выполняется равенство / х" !(х т 1 = — (1 — а) (1 + х')' 4 соз— з ( х' 2т! ( «' , 4(Х =, ГЕЗ -!.
гез (1+«')' 1 — ей"41 ! ° (! + «')1 — (14 «')1/ о 2т! ( д «4( «" ') 2тз (2!" (а — !) 2(-!)" (а 1пп — 4 1!пз —, — + 1 — е'1" 1,-4 4(« (« + !)' * -* !«« (« — !)' / 1 — е'1" ! — Я! 5! 1 — е' 4! 2(1 — е' ") 4 — !) 1 соз— 1 ( — 1)" 61. Найти сумму Б ряда ~ (и Е )4). п4 — а4 <4 Применив формулу (4), п.4.2, получим, полагая /(«) = —,„,: 1,—, Я= —,+ — ~ 2а4 2 п4 а4 1 / /( ) /( ) /( ) Х( ) '( = — 4 — — ГЕЗ вЂ” + ГЕЗ, -Ь ГЕЗ вЂ”, + ГЕ«в 2а 2 !й 51п т« ' з!о т« — ' «1п т« — з!и т«) 62.
Доказать, что 5= =Е 2 ъ~З = — Ф вЂ”. аз+и+1 IЗ 2 <4 По формуле (3), п.4.2, имеем с!я т« с!я !г« 1 м ~ 4 т ~ ~ ~/ 2 + гез -!44Гз «1+«+1 -1-.,а «1-1-«+1/ (Ю( — — ) й( — +! — )) — 24( — ) <4 Здесь можно применить формулу (15), п.4.1, где /(«) =;-;--у;1, о = а + 1. Условия, рассмотренные в случае 5), п.4.1, для функпии / выполняются при р = О, 9 = 4. Принимая во внимание, что О < а + 1 < 4, по формуле (15), п. 4.1, имеем Гл.?. Вычеты и ил применения 290 Е яз (а+ пЬ)' Ь' з(п'— (» Следовательно, при Ь = 1 получим рассматриваемый ряд и при этом Е 3 (а+ и)' з(п' яа Е (а + п)з ~ — г (а -~-2п)з — ~ (а .1- 2п — »з РЯды ~~; — шР, ), — — — — пт — частные слУчаи РЯда ~ ~ зр, сУмма котоРого извесгна ! ! 1 (см.
равенство (1) в примере 63). Полагая в (» Ь = 2, получим; Для вычисления суммы ряда 2,; — - — пт в указанном равенстве полагаем Ь = 2 и вместо а берем а — 1: Е ! я' я' (а+ 2п — »' 4з(п~ и и 4соз~— 2 Окончательно имеем ( — » яз 1 1 з) я сот ла я с!8 та соз — ) 3 4 з(п' — ' соз' — ' з!п а.а з!и' — ' 2 Е р„,»~= Л,2~ »~ Е-(1-2~) ~- (2.+»' ~-(2.-»'= ги =! гы =Е 1 (2п+»з 1,~-~ 1 2 ~-з (2п 4»з Ь = 2. 8 63.
Найти сумму ряла,), и Е 2. 1 (а+ п)з м В примере, рассмотренном в п.4.2, показано, что — (-1)" б4. Найти сумму ряда 2,',, и Е У. (а+ и)' < Очевидно, Е з (а+ 2п)' 4яп' —,' ! б5. Найти сумму ряла ~ з' пЕХм (2д-~- »' М Запишем сумму ряда в виде Получили частный случай суммы ряда 2, —,„-дт! при а = 1, Таким образом, 2 (г +»' 2 4з(пз-; -Е 1 (2п+»з =е 291 Уаранлеиия дла самостоятельной работы 1 66. Найти сумму ряда ~~! ~,, и б е,р. и +а м Воспользуемся формулой (3), п.4.2, полагая у(») = -г-'--т ! 1 1 1 1 1 >г / с(ая» с<аз» ) Е = — '-Š— — — гез — + гез и'+а' 2а' 2 и'+а' 2а' 2 > ==<»г+аг .=- »'+а!) =о 1 я >ге<а!та с(азха'1 1 зс!»ка 1 — — — + — ) — — + — (1 е ха с<1! яа). н 2аг 2 ~, 2<а 2<а ) 2аг 2а 2аг — (- 1)" 67.
Найти сумму ряда 2 ~... и Е Хь иг + а м Очевидно, (Н- ! 1(". из+ а 2а 2 ~ и'+ аг 2аг 2 ~ д-» (2и)г е а!»'. » (2и Пг+ =а ! г ( с<аз» с<а з' с<а гг» с<де» вЂ” — гез + гез + гез гез 2аг 2 1, * 4»'+ а', ° 4»ге а' (+< (2» Пг+ аг, „(2 Пг г г г г 2а' 2 ~ 4>а 4>а 4>а -4>а 1 к >га я гка 1 я (га л ка 1 >г Г за ко~ = — е — с<й — + — (а — = — + — с!)> — — — !)> — = — + — !хс!)> — — !» — ) = 2а' 4а 2 >4а 2 2аг 4а 2 4а 2 2а' 4а х 2 2 ) 1 (г (с)> —," — з(> —; ) 1 зг 1 ! (' (га 2а' 4а '< з(> — с)> —, / 2аг 4а з)> —; с)< —; 2аг 'х з(< ха l б. Доказать, что; б) гез -т; = е г ( г) ! <з > гез — ', (<ч > ( ->в(г зп!' — ! гез -„-'„.,*-; = е"~ (Е б у); в) Упражнения для самостоятельной работы 1. Найти вычеты следующих функций в особых точках: ,г» ! а) у(») = —,*„„(и б ГЧ); б) У(») = —,* „(и б 1<О; в) Д») .= соз» вЂ” яп»; г) г'(») = »"е' (и Е (М); д) у(») = —; с) г(») = е <и —,' 2.
Найти вычеты в конечных особых точках следующих функций: а) у"(») = — '-'"— — ~,' б) 1(») = --,— '.; — г. <*+ >(=-г',) ". г* 3. найти гез —,' (! +,<, е ... +,, <и„) (и е 1>1. 4. Найти вычет функции 1'(») = !',т.- (Л = 1). 5. Пусть 7 и д — аналитические в точке» = а функции, причем /(а) И' О, а д(») имеет в точке» = а нуль второго порядка. Доказать, что: г( > е ' » "( -г ( > "'(« гез <.> — з "< > Если >ке точка» = а — простой нуль фуню<ии д и У(а) Ф О, то г(и> г'((>я'(а>-т( >з (зг гез «.*, = , > 292 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
