В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 21
Текст из файла (страница 21)
ь Иными словами, линией и-го порядка называется линия, определяемая в некоторой декартовой прямоугольной системе алгебраическим уравнением степени и с двумя неизвестными. Для установления корректности определений 1, 2 и 3 необходимо доказать следующее утверждение. Теорема 4.1. Если линия в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени и, то эта линия и в любой другой декартовой прямоугольной системе координат оаределяется алгебраическим уравнением той же степени и. Доказательство.
Предположим, что линия Е в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением Ф(х, у)=0, (4.1) левая часть которого представляет собой алгебраический полипом степени и, т. е. сумму слагаемых вида амх'у', где й и 1 — целые неотрицательные числа, причем наибольшее значение суммы 1+1 равно и, ам — некоторые постоянные, причем хотя бы для одной пары й и 1, составляющих в сумме и, постоянная ам отлична от нуля.
Возьмем на той же плоскости любую новую декартову прямоугольную систему координат О'х'у'. Тогда, как доказано в 4 1 главы 3, для координат любой точки в старой и новой системах справедливы формулы преобразования (3.7). Чтобы получить уравнение линии Е в новой системе О'х'у', достаточно подставить в левую часть (4.1) на место х н у их значения, определяемые формулами (3.7). Мы получим при атом сумму слагаемых вида аы (а + аих' + а~,у') (Ь + а зх' + чту')~. Отсюда ясно, что уравнение линии Ь в новой системе О'х'у' будет представлять собой алгебраическое уравнение степени не выиге, чем л. Если в проведенных рассуждениях поменять ролями системы Оху н О'х'у', то мы убедимся в том, что указанное алгебраическое уравнение (в системе О'х'у') имеет степень не ниже чем и (иначе переход от О'х'у' к Оху повысил бы степень уравнения).
Таким образом, линия Е определяется в новой системе О'х'у' алгебраическим уравнением степени, равной ж Теорема 4.1 доказана. Примером алгебраической линии второго порядка может служить окружность (уравнение (4.3) которой в некоторой уРАВнение линии нА плоскости го( $0 декартовой прямоугольной системе является алгебраическим уравнением второй степени) . Примером т р а н с ц е н д е н т н о й линии может служить спираль Архимеда, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе не является алгебраическим (см. и. 3).
3 а меч в н не. Будем называть алгебранческую линию А распадающейся, если алгебраический полинам Ф(х, у) степени и ~ 2, стоящий в левой части уравнения этой линии, распадается на произведение Ф,(х, у)Ф,(х, у) двух алгебраических поливанов Ф,(х, у) н Фг(х, у) степеней й > 1 и я — й р» 1 соответственно. Из равенства Ф(х, у) = Ф,(х, у) Ф,(х, у) очевидно, что координаты х н у точки М удовлетворяют уравнению Ф(х, у) О тогда и только тогда, когда эти координаты удовлетворяют хотя бы одному из уравнений Ф,(х, у) = О илн Фз(х, у) = О. Это означает, что линия ь, определяемая уравнением Ф(х, у) = О, распадается иа две лйнннг линяю й„ определяемую уравнением Фг(х, у) = О, и линию Бг, определяемую уравнением Фг(х, у) = О. Так, линия четвертого порядка, определяемая уравнением х'+ у<+ 2хзуз — бхг — буз+ 4 (хг+ уз — 1) (хз+ уз — 4) О, распадается на две окружности, определяемые уравнениями хг+ уг — 1 = О я ха+ уз — 4 = О. Ливня четвертого порядка, определяемая уравнением х< + у' + 2хзуз — 2хз 2уг + 1 (хз + уз 1)з О распадается иа две «слившиеся» окружности, определяемые уравнением второго порядка х'+у' — 1 О.
В отношении этой последней лавин следует договориться, какое нз чнсел 2 иля 4 мы будем поиямать под ее порядком. 6. 0 пересечении двух линий. Важную роль в аналитической геометрии играет задача о нахождении точек пересечения двух произвольных линий Е~ и Ьз, определяемых уравнениями Фг(х„у) = О и Фз(х,у) = О соответственно. Так как искомые точкй пересечения в случае, если они существуют, должны одновременно лежать как иа линии з.г, так н на линии Ез, то координаты этих точек должны удовлетворять каждому из уравнений Фг(х, р) = = 0 н Фз (х, у) = О. нд Таким образом, для нахождения координат всех точек пересечения следует решить систему уравнений ((УУ л' Ф,(х, У)=0, Фз(х, Р)=0.
(4.10) Нз(4-Р Каждое решение системы (4.!0) определяет точку пересечения линий з.< и з.з. Рис. 4.4 Если система (4.10) не имеет решений, то линии з.< н з.з не пересекаются. Так, для нахождения точек пересечения двух окружностей, определяемых уравнениями х'+уз = 1 и (х — 1)'+уз = 2, уРАВнения поВеРхности и линии ггл. 3 102 решаем систему уравнений хз + уз — 1 = О, (х — 1)з + уз — 2 = О.
