В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Остается доказать с в о й ст в о 4', утверждающее, что векторный з квадрат любого вектора равен ну- Рвс. 2.21 лю, но это свойство непосредственно вытекает из теоремы 2.13 и из того, что любой вектор а коллннеарен сам с собой. Замечание. Оба свойства 2' и 3' формулируются применительно к первому сомножителю векторного произведения. (Свойство 2' утверждает возможность сочетания числового множителя са с первым множителем векторного произведения, а свойство 3' утверждает возможность распределения относйтельно суммы векторов первого сомножителя векторного произведения.) Естественно возникает вопрос, справедливы лн аналогичные свойства применительно ко второму сомножителю вектор.
ного произведения, т. е. можно ли утверждать, что [а(аЬ)[=а[аЬ[ н [а(Ь+с)1 =[аЬ[+ [ас[. (2.44) Оказывается, свойства (2.44) уже являются с л е д с т в и ям и свойств 2' и 3' и свойства антиперестановочности 1'. В самом деле, из свойств !', 2' н 3' вытекает, что [а(аЬ)[ = — [(аЬ) а[ = — а [Ьа[ = а [аЬ[ н аналогично [а (Ь+ с)[ = — [(Ь+ с) а[ — ([Ьа[+ [са)) [аЬ! + [ас). ') Осиоваиием одного параллелепипеда служит параллелограмм, построеииый иа векторах а и Ь, а другого — параллелограмм, построеииый ва векторах а+Ь и Ь. Равиовеликость указаиимх параллелограммов вытекает из того, что оии имеют общее осиоваике, совпадающее с вектором Ь, и общуеь высоту, опущеииув из конца вектора а+ Ь иа вектор Ь.
'») А также вз того, что вектор а+ Ь лежит в одной плоскости с выь торама а и Ь, причем «между кими». (гл. я ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В заключение отметим, что доказанные свойства имеют фундаментальное значение. Они позволяют при векторном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно и производить сочетание числовых множителей (но при этом необходимо либо сохранять порядок векторных множителей, либо при изменении этого порядка менять знак на противоположный)) . В следующем пункте мы будем существенно использовать зти свойства. 6. Выражение векторного произведения в декартовых координатах. Теорема 2.17.
Если два вектора а и Ь определены своими декартовыми прямоугольными координатами (Х1 У~ 21) Ь (Хз Уз Хз) то векторное произведение этих векторов имеет вид (аЬ] = (У,Хз — УзХН Х,Хз — ХзХН Х,уз — Хзу|). (2А5) Для запоминания формулы (2.45) удобно использовать символ определителя*) и переписать эту формулу в виде й (аЬ]= Х, У, 2, 1Х, У,Х,! (2.45') Далее, принимая во внимание, что а= Х11+ УЦ+21Ь, Ь = =Хз1+ Уз)+Хай, и опираясь на установленную в предыдущем пункте возможность почленного векторного перемножения ') Теория определителей второго и третьего порядков наложена в Дополнения к главе 1.
") При атом мы учитываем также, что векторный квадрат веатора равен нулю (свойство 4' из п. 6), н пряннмаем во внимание„что, поскольку тройка Цй является правой, обе тройки )Ы и Ы) являются правымя, а все трн тройки )йц НЦ и К)! — Левымя (см. п. Ц Формулы (2.3б) и (2.37)). Раскрывая определитель, стоящий в правой части (2.45'), по элементам первой строки, мы получим разложение вектора (аЬ) по базису 1, ), Ь, эквивалентное (2.45). Доказательство теоремы 2.17. Составим из тройки базисных векторов 1, ] и (с все возможные пары и для каждой из пар подсчитаем векторное произведение. Учитывая, что базисные векторы взаимно ортогональны, образуют правую тройку и имеют единичную длину, получим е') ]Н]-О, Ц(] =-Ь, ]Ь)] =), (1)] (с ци () М 1 (2,45) ])й]=-). ЦЬ]=1, ]ЬЬ]-б.
