Главная » Просмотр файлов » В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия

В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 16

Файл №1113346 В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия) 16 страницаВ.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346) страница 162019-04-25СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

.7 Ю ,э Рис. 3.1 $ 1. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости Пусть на плоскости и заданы две произвольные декартовы прямоугольные системы координат: п е р в а я, определяемая началом О и базисными векторами 1 и ), у и в т о р а я, определяемая началом О' и базисными векторами 1' и (рис. 3,1). ,г' у Поставим перед собой цель — выразить координаты х и у произвольной точки М плоскости и относительно первой системы координат через координаты х' и у' этой же точки М относительно второй системы координат. Заметим, что координаты х и у совпадают с координатами вектора ОМ в разложении его по базису Ц, а координаты х' и у' совпадают с координатами вектора О'М в разложении его % 1) ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ тг по базису 1')', т.

е ОМ = х1+ у), (3.1) О М = х'!' + у )', (3.2) Если обозначить через а и Ь координаты начала 0' второй системы относительно первой системы, то 00'=а!+ Ь). (З.З) Так как любой вектор на плоскости и можно разложить по базису Ц, то найдутся числа ац, а~з, ам и агз такие, что 1' = ац! + а з), )' = ай!+ аж). (3.4) В силу правила треугольника сложения векторов (см. рис. 3.1) ОМ = 00'+ 0'М.

(3.5) Вставляя в правую часть (3.2) значения 1' и )', определяемые формулами (3.4), н после этого подставляя в (3.5) значения ОМ, 0'М и 00', определяемые формулами (3.1), (3.2) и (3.3), и группируя слагаемые относительно ! и ), получим ') х) + у1 = (а + ацх'+ ому ) 1+ (Ь + а зх'+ ажу') 1. (3 6) В силу единственности разложения вектора по базису из равенства (3.6) получим искомые формулы преобразования координат х а+ ацх'+ аз,у', у = Ь + аах'+ аму'. (З.У) ам —— соз ()'1), азз = сов()')).

(3.8) *) Возможность сгруппировать слагаемые относительно ! в 1 вытекает нз свойств линейных операций над векторамн (см. п. 2 $ ! главы 2). ") Учитываем также, что скалврное произведение двух едипвчных векторов равно косинусу угла между нина Мы приходим к следующему замечательному выводу: каковы бы ни были дее произвольные декартовы системы на плоскости п, координаты любой точки плоскости п относительно первой системы являются л и н е й н ы м и ф у н к ц и л м и координат той же точки относительно второй системы. Установив этот фундаментальный алгебраический факт, перейдем к геометрической интерпретации полученных формул.

Для этого договоримся обозначать символом соз(аЬ) косинус угла между векторами а и Ь. Помножая каждое из равенств (3.4) скалярно сначала на 1, а затем на 1 и учитывая, что П = 1, И = 1, Ц = О, получим ее) ац = соз (1'1), а~з соз (1')), пгаовваэовлиив днклвтовых пвямовтольных коовдинлт [гл.э Будем существенно различать следующие два случая: 1) случай, когда базисные векторы направлены так, что оба кратчай« ших поворота от ! к ) и от 1' к )' совершаются в одном направлении (лпбо оба по часовой стрелке, либо оба против часовой стрелки), 2) случай, когда базисные векторы направлены так, что кратчайшие повороты от 1 к ) и от !' к )' совершаются в противоположных направлениях. В обоих случаях обозначим через ф угол между базнсными векторами 1 и !', отсчитываемый в направлении, отвечающем кратчайшему повороту от 1 к ).

Тогда ап = соз ф. В первом случае угол между баэисными векторами ) и )' также равен ф, и поэтому первая система координат может быть совмещена со второй посредством параллельного переноса вдоль вектора 00' и последующего поворота в плоскости и вокруг начала на угол ф (этот случай иэображен на рис. 3,1). Во втором случае угол между базис- у ными векторами ) и )' равен и — ф и перв' — — — вую систему координат невозможно совме,ь стига со второй посредством параллельного переноса и поворота, не выводящего из плоскости и (нужно еще изменить направь" ление оси ординат на противоположное или, что то же самое, взять изображение Рнс. 3.2 плоскости и в плоском зеркале.

Второй случай изображен на рис, 3.2). Пользуясь формулами (3.8), подсчитаем для обоих случаев коэффициенты ап, аю, аю и авв '). В первом случае получим: ап — — созф, а,в созф, ам из~ соз — — ф = 51п ф, ив~~сов — + ф) = з)п ф. ~,2 ) ч 2 Во в т о р о м случае получим: ап — — соз ф, акк сов(п — ф) = — созф, а,в —— соз (2 — ф)=эшф, ам соз( 2 — ф)=з(пф. Таким образом, в п е р в о м случае формулы преобразования координат (З.У) принимают вид х =а+ х'созф — у' з!и ф, у=Ь+ х'з1п ф+ у сов ф. (3.9) Во втором случае соответствующие формулы преобразования принимают вид х=а+х созф+у'з1пф, у=Ь+х э1пф — у'созф.

