В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Докажем следующую теорему. Теорема 6.5. Величины ~ап аи азз~ 1,=оп+ам, 11 — ! " зг~, 1з=|азг азз азз1 (6.60) зз зз зз з ап азз ам ам азз ам . г I з азз акз азз являются инвариантами уравнения (6.60) линии второго порядка относительно преобразований декартовой системы координат. Доказательство. Очевндно, инварнантность величин 11, 1з, 1з достаточно доказать отдельно для параллельного переноса снстемы координат н для поворота. Рассмотрнм сначала параллельный перенос системы коордннат. Мы установнлн в 1 предыдущего пункта, что прн этом преобразования координат коэффнцненты группы старшнх членов не нзменяются.
Поэтому не изменяются н величины 11 н 1з. Займемся велнчнной 1з. В новой системе коордннат О'х'у' величина 1з равна КРИВЫН ВТОРОГО ПОРЯДКА Вычитая из последней строки этого определителя первую строку, умноженную на хз, н вторую, умноженную на уз (хе н уе— координаты нового начала О'), и используя прн этом выражения для а', н а' нз формул (6.63) н выражение (6.64) для а', найдем, что этот определитель равен е) азз азг агг аз азз азз аззяз+ аззуз+ азз Если теперь вычесть из последнего столбца полученного апреле. лнтеля первый столбец, умноженный на хе, н второй, умножен. ный иа уе, н использовать при этом выражения для а', н а' нз формул (6.63), то в результате получится определитель, стоящий в правой части выражения для 1з в формулах (6.69).
Итак, ннварнантность гз при параллельном переносе системы координат доказана. Рассмотрим теперь поворот декартовой системы координат. В 2' предыдущего пункта мы нашли, что прн этом преобразовании коэффициенты а', уравнения линии ь в новой системе связаны с коэффициентами ап уравнения этой липин в старой системе с помощью формул (6.68) (см.
замечание 2 предыдущего пункта). Докажем теперь ннварнантность зь /г и зз. Имеем, согласно (6.68), з; = а'и + а'„, = 2В = ап + а „ 1'=а'а' — а' =В' — А*=а а — а'. пм а пег зг Таким образом, инвариантность зз и )г доказана. Обратимся теперь к Ф I азг ам I l агг агг Ф Ф а,з агз Ф Озз азз Г= з ) Непомннм, что прн тнзззннмя преоорнзоннннян звечевве опредепвтелн ве меняется (см.
Дополвевне в главе 1). Разлагая этот определитель по элементам последнего столбца, учитывая только что доказанную инвариантность зг, т. е. ра- венство (гл з линии второго поездил )74 и равенство а' =паз (см. последнюю из формул (6.67)), получим а а Согласно формулам (6.68) первое слагаемое в правой части (6,70) может быть преобразовано следующим образом: а , 1вм ом~ ( + )!Асан(2Ч+а) — Аа~п(зф+а)+В~ ~о~о' в' ~ )Са!и (в+ р) Ссоа (в+ р) =Саян (~р+ й) (Асов(ф+ а — 6) — В з!п(ф+ 3)). (6 71) Совершенно аналогично получается равенство / а аза 1,"," ! = С' соз (ф+ 11) (А з1п (ф+ а — й) + В соз (ф + ())).
1оаз вза( (6.72) (6.73) Из соотношений (6.70) — (6.72) получаем 1з — АСз з1п (26 — а) — ВСз+ а 1з. Тзк как величины А, В, С, углы а, 6 н 1а не зависят от угла ф (это вытекает нз инварнантности 1з н замечания 2 предыдущего пункта), то из (6.73) следует, что 1,' также ие зависит от угла ф, т.
е. при любом значении ф имеет одно н то же значение. Но а'„-=аа, при ф=О, и поэтому 1а 1,. Таким образом, ин- вариантиость 1з также установлена. Теорема доказана. Геометрические характеристики линий второго порядка н их расположение вполне определяются значениями иивариантов 1ь 1а и 1з. В зависимости от знака инварнанта 1з эти линни раз- деляют на следующие три типа: эллиптический тип, если 1з .з О, гиперболический тип, если 1а (О, параболический тип, если 1з О. Очевидно, тип линии не меняется при изменении декартовой си- стемы координат. Ниже мы дадим полную классификацию ка- ждого из указанных типов линий. 3.
