В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Доказательство этого утверждения (не содержащее по сравнению с доказательством теоремы 5.2 никаких новых идей) представляем читателю. Сформулированное утверждение позволяет задавать прямую Е, являющуюся линией пересечения двух ие совпадающих и не параллельных плоскостей А~к+ В~у+ С|х+ Р1 = 0 и Аох+ Воу+ Сох+ Ро = О, не только двумя уравнениями этих плоскостей, но и любыми двумя различнымн уравнениями пучка (5.49) (полученными при каких угодно а и ()).
Совокупность всех плоскостей, проходящих через данную точку Мо(хо,уо,хо) называется связкой плоскостей (с центром в Мо). Легко убедиться в том, что уравнение связки с центром в Мо(хо. уо ео) имеет вид А (х — хо) + В (у — уо) + С (х — зо) = 0 (5.50) где А, В и С вЂ” какие угодно числа, не равные одновременно нулю. В самом деле, всякая плоскость, определяемая уравнением (5.50), проходит через точку Мо(хо,уыго). С другой стороны, если и — наперед заданная плоскость, проходящая через точку Мо(хо,уо,г,), то эта плоскость однозначно определяется заданием, кроме точки Мо(хо,уо,хо), еше нормального вектора и = (А, В, С) и потому определяется уравнением (5.33) (см. п.
1 этого параграфа), совпадающим с уравнением (5.50). линвпные овплзы $4. Прямая линия в пространстве 1гл. а 134 Уравнения (5.51) суть искомые уравнения прямой, проходящей через точку М~(хьуьх1) и коллинеарной вектору а = (/,т,н). Эти уравнения принято называть каноническими уравнениями прямой. Заметим, что в канонических уравнениях (5.51) одно или два нз чисел /, т н и могут оказаться равными нулю (все три числа /, т н и равняться нулю не могут, так как вектор и = = (/,т,л) ненулевой).
Так как всякую пропорцию а/Ь= с/с/ мы договорились понимать как равенство аа = Ьс, обращение в нуле одного из знаменателей в (5.51) означает обращение в нуль и соответствующего числителя. В самом деле, пусть, например, 1= О, а и чь 0 (хотя бы одно из трех чисел 1, т и а не равно нулю). Тогда из пропорции †' = е', эквива- Ю л лентной равенству (х — х1)л=(х — х~)/, заключаем, что х— — х| =О. ') Иа п. 3 й 3 следует, что дла того, чтобы плоспостн. опреаеляемые ураппепнямн А,х+В,у+С,е+Р~ О и Аьт+Веу+Сеа+Ре= о, пе соппадалп п не была параллельны, необходимо я достаточно, чтобы нарушалась котя бы одна пе пропорций А1/Аа = В~/Ве С~/Сь 1. Канонические уравнения примой в пространстве.
Выше (см. п. 6 предыдущего параграфа) уже отмечалось, что прямую линию в пространстве, являющуюся линией пересечения двух различных и не параллельных плоскостей, определяемых уран. пениями А1х+ В|у+ С1х+Р1= 0 н Аах+Веу+ Сад+ Ра = = 0*), можно задавать либо двумя уравнениями этих плоскостей, либо двумя любыми различными уравнениями пучка а (А,х + В1у + С,з + Р,) + й (Атх + В у + Сез + Ра) 0 (отвечающими произвольно взятым числам а н р). При решении многих задач более удобным является специальный вид уравнений прямой в пространстве, к выводу которого мы и переходим. Договоримся называть любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, нанравляющим вектором этой прямой.
Выведем уравнения прямой, проходящей через данную точку пространства М~(хи уь х1) и имеющей заданный направляющий вектор и = (/, т, а). Для этого заметим, что точка М(х,у,з) лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда векторы М~М= (х — хь у — уь з — хД и а= (/,т,а) коллинеарны, т. е. тогда и только тогда, когда координаты этих векторов пропорциональны (см. следствие из теоремы 2.17) (5.51) пРямая линия В пгостРАнствв В заключение покажем, как прямую, заданную уравнениями двух различных и не параллельных плоскостей А,х+ В~у+ С1«+ Р, = О, А2«+ В,д+ С,«+ Р, = О, (5.52) привести к каноническому виду (5.51). Достаточно найти: 1) хотя бы одну точку М~(хьуь«1), через которую проходит прямая (5.52); 2) направляющий вектор и= (1,т,п) прямой (5.52) . Начнем с нахождения координат хь у1, «~ точки М1, через которую проходит прямая (5.52).
