Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 73
Текст из файла (страница 73)
а) Пусть У'(ха) Ф О и у(за) = юа Так же, как и в теореме о сохранении области, выберем круг 0„(за), компактно принадлежшций окрестности аналитичности функции У и не содержащий других ша-точек функции Р, кроме центра за. Пусть, далее, Л = пйп!У(з) — ша), *ат у„= (а б С: !з — ха~ = г), р > О. По теореме Руше получим, что функция у принимает в круге 0„(за) любое свое значение столько раз, сколько раз она принимает значение ша. Однако, это значение она принимает только в точке за и притом однократно, так как р'(ха) и' О.
Таким образом, функция г принимает в круге 0„(за) любое значение из круга К„= (ю Е С: (ш — та( < р) и притом только один раз. Иными словами, ) — локально однолистна в точке за. Тем самым в круге К„определена функция д = д(т), обратная функции Р: д(ша) = за н (7 а д) (и) = ш. Из однолистности у следует, что 2ьт Ф О при аЬз Ф О. Прн этом гьд гьх 1 ! — — — = — -а — ф оо — У'(я) в окдестаюспа точки ха. Таким обРазом, д Е А(К„). 302 Гл. о.
Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций Пусть 9 " ((аа) 1 ( 9(и) ((и г =9(и)= а+о((и ио)з оз(и (оо) + ... о = = / п1 2я( / (и — (иа)"о( оКа Заменим в интеграле переменную, полагая г = д(ю) (и = у(г)). Тогда гюлучим: 1 / гу~(г) ((г 1 /' д (» 1 2»г» / (У(г) — иа)" ' 2»г(п г' дг ( (у(г) — ио)" Таким образом, Ряд (1) называется рядом Лагрл»»ас»ь Рассмотрим обобщение формулы (1), а именно, получим разложение в окрестности точки ио функции Год„где à — произвольная аналитическая функция в области, компактно содержащей круг 0,(го). Пусть (Год)(»о) = Г(го)+ ~~ Ь„(г — га)".
Повторяя предыдущие преобразования, получим: 1 / Г(9(и)) 1 / Г(г)) ( )((г 1 / д ( 1 ((г = 2я» / (и — ио)" ' 2я( у' (У(г) — ио)" ' 2я(п / дг ~(У(г) - иа)" / око г, г, 2 (» (((*( — (' » (»*" ' (™(»(*( — ) Следовательно, (Г а д)(ю) = Г(га) И ) — ~ —, ~Г (г) ~ ( (и — иа)" . (2) ~у(.) --. ( =1 *= » При Г(г) = г получаем формулу Лагранжа. б) Пусть Т'(го) = То(го) = ... = Тю н(га) = О, ТИ~(го) Р О (р > 1), Повторим прежние сообрюкения. Выберем круг 0„(го) так, чтобы в нем кроме центра га не было лругих иа-точек функции у, и чтобы (уг Е 0„(го) ( (го) у'(г) р О. Как и ранее, выберем и > О и покажем, что в круге 0„(го) любое значение и из круга К„функция У принимает столько раз, сколько она принимает в нем значение иа, т. е.
р раз. При этом, если и Ф и„то все значения и функция У принимает в разных точках, поскояьку в них У'(г) и' О. В таком случае функцию Т называют р-листной в круге 0„(га). Если г Е 0„(га), то и = у(г) = ив+(г — )гу»( ), у»( ) Ф О, т'( ) = ( го) Х/~(г) = З(»ги ио. Под;,/у»(г) понимаем здесь какую-либо ветвь. Эту ветвь можно разложить в рял Тейлора в окрестности точки го, свободный член которого не равен нулю, следовательно, Р'(го) Ф О и, согласно пункту а), в окрестности нуля существует функция, обратная функции ( = р(г)( г = р '(Т). б 2. Сохранение области н локальное обращенне аналитической функции 303 Запишем ее разложение в окрестности точки ( = 0 в ряд Тейлора х =хе+о,(+оз( д ...
=зс+~~~ о„( . ! Заменив здесь ( на (в — вс) я, получим разложение, обращающее функцию у в обобщенный степенной ряд х =д(в) = хе+ ~~~ о (в — вс)я. коэффициенты о„ражюжения (3) опрелеляются по формулам '(:" („,.;;,.„))... (3) Легко убелиться в том, что (4) Анализируя разложение (3), приходим к выводу, что д(ш) является в круге К„элементом полной аналитической функции, для которой точка вс является точкой разветвления (р — ! )-го порядка. Из рассмотренных случаев а) и б) следует такое утверждение. Теорема У.