(4.11) Вычитая из первого уравнения (4.11) второе, получим 2х = О, откуда х = О. Вставляя это значение х в первое уравнение, найдем, что у= ш1. Получаем две точки пересечения М1(0,1) и Мт(0,— 1) (рнс. 4.4). Можно доказать, что если Б, н 1е — две нераспадаюшнеся алгебранческяе линяя порядков т н л соответственно я если одна нз зтнх лвннй не содержнтсв целиком в другой. то зтя ляпая имеют не более чем и л точек пересеченян (см. любой курс высшей алгебрм).
$2. Уравнение поверхности и уравнения линии в прострамстве 1. Понятие об уравнении поверхности. Предположим, что нам заданы: 1) декартова прямоугольная система координат Охуг в пространстве и 2) некоторая поверхность 5. Рассмотрим некоторое уравнение, связывающее трн переменные величины х, у и г: Ф (х, у, г) = О. (4.12) Определение. Уравнение (4.12) называется уравнением поверхности 5 (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х, у и г любой точки, лежащей на поверхности 5, и не удовлетворяют координаты х, у и г ни одной точки, не лежащей на поверхности 5. С точки зрения этого определения сама поверхность 5 представляет собой (в заданной системе координат) геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (4.12).
Если (в заданной системе координат) рассматриваемое уравнение (4.12) является уравнением поверхности 5, то мы будем говорить, что это уравнение определяет поверхность 5. Конечно, ие всякое уравнение с тремя переменными вида (4.12) определяет геометрический образ, отвечающий нашему привычному представлению о поверхности (и вообще определяет реальный геометрический образ: рассмотрите уравнение х' + у' + г' + 1 = 0). Чтобы уравнение вида (4.12) определяло геометрический образ, отвечающий яашему представлению о поверхности, следует, вообще говоря, подчинить функцию Ф(х,у,г) некоторым ограничениям (например, требованию однозначной разрешимости функционального уравнения (4.12) относительно одной из переменных).
Этн ограничения выясняются в курсе математического анализа (см. выпуск 1, главу 15, 2 2). уРАВнения поееРхности и линли )ОЗ Аналогично определяется уравнение поверхности 5 в любой другой (не обязательно декартовой прямоугольной) системе координат. Если (4.12) представляет собой уравнение поверхности 8 в декартовой прямоугольной системе кординат Охуе, то, чтобы получить уравнение той же поверхности о относительно любой другой системы координат, достаточно подставить в (4.12) на место х, у и х их выражение через новые координаты. Использование для определения некоторых поверхностей не- декартовых систем координат объясняется тем, что уравнение поверхности имеет прн этом более простой вид. Легко убедиться в том, что в декартовой прямоугольной системе Охух уравнение сферы радиуса )( ) 0 с центром в точке Мо(а Ь,с) имеет вид') (х — а)т -1- (у — Ь)е -(- (х — с)е Ро.
В самом деле, точка М(х,у,х) лежит на указанной сфере тогда н только тогда, когда квадрат расстояния между точкамн М (х, у, х) н Мо(а, Ь, с) (х — а)'+ (у — Ь)о+ (х — с)' равен )со. В случае, когда центром Мо сферы служит начало координат (т. е. а = О, Ь = О, с = 0), уравнение (4.13) принимает более простой вид: ~+ух 1 о )ох (4.14) Если ввести сферические координаты г, О, ~р, связанные с декартовыми координатами так, как указано в п. 3 5 4 главы 1, то уравнение сферы радиуса )с с центром в начале координат принимает вид г = )с.
Это последнее уравнение, сразу вытекающее нз геометрического определения сферы, может быть получено н посредством подстановки в (4.14) йа место х, у и х их выражений через сферические координаты. 2. Уравнения линни в пространстве. Линию в пространстве естественно рассматривать как пересечение двух поверхностей, т.
е. как геометрическое место точек, находящихся одновременно на двух поверхностях. Если Ф,(х,у.г)=0 и Фо(х,у,х)=0 суть уравнения двух поверхностей, пересечением которых является данная линия с., то: 1) координаты любой точки, лежащей на линии Е, удовлетворяют обоим указанным уравнениям; 2) обоим указанным уравнениям не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии Ь.
в) Эта сфера определяется как геометрическое место точек М(к, у, г), расстояние каждой яо которых от точки Мо(о, Ь, с) равно й. уРАВнения поВеРхности и линии [Гл.о Таким образом, два уравнения Ф~(х, у, г) О, Фо(х, у, г) О (4.15) совместно определяют линию Е, т. е. являются уравнениями этой линии. Разумеется, данную линию Ь можно представить двумя уравнениями бесчисленным множеством способов: вместо данных двух поверхностей можно взять любую пару поверхностей, пересекающихся по той же линии (..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