(3.18) Если мы примем договоренность рассматривать только такие системы координат, у которых кратчайший поворот от первого ') Все углы отсчнтываютсн в направлении, отвечающем кратчайшему повороту от ! к !. 5 и) ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ 79 базисного вектора ко второму происходит против часовой стрелки (будем называть такие системы правыми), то второй случай будет исключен и любое преобразование координат будет определяться формулами (3.9).

Приходим к выводу, что, каковы бы ни были две правые системы координат Оху и 0'х'у', первая из них может быть совмещена со второй посредством параллельного переноса вдоль вектора 00' и последующего поворота вокруг начала на некоторый угол ср.

Разрешая уравнения (3.9) относительно х' и у', получим обратные формулы, выражающие координаты х' и у' любой точки М относительно второй системы через координаты ее относительно первой системы*): х'=(х — а)созф+(у — Ь) з(пф, у'= — (х — а) з)пф+ (у — Ь) созф. ) (3.11) Общее преобразование координат (3.9) распадается на сумму двух преобразований, одно из которых отвечает только параллельному переносу системы, а другое — только повороту системы вокруг начала на угол ф.

В самом деле, полагая в формулах (3.9) угол поворота ф равным нулю, получим формулы преобразования координат лри параллельном переносе системы вдоль вектора 00' = = (а,Ь): х=а+х', у=Ь+у' (3.12) Полагая в тех же формулах (3.9) координаты а и Ь вектора 00' равными нулю, получим формулы преобразования координат яри повороте системы вокруг начала на угол ф (в направлении против часовой стрелки) «=х'созф — у'з1пф, у=х'з(пф+у'созф. (3.13) 9 2. Преобразование декартовых прямоугольных координат в пространстве 1.

Общие формулы преобразования. Пусть в пространстве заданы две произвольные декартовы прямоугольные системы координат: п е р в а я, определяемая началом 0 и базисными векторами Цк, и вторая, определяемая началом 0' и базис- ными Векторами Г)Ъ'. Поставим перед собой кель — выразить координаты х, у и з произвольной точки М относительно первой системы через координаты х', у' и г' этой же точки М относительно второй системы. *) Таа иак определитель системы (3.9) равен схииица, то эту систему можно разрешить отиоситсльио к' и у'.

ЭО ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ [ГЛ. 3 Заметим, что координаты х, у, г совпадают с координатами вектора ОМ в разложении его по базису Цк, и координаты х', у', г' совпадают с координатами вектора 0'М в разложении его по базису 1'1'к', т. е. 0 М = х[+ у) + гк, (3.14) 0'М = х'1'+ у')'+ ЕЪ'. (3.15) Если обозначить через а, Ь н с координаты начала 0' второй снстемы относительно первой системы, то 00 = а1 + Ь) + сй. (3.16) Так как любой вектор можно разложить по базису Цй, то найдутся девять чисел а[ (1= 1, 2, 3; пз = 1, 2, 3) таких, что з =аз[1+а[А)+аззе,)'=ал1+аи)+аззк, к'=азз1+азз)+аиз[г.

(3.17) В силу правила треугольника сложения векторов ОМ = 00'+ 0 М. (3. 18) Вставляя в правую часть (3.15) значения 1', )' н й', опреде- ляемые формулами (3.17), н после этого подставляя в (3.18) значения ОМ, 0'М н 00', определяемые формулами (3.14), (3.15) н (3,16), н группируя слагаемые относительно 1, ) н к, получим х1 + у) + гй (а+ а, [х'+ Оь[у'+ аз[э') з + + (Ь + а зх'+ иззу'+ амг') ) + (с + а зх'+ ах[у'+ аззу') й.

(3.19) В силу единственности разложения вектора по базису нз равенства (3.19) получим искомые формулы преобразования ко- ординат: х а+ а,[х'+ аз[у'+ аз,г', у = Ь + а,зх'+ атзу'+ а,зг', (3.20) г = с + а[эх' + иззу'+ аззг'. Итак, доказано следующее фундаментальное утверждение: каковы бы ни были две проиэвольныв декартовы прямоугольные системы координат, координаты х, у и г любой точки пространства относительно первой системы являются линейными функциями координат х', у' и г' той жв точки относительно второй системы. Умножая каждое нэ равенств (3.17) скалярно сначала на 1, а затем на ) н на й, получим следующие выражения для 31 Ф 81 пРВОБРАЗОВАние кООРдиидт.а.

пРОстРАнстВЙ чисел азм: , =соз(1'ц, а, =соз(1')), ам — — соз(1 й), соз ()а1) озз = сов(П), азз = сов() )с) СОЗ (~~8), ам — — СОЗ ((к )), аЗЗ = Сов ()С 2. Выяснение геометрического смысла. Углы Эйлера. Уясним геометрический смысл формул преобразования (3.20).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,25 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее