В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 32
Текст из файла (страница 32)
е. точка М располагается на параболе), то этому уравнению удовлетворяют координаты (х, — у) симметричной ей р гЩ,[р [ л' точки относительно оси Ох (рис. 6.8). Таким образом, если парабола задана своим каноническим уравнением (6.15), то осью этой параболы является ось Ох. Очевидно, вершиной параболы является [е у[ начало координат.
Рнс. 8.8 2'. Вся парабола расположена в пра- вой полуплоскосги плоскости Оху. В самом деле, так как р ) О, то уравнению (6.15) удовлетворяют координаты точек лишь с неотрицательными абсциссами. Такие точки располагаются в правой полуплоскости. 3'. Из рассуждений п. 3 $1 этой главы вытекает, что директриса параболы, определяемой каноническим уравнением (6.15), имеет уравнение (6.23) у = — р/2. 4'. Любэ[в две параболы подобны друг другу. Пусть уз= = 2рх и ук = 2р'х — канонические уравнения этих парабол в декартовой системе Оху, у = йх — уравнение произвольной прямой, проходяшей через О, а (х,у) и (х',у') — координаты точек пересечения этой прямой с параболами.
Используя канонические уравнения, получим х = 2р/йз, у = ~2р/й, х' = 2р'/йз, у' = ~2р'/я. Из последних формул вытекает, что †. р/р, к' — ". = р/р . Но этн равенства означают подобие рассматриваемых У' парабол относительно точки О. Фн директрисы эллипсА, ГипеРБОлы и пАРАБОлы 1% 5'. Отметим, что кривая уэ = 2рх прн р (0 также является параболой, которая целиком располагается в левой полуплоскости плоскости Оху. Чтобы убедиться в этом, достаточно заменить х на — х н — р на р, 9 3. Директрисы эллипса, гиперболы и параболы Определение параболы, данное в п. 3 $1 этой главы, базировалось на свойстве этой кривой, которое связано с ее фокусом и директрисой.
Это свойство можно сформулировать также и следующим образом: парабола есть геометрическое место точек плоскости, для которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до отвечающей этому фокусу директрисы есть величина постоянная, равная единице. Оказывается, отличный от окружности эллипс и гипербола обладают аналогичным свойством: для каждого фокуса «) эллипса или гиперболы можно указать такую прямую, называемую директрисой, что отношение расстояния от точек этих кривых до фокуса к расстоянию до отвечающей этому фокусу директрисы есть величина постоянная.
Данный параграф посвящен выяснению этого свойства эллипса и гиперболы. 1. Эксцентрнснтет эллипса н гиперболы. Обратимся к эллипсу (гиперболе). Пусть с — половина расстояния между фокусами эллипса*') ~гиперболы), а — большая полуось эллипса (действительная полуось гиперболы). Определение. Эксцентр и с и тетом эллипса (гиперболы) называется величина е, равная с/а: е = с/а. (6.24) Замечание 1. Учитывая связь величины с с длинами а и Ь большой и малой полуосей эллипса (с длинами действительной и мнимой полуосей гиперболы) (см. формулы (6.5) и (6.10)), легко получить следующие выражения для эксцентриснтета е: / Ь~ для эллипса е ту 1 †-аэ-, (6.25) / для гиперболы е чу1+--т.
(6.25') Из формул (6.25) и (6.25') вытекает, что зксцентриситет эллипса меньше единицы, а эксцентриситет гиперболы больше единицы «*«). ') Напомним, что стлнчныА от окружнсстн эллипс н гипербола иммет пь лва фокуса. ") Если эллипс прелставлает собьЯ окружность, то с * О.
"') Напомним, чгь величина Ь как длп эллнпса, так в дла гиперболы не равна нулеэ. 1гл е ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Отметим, что эксценгриситет окружности равен нулю (для окружности Ь = а). Замечание 2. Два эллипса (две гиперболы), имеющих одинаковый эксцентриситет, подобны В самом деле, из формулы (6.25) для эксцентриситета эллипса (из формулы (6.25') для эксцентриснтета гиперболы) вытекает, что эллипсы с одинаковым эксцентриситетом имеют одинаковое отношение Ь/а малой и большой полуосей (гипербое-е лы с одинаковым эксцентриситетом е=г имеют одинаковое отношение Ь/а мнимой и действительной полуосей).
Такие эллипсы (гиперболы) подобны '), 3 а м е ч а и и е 3. Эксцентр иситет г ~ИГ эллипса можно рассматривать как меру его «вытянутости»: чем больше эксцентриситет е (см. формулу (6.25) ), тем меньше отношение Ь/а малой полуоси эллипса Ь к его большой полуоси а. На рис. 6.9 изображены эллипсы с разными эксцеитриситетами, но с одинаковой большой полуосью а. 3 а м е ч а н и е 4. Эксцентриситет гиперболы можно рассматривать как числовую характеристику величины раствора угла между ее асимптотами. В самом деле, отношение Ь/а равно тангенсу половины угла между асимптотаи' 4 мн гиперболы.