Ф З«ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 73 векторных многочленов, получим [аЬ) = Х Х, [Щ + ХУ, [!)) + Х«Х, [! Ц + У Х, [) «) + У,У, Щ) + +У,Х,ЦЬ)+Х,Х,[Щ+ Х,У,[Щ+2,Х,[Щ. Из последнего равенства и соотношений (2.46) вытекает раз- ложение [аЬ) = (У,Хз — У,Л«) «+ (2«Хз — Х,Х«)) + (Х У, — Хзу,) Ь, эквивалентное равенству (2.45). Теорема доказана. Следствие. Если два вектора а = (Хи Ун Х«) и Ь=(Хз, УЗ,Хз) коллинеарны, то координаты их пропорциональны, т. е, х, у, х, х, = у.
х, ' Заметим, что в знаменателях последних равенств могут стоять нули. Чтобы обойти эту трудность, мы раз н навсегда догово- римся всякую пропорцию а/5 = с/Ы понимать в смысле равен- ства ад = Ьс. Для доказательства следствия достаточно заметить, что из равенства нулю векторного произведения и из формулы (2.45) вытекают равенства У,Яз = УЗУН Я«Х = ХЗХН Х,У~ = Х~УН которые в силу сделанного выше замечания эквивалентны доказываемым пропорциям. 7.
Выражение смешанного произведения в декартовых координатах. Теорема 2.18. Если три вектора а, Ь и с определены своими декартовыми прямоугольными координатами а=(ХН Уи Х,), Ь=(Х„У„Х,), с=(ХМ У„Х,), то смешанное произведение аЬс равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемнажаемых векторов, т. е. ~ х, у, х, ~ аЬс=~лз «з Яз~ ° (2.47) ~х, у, л,~ Доказательство. Так как смешанное произведение аЬс равно скалярному произведению векторов [аЬ) и с и поскольку координаты вектора [аЬ) определяются формулой (2.45), а координаты с равны (Хз, УЗ,Лз), то в силу выражения (2.33) для скалярного произведения векторов в координатах получим аЬс = Хз (У,Яз — УЗЯ,) + Уз (ХЗХ« — Х«Хз) + Хз (Х«уз — Х~У«).
Если воспользоваться выражением для определителя второго порядка и символом такого определителя, то последнее ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [Гл. э в ыражение можно переписать в виде аЬс=Хз [у~ ~ — Уз~у~ ~[+ Яз~», у1 ~ (248) Формулы (2.47) и (2.48) эвивалентны, ибо при разложении определителя, стоящего в правой части (2.47), по третьей строке получается выражение, стоящее в правой части (2.48)э).
Теорема доказана, Следствие. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов а = (Хь УнЯ1), Ь = (Хз, Уз, Хз) и с = = (Хз Уз Яз) является равенство нулю определителя, строками которого служат координаты згих векторов, г. е.
равенство Х~ У, Х[ Х, У, Хэ~ = О, Х, Уэ Хэ~ В самом деле, достаточно привлечь следствие 2 из теоремы 2.16 и воспользоваться формулой (2.47). 8. Двойное векторное произведение. Пусть даны три произвольных вектора а, Ь и с, Если вектор Ь векторно умножается на вектор с, а вектор а также векторно умножаегся на векторное произведение [Ьс[, го получающийся при агом вектор [а[Ьс)) называется двойным векторным произведениемм.
Теорема 2.19. Для любых векторов а, Ь и с справедлива фо мула*') р [а [Ьс[] Ь (ас) — с (аЬ). (2.49) Доказательство. Рассмотрим отдельно два случая: 1) векторы Ь н с коллинеарны; 2) векторы Ь и с не коллинеарны. В первом случае обозначим через со орт вектора с и учтем, что с = [с[ со, Ь = ~[Ь[ со, где знак плюс берется для случая, когда векторы Ь и с одинаково направлены, а знак минус — для случая, когда Ь и с противоположно направлены.
С помощью этих формул для с н Ь получим, что Ь(ас) — с(аЬ) = 0"'), т. е, правая часть (2,49) равна нулю. Но и левая часть (2.49) равна нулю, ибо векторное произведение [Ьс) двух коллинеарных векторов равно нулю. Для первого случая теорема доказана. ') См.
формулу (Д1.16) вз и. 5 Дополнення к главе 1. ") Для запомннання этой формулы удобно следующее яравнло: деоепое векторное произведение розно среднему вектору, умноженному па скалярное произведение двух остальных, минус другой вектор епугргппего произведепиц ум~оасеипэиз по скалярное произведение двух остальных Это правило годится н для случая, когда внутреннее векторное пронэведенне от.