Неравенство у'(хс) ~ 0 яюяется необходимым и достаточным условием локальнои однолистности анавтическод функции У в точке гс. Заметим, что из выполнения условия локьтьногй однолистности функции У в каждой точке области В не следует, вообще говоря, ее однолистность в Р. Пусть, например, у(х) = с . Тогда чз Е С Т'(х) = е' ~ О. Олнако функция х ь е не является однолистной в любой ооласти, содержащей хотя бы одну пару таких точек з~ и х, что з, — з, = 2яйй Следовательно, у'(з) ~ 0 в Р является необходимым условием одцолистности У в В, но не лостаточным. Теорема 2 (принцип однолистности). Пусть функция У аналитическая в области Р и — г нелрерывна в замыкании Р С С, Э — ноложительно ориентированная кривая Жордана и Р В, нс нричем отображение ЭР на ЭР" является взаимно однозначным. Тогда У вЂ” однолистная функция в области В.
т Пусть вс Е Р" — произвольная точка. Определим, сколько раз функция з ь у(с) — цс обращается в нуль в области Р. Согласно теореме о логарифмическом вычете имеем 1 / У~(х) Я=в дз, 2я( / У(з) — вс (5) где ))à — число нулей функции х ч У(х) — вс в В. Поскольку между точками границ ЭР и ЭР* существует непрерывное и взаимно-однозначное соответствие, то в (5) можно перейти к интегрированию по кривой ЭР', полагая в = У(х), дш = У'(х) дз: 1 / дш Жв— =1, 2я( / в — вс что и требовалось показать. аь 1 / д"-' е — д(ш) = о.) ~~~ (51н л) ш .
)ь ю l Рассмотрим задачи. ла. Разложить по степеням в Функцию з = д(в), определенную в окрестности точки в = 0 уравнением Кеплера х — а = шип х (а ф О, вя, в2к, ...). т Здесь зс — — а, шс — — О, у(х) = — *,.„. По Формуле Лагранжа (1) получаем; 304 Гл. 8. Некоторые обшис вопросы геометрической теории аналитических функций 6. Разложить по степеням м функцию еьо' ' (ь и' О), где функция г = д(м) является обратной функции м = ге * (ой 0). М Здесь го = гео —— О, У(г) = ге ", У'(0) и' О, Е(г) = е *. Согласно формуле (2) имеем и'го(" и! =1 =о =1 Радиус сходимостн полученного степенного ряда находим по формуле Коши — Адамара: — Гь~ 1 -~ . 1ьь - е1о! 1нп, ~ 1пп — (— Б' Полагая Ь = о, находим: Е(з) = е" * = —, (Е о р)(м) = д(ю) У( )' Ш Итак, д(ю) ч „(и+ 1)" =1+~ о Ю", гс и! д(ю)=м+ ) а и" '=~ а" ьо"м м „(и+ 1)" ', (и+ 1)"-' =о 7.
Пусть функция (о аналитическая в замкнутом круге К„= (з б С: 1г — го/ ( г) и не обРашаетсЯ в нем в нУль. Доказать, что Ъи б (,ю б С: 1т — юо! ( и ), где М = шах ~(о(г)/ гаек уравнение г — го —— (ьо — гео)(ь(г) имеет одно и только олно решение, принадлежащее кругу К„. < Запишем УРавнение в виде и = ю, -1- -' — Д. ФУнкциЯ г У(г) = ьсо+ =Ц аналитическаЯ в круге К„, У'(г) ф 0 н )(го) = пи Согласно рассмотренному выше случаю а), уравнение т = У(г) )ью О (ю О С: 1м — мо) < — "), — ' = ш(п1)'(г) — мо), имеет елннстаенное рещение д(м), принадлежащее кругу К,.
По формуле Лагранжа (1) его можно представить суммой ряда 1 Тд" ' д(ю) = го ~Ь,у~м, ~Х „, (р(г)) / (т — то) == ° ф 3. Экстремальные свойства модуля аналитической функции 3.1. Прюшип максимума модуля аналитической функции. Теорема ) (первая формулировка принципа максимума модуля). Если функция )" аналитическая е абоасти Р и ее модуль 1У1 достигает локального максимума е некоторой тачке го О В, та У и сопи е абоасти В.