й~ лг ф 2. Директрисы эллипса и гиперболы. 1'. Директрисы эллипса. Мы Р б и гг р л выяснили, что любой, отличный от окружности эллипс имеет большую и малую оси и центр— точку пересечения этих осей (см. Рис. 6.10 п. 1 $2 этой главы). Обозначим через с половину расстояния между фокусами Р! и Рт эллипса, через а его большую полуось н через О его центр (рис. 6.10) . Пусть е — эксцентриситет этого эллипса (так как эллипс отличен от окружности, то е чь О) и и — плоскость, в которой расположен эллипс. Малая ось эллипса разбивает эту плоскость «) Чтобы убедиться в этом, достаточно расположить эти эллипсы (соответствеыио гиперболы! так, чтобы их пеитры и одиоымеяиые главиые оси совпадали Тогда иэ каиоыических уравыеииа легко схщуст подобые кривых с равимми отимвеыыямы Ыа.
% 3! ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ 157 на две полуплоскости. Обозначим через ти (1 = 1, 2) ту из этих полуплоскостей, в которой лежит фокус Р~ (! = 1, 2). Определение. Директрисой Р! (! = 1, 2) эллипса, отвечающей фокусу Р, (/ = 1, 2), называется прямая, расположенная в полуплоскости н, (г = 1, 2) перпендикулярно большой оси эллипса йа расстоянии а/е от его центра.
3 а меч а ние 1. Выберем начало декартовой прямоугольной системы координат в середине отрезка Р!Рв а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6.10. Тогда, очевидно, уравнения директрис Р; (!=1, 2) эллипса можно записать следующим образом; уравнение директрисы Р,: х= — а/е, (6.26) уравнение директрисы Р,: х =а/е, Замечание 2. Директрисы эллипса расположены вне эллипса. Действительно, эллипс расположен в прямоугольнике )х~» а, )у)» Ь (см. п.
1 $2 этой главы и рнс. 6.4), стороны которого перпендикулярны большой и малой осям эллипса. Из определения директрис вытекает, что они параллельны двум перпендикулярным большой оси эллипса сторонам этого прямоугольника. Поскольку упомянутые стороны отстоят от центра эллипса на расстоянии а, а директрисы — на расстоянии а/е) а (0<в»!), то директрисы расположены вне прямоугольника, а следовательно, и вне эллипса. Замечание 3. Мы только что выяснили, что директрисы расположены вне эллипса. Отсюда вытекает, что точки эллипса и его центр расположены по одну сторону от каждой из его директрис. Замечание 4. Обозначим через р расстояние от фокуса эллипса до соответствующей этому фокусу директрисы.
Поскольку расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е, а расстояние от центра эллипса до фокуса равно с, то р Р равно — — с*). Так как с= ае, то для р получаем следующее е выражение: г! х ! — е* р =а! — — е) =а 'че ) в (6.27) ') Напомиим, что цеигр еллипса и его фокусы расположены иа большой оси, которая перпеидикуляриа дярекгрисам Поягому с учетом расположения центра, фокуса и отаечаюшей ему директрисы (Рис б.!О) р раеио и/е — с. Докажем теорему, выясняющую важное свойство отличного от окружности эллипса и его директрис.
Теорема б.1. Отношение расстояния г! от точки М эллипса до фокуса Р! к расстоянию с), от этой точки до отвечающей линии втОРОГО пОРяДкА ИГЛ Е этому фокусу директрисы О, равно эксиенгрисигегу е этого эллипса. Доказательство. Пусть Р~ и Рт — фокусы эллипса*), Выберем декартову прямоугольную систему координат так, как зто указано в замечании 1 этого пункта (рис. 6.10). В п. 1 $1 этой главы мы выяснили, что при таком выборе системы координат расстояния Г1 н Ге от точки М(х, у) эллипса до фокусов Р1 и Рт определяются формулами (6.6).
Так как отношение с/а Равно эксцентРиситетУ е этого эллипса, то длЯ Г~ и Ге мы полУ- чим выражения (6.28) Г, = а+ ЕХ, Ге = а — ЕХ. Найдем теперь расстояния 4 от точки М эллипса до директрис О,. Используя уравнения директрис Р~ (см. формулы (6.26)), легко убедиться в том, что нормированные уравнения директрис имеют вид (см. п. 7 $1 главы 5): л нормированное уравнение директрисы О~. '— х — — = О, (6.29) нормированное уравнение директрисы Ол. х — — = О.
Так как точка М(х, у) эллипса и начало координат находятся по одну сторону от каждой из директрис (см. замечание 3 этого пункта), то расстояние 4 и Ыт от точки М(х, у) до директрис О, и Рт равны соответствующим отклонениям М(х, у) от Р~ и От, взятым со знаком минус, и мы получим (в силу (6.29) и теоремы 5.1): Используя формулы (6.28) и (6.80), найдем, что Г /4 = е, 1= 1, 2. Теорема доказана. Ряс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