носятся к первым двум векторам: с его помощью получается следующая форм[на ((аь)с) Ь(ас) -а(Ьс), являющаяся следствнем (2.49). е ') В самом деле, элементарный подсчет показывает, что как Ь(ас), так н с(аЬ) равно щ(Ь! ° (с( ° (асэ) сь эх) ввкторноа и смашаниоа произавдвиия викторов 76 Переходим к доказательству теоремы для случая, когда векторы Ь и с мг холлинеаряы. Так как вектор [а [Ьс]] ортогонален вектору [Ьс], а последний ортогонален плоскости, определяемой векторами Ь и с, то векторы [а[Ьс]], Ь и с комиланйрны, а поэтому (в силу следствия 1 из теоремы 2.5) вектор [а[Ьс]] можно разложить по двум неколлинеарным векторам Ь я с как по базису, т.
е. найдутся вещественные числа а и [) такие, что [а[Ьс]] аЬ+ рс. (2.50) Остается доказать, что а= ас, р = — аЬ, Докажем„например, что ск = ас, Воспользуемся теоремой 2.15. Для этого обозначим буквой и плоскость, определяемую векторами Ь и с, буквой е— единичный вектор, лежащий в и и ортогональный к с, буквой я — единичный вектор, ортогональный плоскости и и такой, что тройка еся является правой. По теореме 2.15 [Ьс] = пр,Ь ° [с [ ° и. (2.51) Если се — орт вектора с, то правая тройка есея образует дакартов прямоугольный базис. Разложим вектор а по этому базису, учитывая, что координаты равны проекциям вектора а на базисные векторы: а=е пр,а+со ° пр,а+и пр а. (2.52) Умножая векторно (2.52) на (2.51) и учитывая, что [еи] = — се, [сои] = е, [яи] = 0 (сравните с формулами (2.46) ), получим [а[Ьс]]= — со пр,а пр,Ь ° !с]+е пр,а ° пр,Ь ° (с].
(2.53) Сравнивая формулы (2.50) и (2,53), будем иметь аЬ+[)с= — се ° пр,а пр,Ь ° ]с[+е ° пр,а ° пр,Ь ° [с[. (2.54) Остается умножить обе части (2.54) скалярно на е и учесть, что Ье = пр, Ь, сее = О, ее = 1. Окончательно получим а пр,Ь=пр,а пр,Ь [с[ или а=]с] ° пр,а=ас. Для доказательства равенства [) = — аЬ следует в проведенных рассуждениях поменять ролями векторы с и Ь и учесть, что [а [сЬ] = — [а[Ьс]]. Теорема доказана. 3 а меч анне. Дадим другое докаэательство теоремы 2.19, основанное на спепнальном выборе декартовой прямоугольной снстемы н на непосредственном просчете в коордняатах всех вырахгеннй, участвующих в формуле (2.49).
Направнм ось Ог вдоль вектора с, а ось 8р воаьмем в плоскоств векторов И н с. Тогда векторы а, Ь н с будут нметь следующяе координаты: =(Х, У, Х), Ь=(О, У', Г), с (О, О, 2"). Прямеяяя формулу для векторного проваведення (2.46), будем иметь (Ьс) = = (У'Я", О, 0), а отсюда по той же формуле (2.46) (а(ьсц-(о, гу л", -УУ'л").
(2.65) Далее, очевндно, что (ас) сс", (аЬ) УУ'+Ел', а поатому ь( )-(о, у'лл, х'хг"), (2.66) с(аЬ) (О, О, УУ'2 + ЯЯ'Я ). (2.67) Ыа сопоставлення равенств 12.65), (2.56) в (2.57) вытекает формула (2.49). ГЛАВА 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ В этой главе устанавливаются формулы, по которым преобразуются координаты произвольной точки плоскости (или соответственно пространства) при переходе от одной декартовой прямоугольной системы к произвольной другой декартовой прямоугольной системе. Мы доказываем, что координаты произвольной точки относительно первой системы являются линейными функциями координат той же точки М относительно второй системы. Попутно мы устанавливаем, что если две дерактовы прямоугольные системы на плоскости и (в пространстве) образованы парами (тройками) одной ориентации, то одна из этих систем может быть совмещена с другой посредством параллельного переноса и последующего поворота на некоторый угол ~р в плоскости и (вокруг некоторой оси в пространстве).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