м применим метод доказательства от противного. пуси, у и' сопя и у(го) = юо пусть, далее,  — Р'. Тогда то б В' и Р* является областью. Следовательно, существует круг К = (ю О С: на ь 1ю — юо! < р) С В*, и в нем, очевидно, найдется такая точка ю,, что )го,| > )мо). Тогда в некоторой окрестности точки зо найдется такая точка яы что У(з~) = гс1 и 1у(гь)! > У(го)1, Это неРавенство пРотивоРечИт томУ, что 1У(го)( ЯвлЯетсЯ локальным максимУмом фУнкцин У. Источник противоречия — в предполохсении, что У ю сапог.
Следовательно, Чс б В У(а) ш сапог. и й 3. Экстремальные свойства модуля аналитической функции 305 Следствие (вторая формулировка принципа максимума модуля). Если функция У аналитическая в обласчии г) и непрерывна в замыкании 2), то )Я досячигает максимума только на границе дЮ области )). <и Справедливосп утверждения следует из первой формулировки и свойств функций, непрерывных на компакте.
М Утверждение, аналогичное теореме 1, для минимума модуля Щ несправедливо. Пусть, например, ~(г) = г, т)г — — к = (э е с:)г! < 1). Функция у аналитическая и у ш сопи, однако минимум !У(г)~ = 0 лоспчгается во внутренней точке области г)г г = О. Здесь, видимо, дело состоит в том, что функция У обращается в нуль в области аналитичности. Поэтому справедливо следующее утверждение. Теорема 2. Если У Е А(г)) и 7с Е г) У(г) ф О, то !У! может достигать в !) локального минимума лишь в том случае, когда у = сопя!.
м Для доказательства достаточно применить теорему 1 к функции д = 7, аналитической в г), так как 7г Е )) у(г) ф О. м 3.2. Лемма Шварца. Следующее утвер:едение принадлежит Шварцу. Лемма (Шварца). Пусть функция У аналитическая в круге К = (г Е С: !г! < 1) и удовлетворяет в ием условиям У(0) = О, ! У(х)~ <!.
Тогда 7г Е К выиолняютс» неравенства !У(г)! < ~г1, !У'(0)! < 1. (1) При этом, если выиочняется равенство (Т'(0)! = 1 или равенство ! У(г)~ = ~г! хотя бы е одной точке г ф О, то !Чг Е К )Т(гЯ = ~г!, т. е. функция у будет иметь вид У(г) = е'"., а Е В. <и Рассмотрим функцию с уч(г) = гчм. Иэ условия у(0) = 0 следует, что р Е А(К) и р(0) = Т'(0) (устранимую особую точку считаем устраненной). Исследуем функцию (ч в кру- ге К, = (г Е С; ~г~ < р), где р < 1.
По принципу максимума модуля (ф достигает максимума на кривой Тр — — (г Е С; (г! = р). Поскольку Чг Е К ! У(г)! < 1, то Чг Е ур )уч(с)( = 1 — '-'-'- < —. Следовательно, 7г Е Кр !(о(г)! < -'. Зафиксировав точку г Е К и устремив р к единице, получим р ' неравенство !(ч(г)! < 1 шчи )У(г)) < !г!. Очевидно, что в качестве г можно взять любую точку из круга К. Пусть, в частности, г = О. Тогда бч(0)! = (Тч(0)! < 1. Предположим теперь, что в некоторой точке сь Е К выполняется равенство ))ч(гь)~ = 1 Это означает, что !ш! достигает максимума в точке хь.
Следовательно, по теореме 1 (е = сопя! и, так как !)е(г)( = 1, э Е К, тоуч(г)=е' э,аЕВ. м Лемма Шварца имеет простой геометрический смысл. Она утверждает, что при отображении с помощью функции ш = Т(э) любая точка с Е К или приближается к началу координат, или отображение представляет собой вращение вокруг начала координат. Другими словами, образ любой окружности Т„= (г Е С: (г! = г) либо лежит внутри круга К„' = (чо Е С: !ш! < г), либо совпадает с его границей. Лемма Шварца имеет много обобщений. Выделим простейшее из них. Если точка э = 0 является нулем функции у кратности Л, то, рассмотрев функцию г ь гф, получим неравенства ! учм(о) !У(г)! < !г! Ус Е К и ~ —,— < 1, причем равенства в них возможны лишь в случае, когда у(с) = е* с .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
