В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Алгебраическая поверхность называется и оверхностью порядка п, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат она определяется алгебраическим уравнением степени и с тремя переменными. Для установления корректности этих определений необходимо доказать следующее утверждение. Теорема 4.2. Если поверхность в некоторой декартовой прямоугольной системе координат оиределяется алгебраическим уравнением степени и, то эта поверхность и в любой другой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением той же стеиени и. Доказательство теоремы 4.2 вполне аналогично доказательству теоремы 4.1 и опирается на доказанное в $2 главы 3 у т в е р ж д е н и е: каковы бы ни были две произвольные декартовы прямоугольные системы координат, координаты х, у и г любой точки пространства относительно первой системы являются линейными фуксиями координат х', у' и г' той же ') Конечно, пря етон требуются некоторне ограничения.
ВРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ точки относительно второй системы. С помощью этого утверждения н рассуждений, полностью аналогичных тем, которые проводятся прн доказательстве теоремы 4.1, мы получим, что если поверхность 5 в некоторой декартовой прямоугольной снстеме Охуг определяется алгебранческнм уравненнем степени л, то эта поверхность в любой другой декартовой прямоугольной системе О'х'у'г' определяется алгебранческнм уравнением степени не выше л.
Поменяв ролями снстемы Охуг н О'х'у'г, мы завершим доказательство теоремы 4.2. 3 а и е ч а ни е 1. Так же как н в случае плоской линии, вводится понятие расладаюгцейся алгебраической поверхности. За меч анне 2. Пространственная линия называется алгебраической, если она может быть определена как пересечение двух алгебраических поверхностей. Всякая не алгебраическая линия называется трансцендентной. 6.
О пересеченин поверхностей и линий в пространстве. Для отыскания точек пересечения поверхностей нлн лнннй (нлн поверхностей и лнний) следует рассмотреть совместно уравнения, определяющие указанные геометрические объекты. Решение полученной прн этом системы и определит нам координаты всех точек пересечення.
Еслн полученная система не имеет решений, то точек пересечення нет. Так, например, если заданы две линии, первая нз которых определяется уравнениями Фг(х, у, г) = О н Фз(х, у, г) = О, а вторая — уравнениями Фз(х, у, г) = О н Фз(х, у, г) = О, то координаты точек пересечения этих двух линий (в случае, если точки пересечения существуют) обязаны быть решением системы чет ы р е х уравнений с т р е и я неизвестными: Ф, (х, у, г) =О, Фз(х, у, г) =О, Фз(х, у, г) = О, Ф,(х, у, г) = О.
Так как чнсло неизвестных меньше числа уравнений, то последняя система, вообще говоря, не имеет решений, т. е. две линии в пространстве, вообще говоря, не пересекаются. 7. Заключнтельные замечания. Липин н поверхности выше второго порядка не входят в учебные курсы аналитической геометрия (нм посвящены специальные сочинения). В нашем курсе мы ограничимся изучением плоских линий н поверхностей первого и второго порядков. В главе б будут рассмотрены линии н поверхности первого порядка (нх называют также линейными образами е)).
В главе б изучаются плоские линии второго порядка, в главе 7— поверхности второго порядка. ') Терман «ляяейныйа объясняется тем, что в левой часты ураввення первого порядка стоят лннейнаа функция. ГЛАВА 5 Л И Н ЕЯ Н ЫЕ ОБРАЗЫ Эта глава посвящена всестороннему изучению прямых линий на плоскости н плоскостей и прямых линий в пространстве. Убедившись в том, что этими объектами исчерпываются все линейные образы (т. е. геометрические объекты, определяемые лииейнымн уравнениями), мы вводим в рассмотрение различные виды уравнений прямой и плоскости и останавливаемся иа их использовании для решения важнейших задач.
$1. Различные виды уравнения прямой на плоскости 1. Общее уравнение прямой. Докажем сначала, что если на плоскости п задана произвольная прямая линия Ь и фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Оху, то прямая ь определяется в этой системе уравнением первой степени. Достаточно доказать, что прямая 1. определяется уравнением первой степени при каком-то одном специальном выборе деиартовой прямоугольной системы на плоскости и, ибо тогда она будет определяться уравнением первой степени и при любом выборе декартовой прямоугольной системы на плоскости и (в силу теоремы 4.1).
Направим ось Ох вдоль прямой Ь, а ось Оу перпендикулярно к ней. Тогда уравнением прямой будет уравнение первой степени у= О. В самом деле, этому уравнению будут удовлетворять координаты любой точки, лежащей иа прямой Е, и не будут удовлетворять координаты ни одной точки, не лежащей на прямой Е.. Утверждение доказано. Докажем теперь, что если на плоскости п фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Оху, то всякое уравнение первой степени с двумя переменными х и у определяет относительно этой системы прямую линию.
В самом деле, пусть фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Оху и задано уравнение первой степени Ах+ Ву+ С=О, (5.1) он рдзличиын види эрдвиания примоя ид плоскости 111 в котором А, В и С вЂ” какие угодно постоянные, причем из постоянных А и В хотя бы одна отлична ог нуля. Уравнение (5.1) заведомо имеет хотя бы одно решение хо, уо*), т. е. существует хотя бы одна точка Мо(хо, уо)„координаты которой удовлетворяют уравнению (5.!): А,+Ву,+С=О.
(5.2) Вычитая из уравнения (5.1) тождество (5.2), мы получим уравнение А(х — хо)+ В(у — у,) = О, (5.3) эквивалентное уравнению (5.1). Достаточно доказать, что уран. пение (5.3) определяет относительно системы Оху некоторую прямую. Мы докажем, что уравнение (5.3) (а стало быть, и (5.1)) определяет прямую 1., проходящую через точку Мо(хо, уо) и перпендикулярную вектору и = (А, В) (так как А н В одновременно не равны нулю, то вектор п ненулевой). В самом деле, если точка М(х,у) лежит на указанной прямой Ь, то ее координаты удовлетворяют уравнению (5.3), ибо в этом случае векторы п = (А, В) и МоМ = (х — хо, у — у,) ортогональиы н их скалярное произведение А(х — хо+ В(у уо) (5.4) ') В самом деле, А н В одновременно не равны нулю.
Пусть, например, В еа О Тогда, взяв йронзвольное ко, мы получнм нз уравнения 15.1) уа = А С вЂ” — ко — — ° В В' равно нулю. Если же точка М(х, у) не лежит на указанной прямой 1., то ее координаты не удовлетворяют уравнению (5.3), ибо в этом случае векторы и и МоМ не ортогональны, и поэтому их скалярное произведение (5.4) не равно нулю. Утверждение доказано. Уравнение (5.1) с произвольными коэффициентами А, В и С такими, что А и В не равны нулю одновременно, называется общим уравнением прямой.
Мы доказали, что прямая, определяемая общим уравнением (5.1), оргогональна к вектору и = (А, В). Этот последний вектор мы будем называть и ормал ьн ым вектором прямой (5.1). Заметим, что если два общих уравнения Ах+ Ву+ С= О и А|х+ В~у+ С, = О определяют одну и гу же прямую, то найдется такое число г, что справедливы равенства А,=А), В,=В1, С, =Сг, (5. 5) т. е. коэффициенты Аь Вь Сг второго уравнения равны соответствующим коэффициентам А, В и С первого уравнения, умноженным на некоторое число г. ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ 1гл.
о — '+ — =1 в а ь ° (5.6) называемому уравнением прямой в отрезках. В самом деле, так как все коэффициенты А, В и С отличны от нуля, мы можем переписать уравнение (5.1) в виде — С/А — С/В + —— н затем положить а = — С/А, Ь = — С/В. В самом деле, по условию прямые, определяемые уравнениями Ах + Ву + С = О и А ~х + В у + С~ = О, сливаются. Стало быть, нормальные векторы и = (А,В) н п~ = (АНВ1) коллинеарны.
Так как, кроме того, вектор п ненулевой, найдется (в силу теоремы 2.!) число ! такое, что п1 = и/, а отсюда и нз лииенного свойства координат вектора вытекают первые два нз равенств (5.5). Докажем справедливость и последнего равенства (5.5). Слившиеся прямые имеют общую точку Мо(хо,уо), так что Ахо+Вуо+ С = О и А~хо+В1уо+ С~ = О. Умножая первое из этих равенств на / и вычитая нз него второе равенство, будем иметь (А/ — А~)хо+(В/ — Во)уо+(С/ — С~) = О.
Отсюда в силу первых двух равенств (5.5) С/ — С~ = О, т. е. С~ = Сй 2. Неполные уравнения прямой. Уравнение прямой в отрезках. Общее уравнение прямой (5.1) называется полным, если все его коэффициенты А, В и С отличны от нуля. Если хотя бы один нз указанных коэффициентов равен нулю, уравнение называется неполным. Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений. 1) С= О, уравнение Ах+ Ву= О определяет прямую, проходящую через начало координат (поскольку координаты начала удовлетворяют этому уравнению). 2) В = О, уравнение Ах + С = О определяет прямую, параллельную оси Оу (поскольку нормальный вектор этой прямой и (А,О) ортогонален оси Оу).
3) А = О, уравнение Ву + С = О определяет прямую, параллельную оси Ох (поскольку нормальный вектор этой прямой и = (О, В) ортогонален оси Ох). 4) В = О и С = О, уравнение Ах = О определяет ось Оу (в самом деле, эта прямая параллельна оси Оу и проходит через начало координат). 5) А = О, С = О, уравнение Ву = О определяет ось Ох (ибо эта прямая параллельна осн Ох и прокодит через начало координат). Рассмотрим теперь полное уравнение прямой (5.1) и покажем, что оно может быть приведено к следующему виду: й ц рйзличныв виды крйвнения прямоп на плоскости нз Заметим, что в уравнении «в отрезках» (5.6) числа а н Ь имеют простой геометрический смысл онн равны величинам отрезков, которые отсекает прямая на осях Ох н Оу соответственно (отрезкн отсчитываются от начала коордннат, см рнс 5 !) Чтобы убедиться в этом, достаточно найти точки пересечения прямой определяемая уравнением (56), с осями координат Например, точка пересечения с осью Ох определяется нз совместного рассмотрения уравнения прямой (5.6) с уравнением у=О осн Ох Мы получнм координаты точки пересечения х = а, у = О Аналогично устанавливается, что коордннаты точки пересечения прямой (5.6) с Рис.бй осью Оу имеют внд х = О, у = Ь Уравнение прямой в форме «в отрезках» удобно нспользовать для построения этой прямой на чертеже 3 Каноническое ч) уравнение прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