Так как плоскости, опреде- ляемые уравнениями (5,52), не параллельны и не сливаются, то А, В, С, нарушается хотя бы одна из пропорций — = — = — Это озАз В~ Сз начает, что хотя бы один из трех определителей второго по- нение к главе 1, п. Ц. Пусть ради определенности отличен от нуля определитель ~ А В ~. Тогда, взяв вместо « произвольное А, В~ число «1 и подставив его в уравнения (5.52), определим из си- стемы (5.52) соответствующие этому «~ значения х, и у,: В, (Сйх, + 0х) — Вр (С,х, + 0,1 «в 1 А,вз — Арв~ А,(сия+0,)-А, (с,, +О,) (5.53) У~— А,В, — А,В, В,0 — В 0, х— А,В, — А,В А,0, — А,0~ Я А — АВ ~В0 — В, С,А,— С А, А, — АВ В частности, можно взять «~ = О. Тогда, воспользовавшись формулами (5.53), мы получим, что прямая (5.52) проходит через / В,0з — В,0, А,0, — А,вр ) точку М,( ~ А~вх — А~В1 А~ва — А~В~ ' Для нахождения координат 1, л1, и направленного вектора и прямой (5.52) заметим, что вектор и ортогонален каждому из нормальных векторов п1 — — (Аь Вь С1) и пз — — (АПВМ С2) плоскостей (5.52), так что можно положить вектор и = (1,т,а) равным векторному произведению (п~пт].
Пользуясь выражением векторного произведения в координатах (см. п. 6 $3 главы 2), мы получим: 1 = В1Сз — ВаСИ «т = С~А« — СтА ь и = А~ВР— АзВР Таким образом, для случая, когда отличен от нуля определитель ~ ' '~. канонические уравнения прямой (5.52) имеют вид ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ 1за [ГЛ.З Аналогично записываются канонические уравнения прямой (5.52~ для случая, когда отличен от нуля определитель 1Вй Сй~ 1А« Сй~ 2.
Уравнения прямой, проходящей через две различные точки Мй(хй,ур,гр) и Мй(хй,уй,гй). Эти уравнения имеют вид « — х, л — у, г — г, кй-х, уй — у, гй — г, Для получения их достаточно заметить, что прямая проходит через точку М«(хьуьхй) н имеет направляющий вектор «1 =%«М2 = (хй — хь уг — уь хг — г«), и воспользоваться каноническими уравнениями (5.51). 3. Параметрические уравнения прямой в пространстве. Параметрические уравнения прямой в пространстве элементарно получаются из канонических уравнений (5.51) этой прямой. Примем за параметр 1 каждое из отношений (5.5!).
Так как один из знаменателей (5.51) отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра 1 является вся вещественная ось: — лл (1~+во. Мы получим х — х« = 11, у — у« — — л«1, г — гй = лг, или окончательно х = х, + й, у = у, + л«1, г = г, + лг. (5.54) Уравнения (5.54) и есть искомые лараметрические уравнения прямой.
Если принять параметр «' за время, отсчитываемое от некоторого начальною момента, то параметрические уравнения «йййр „р,л„, „„, й„'„„р„„й ° „.р.- й й р -йрр«- й- «* движение происходит по инерции). 4. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Пусть две прямые в пространстве Е«н ьг заданы своими каноническими уравнениями х — к, у — уй г — г, х — х, у — уй г — гй = — и — = — Тогда за«« лйр л, й лрй лй дача определения угла между этими прямымн сводится к определению угла ф между их направляющими векторами: Ч« = (1«, л«ь л«) и Чг = (1«р л«2, аг). Пользуясь определением скалярного произведения Ч«Ч2 = =)Ч«~1Ч21созф и выражением в координатах указанного скалярного произведения и длин векторов Ч«н Чй, мы получим для определения угла «р следующую формулу: С05 ф йй«2 + ай««2 + лйлй (5.55) л/«2+ ий+ лй .