Центр линии второго порядка. В предыдущем пункте мы установили, что при параллельном переносе декартовой систе- мы изменяются лишь коэффициенты группы линейных членов уравнения линни второго порядка. Попытаемся найти такую декартову систему координат О'л'у' (полученную параллельным переносом системы Оку), в которой уравнение (6.62) данной линни 1. второго порядка не содержало бы слагаемых 2а'„к' н 2а' у', т. е. коэффициенты 176 кэивыя втоэого повадка а'„и а' были бы равны нулю. Пусть х, и уо — координаты начала О' искомой системы.
Обращаясь к формулам (6.65), найдем, что величины хь уо представляют собой решение следующей системы линейных уравнений: анхо+ аиуо + ам = О, а,»хо + амуо + азз — — О. (6.74) Уравнения (6.74) называются уравнениями центра линии второго порядка, а точка О' с координатами (хо, уо), где хо н уо— решения системы (6.74), называется центром этой линни.
Поясним смысл наименования ецентр» линии. Пусть начало координат перенесено в центр О'. Тогда уравнение линни Ь примет вид (6.75) аих'з+ 2а„х'у'+ а„у' + ам = О. Пусть точка М(х',у') расположена на Е. Это означает, что ее координаты х' н у' удовлетворяют уравнению (6.75). Очевидно, точка М'( — х', — у'), симметричная с М относительно О', также расположена на Е, нбо ее координаты также удовлетворяют уравнению (6.75). Таким образом, если у линии Е существует центр О', то относительно центра точки Е располагаются симметрично парами, т, е.
центр линии Е является ее центром симметрии. Замечание 3. Если линия А второго порядка имеет центр, то инварианты 1з, 1з и свободный член а' в уравнении (6.75) связаны соотношением 1,=1,а,'. (6.76) В самом деле, в силу ннвариантностн 1з получим в системе координат О'х'у' 1ан аа О 1 аа агз О О О азз1 Из последней формулы и вытекает соотношение (6.76). Наличие центра у линии второго порядка связано с разрешимостью уравнений центра (6.74).
Если уравнения цен~ра имеют единственное решение, то линию Е второго порядка будем называть центральной* ). Так как определитель системы (6,74) равен 1ь а необходимым и достаточным условием существования единственного решения этой системы является неравенство нулю ее определителя, то мы можем сделать следующий важный вывод: линии эллиптического типа (1з ) О) и гиперболического типа (1» < О) и только эти линии являются центральными. о) Такам образом, центральная гани» ниоот едннстооаниа центр, па линии ВТОРОГО поьядка $ГЛ 6 3 а меч ание 4. Если начало координат перенесено в центр О' центральной линии Ь второго порядка, то уравнение втой линни будет нметь вид ацх" +2апх'у'+а„у" + 1' =О. (6.77) в котором, по предположению, аичьО. Прн атом предположе- нии очевидно, что (6.78) имеет следующее решение: с(д 2~р (ац — ам)/2аи.
(6.79) Итак, если мы повернем систему координат иа угол ф, определенный нз равенства (6.79), то в повернутой системе координат уравнение линии 1. не будет содержать слагаемого 2а', х'у' и, кроме того, согласно формулам (6.67), а,', =а . Иными словамн, зто уравнение будет иметь следующий внд: ацх' + а,' у' + 2а', х'+ 2а'„у'+ а = О. (6.80) $. Упрощение уравнеяня центральной линни второго порядка (1г=Р О). Классификации центРальных линий. Выводы, сДеланные в предыдущих двух пунктах, позволяют решить вопрос о классификации всех центральных линий второго порядка. Ре- Действительно, после переноса начала в центр уравнение линии примет вид (6.76). Так как для центральной линии 1Я~ О, то нз формулы (6.76) найдем, что а' = Ц1,. Подставляя зто выражение для а,' в формулу (6.76), мы получим уравнение (6.77) . 4. Стандартное упрощение любого уравнения линии второго порядка путем поворота осей.