л/1~2+ л«22+ л~ прямая линия в пространства % а) 137 Условие параллельности прямых Ег и Еш эквивалентное условию коллинеарности векторов г(~ и г)г, заключается в пропорциональности координат этих векторов, т. е. имеет вид г) 1гг1г = %/тг = "~йг. (5. 56) Условие перпендикулярности прямых Ег и Ег может быть извлечено из формулы (5.55) (при сову = О) или выражено равенством нулю скалярного произведения г)гг(г. Оно имеет внд (5.57) 1,1, + т,тг+ л,лг= О. 5.
Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости. Две прямые в пространстве Ег н Ег могут: 1) пересекаться, 2) быть параллельными, 3) скрещиваться. В первых двух случаях прямые Ег и Ег лежат в одной плоскости. Установим условие принадлежности одной плоскости двух прямых, заданных каноническими уравнениями х-х, у — у, е — е, х-кг у — уг е — ег ш, в, гг шг ег Очевидно, что для принадлежности двух указанных прямых одной плоскости необходимо н достаточно, чтобы три вектора гггггИг = (хг — хг, уг — уь хг — хг), с)1 = (1ь лгп лг) и яг = = (1г, тг, лг) были компланарны, для чего в свою очередь необходимо н достаточно, чтобы смешанное произведение указанных трех векторов равнялось нулю.
Записывая смешанное произведение указанных трех векторов в координатах (см. п. 7 э 3 гл. 2), приходим к следующему необходимому и достаточному условию принадлежности двух прямых Е, и Ег одной пло- скости ! кг — х, уг — у, ег — е,1 гг ш, 1= 6. гг шг ггг (5.58) Если прямые Ег н Ег удовлетворяют условию (5.58), то они либо пересекаются, либо параллельны.
Так как условие параллельности прямых Ег и Ег имеет вид (5.56), то длл пересечения прямых Е~ и Ег необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли условию (5.58) и чтобы нарушалась хотя бы одна иэ пропорций 1~/1г = тг/тг = лг/пе. 6. Угол между прямой н плоскостью. Условия параллельности н перпендикулярности прямой и плоскости. Рассмотрим плоскость п, заданную обшнм уравнением Ах+Ву+ Се+ 1г = О, *) Кек и всюду выше, лювую пропорцию а)Ь с)В повцмвем в смысле ревепстве ай ° Ьс, |зв ЛИНЕННЫЕ ОБРАЗЫ [гл. $ н прямую Е, заданную каноническнми уравненнямн — '= у — у~ я — е, и и Поскольку угол ~р между прямой Е и плоскостью и является дополнительным к углу ф между направляющнм вектором прямой ц = (1, т, п) н нормальным вектором плоскости п = | = (А, В, С) (рнс.
5.10), то нз определення и скалярного произведення цп = )ц) )п(созф н г нз равенства созф =з(п<р мы получим для определения угла ф между прямой г. и плоскостью и следующую формулу: Аг+ Вы+ Сп з(п у— м о .са'сс ~я~~+ Условие параллельности прямой Е и плоРнс. ВАЕ скости и (включающее в себя принадлежность /. к и) эквивалентно условню перпендикулярности векторов и н ц н выражается равенством нулю скалярного пронзведення этих векторов: А1 + Вт+ Сп = О. (5.59) Условие перпгндикуляркосги прямой Е и плоскости и эквивалентно условию параллельности векторов и н д н выражается пропорциональностью координат этих векторов '): А/1 = В/т = С/п.
х — х1 у — у, е — я 7. Условия принадлежности прямой — =— ае н к плоскостн Ах+ Ву+ Сх+ Р = О. Этн условня выражаются двумя равенствами: Ах, + Ву, +Сх, + Р=О, А1+ Вт+Сп=О, ( ) 5.60 х-х~ у — о1 н — е, яе п (5.ЕЦ е) Как всегда, всякую нропорнню о/Ь с/И ноннмаем н смысле равенстеа аа Ьс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