Докажем, что любое уравнение (6.60) линии 1. второго порядка путем снеииального поворота координатной системы может бать приведено к уравнению, в котором не будет содержаться слагаемое 2а', х'у', т. е. коэффициент а,', будет равен нулю. Такое упрощеяне уравнения второго порядка мы будем называть стандартным. Естественно, мы будем предполагать, что в исходном уравнении (6.60) коэффициент ам не равен нулю, нбо в случае ац = 0 поставленный вопрос является решенным.
Пусть <р — угол поворота искомой повернутой системы координат. Обращаясь ко второй из формул (6.67), найдем, что искомый угол у является решением следующего тригонометрического уравнения: — з (ац — ам) з(п 2~р+амсозйф=О, 1 (6.78) Э п зьдхчн нь пэямтю и плоскость в тп остэлнствя 177 шенне этого вопроса мы проведем по ояедукнцей схеме. Во-первых, путем переноса начала координат в центр лнинп (6.60) мы приведем ее уравненне к внду (6.77). После этого пронзведем стандартное упрощенне уравнення (6.77): 1) если ам =О, то оставим систему координат О'х'у' нензменной и нзменнм лишь обозначение х' на х", у' на у", ап Ю~, на а,.; 2) если амчьО, то перейдем к повернутой системе координат О'х"у", вычнсляя угол поворота ~р по формуле (6.79) н нспользуя прн этом формулы (6.67) (с заменой а', на а",) н формулу (6.80).
В обоях указанных случаях найдем, что уравненне любой центральной лннии 1. в системе координат О'х"у" имеет внд (6.81) Дальнейшая класснфнкацня лнннй основывается на анализе уравнення (6.81). Прн этом нспользуется связь коэффициентов а",, н а", с инварнантамн 1~ н 1ь Рассмотрнм отдельно лнннн эллнптнческого тнпа н лнннн гнперболнческого тнпа. 1'. Линии эллиптического тина (1р) 0). Обратнмся к исходному уравненню (6.60) лнннн Е эллнптнческого типа. Так как 1,=а„аи — а', ) О, то аца > О, т. е.
коэффнцненты ац н ам оба отлнчны от нуля н нмеют одннаковый знак, совпадающий со знаком 1ь поскольку 1~ ам+ам Без ущерба для общностн можно счнтать оба этн коэффнцнента положительными (этого всегда можно добнться нормнровкой нсходного уравнения (6.60), т. е. умножением его на — 1 (прн такой нормнровке знак ннварнанта 1~ станет положительным, знак ннварнанта 1э не меняется). Справедлнво следующее утверждение. Теорема б.б. Пусть уравнение (6.60) линии 1. эллинтического тина (1т) 0) нормировано так, что 1~ ) О. Тогда нри 1ь (О это уравнение представляет собой эллипс. При 1ь — — 0 уравнению (6.60) удовлетворяют координаты лишь одной точки. При 1ь ) 0 уравнению (6.60) не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости.
Прн 1ь =0 уравненне (6.60) называется уравнением выроекденного эллипса. При 1ь ) 0 (6.60) называется уравнением мнимого вллинса. Доказательство. Так как для уравнення (681) 1, =ап+а,".„а 1,=а,",а,"„тонз условия А ) 0 н 1т ) 0 вытекает положнтельйость а",, н а",. Поэтому уравненне (6.81) 1 2 Зак. 1б8 1гл, в ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 178 линии /, может быть записано следующим образом: (6.82) при /,(О (6.83) =О, прн /А=О = — 1. (6.84) при /з) 0 Очевидно, уравнение (6.82), отвечающее случаю /з (О, пред- ставляет собой каноническое уравнение эллипса с полуосями : и А / — „', Уравнению (6.83), отвечающему случаю /яан 7 /яаы /з О, удовлетворяют координаты лишь одной точки х" = О, у" = О. Уравнению (6.84) не удовлетворяют координаты ника- кой точки плоскости, ибо левая часть этого уравнения не от- рицательна, а правая отрицательна. Для завершения доказа- тельства теоремы достаточно заметить, что каждое нз уравне- ний (6.82), (6.83), (6.84) эквивалентно исходному уравнению (6.60) соответственно для случаев /з (О, /я = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
