В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Для вычисления чисел аз и их геометрического значения предположим, что первая и вторая системы имеют общее начало (т. е. а=Ь=С=О). Ради определенности будем считать, что обе системы Охуг и Ох'у'г' являются правыми. Введем в рассмотрение три угла, полностью характеризующие расположение осей второй системы относительно первой. Обозначим через и ось, совпадающую с линией пересечения координатной плоскости Оху первой системы с координатной е плоскостью Ох'у' второй системы и направленную так, что три направления Ог, Ог' и и образуют правую тройку зб е (рис.
3.3). Пусть теперь зр — угол между осями Ох и и, отсчитываемый в плоскости Оху от и оси Ох в направлении кратчайшего поворота от Ох к Оу, Π— не превосходящий и Рас. 3.3 угол между осями Ог и Ог' и, наконец, зр— угол между осями и и Ох', отсчитываемый в плоскости Ох'у' от оси и в направлении кратчайшего поворота от Ох' к Оу'.
Три угла сз, зр и О называются углами Эйлера* ). Очевидно, по трем углам Эйлера и по направлениям осей Ох, Оу и Ог однозначно определяются направления осей Ох'„Оу' и Ог'. Если заданы три угла Эйлера, то преобразование первой системы Охуг во вторую систему Ох'у'г можно представить в виде последовательного проведения следующих трех поворотов: 1) поворота системы Охуг на угол ф вокруг оси Ог, переводящего эту систему в систему Ох8у8гз (рис.
3.4); 2) поворота системы Ох1у8г8 на угол О вокруг оси Охь переводящего эту систему в систему Охзузгз (рис. 3.5); 3) поворота системы Охзузгз на угол зр вокруг оси Огз —— = Ог', переводящего эту систему в систему Ох'у'г' (рис. З.б). Каждый из указанных трех поворотов производится в одной из координатных плоскостей соответствующей системы. Поэто- а) ЛЕОНард Эйпср (1707 — 1733) — ВЕЛВКЫй МатЕМатЫК, ЧЛЕЫ ПЕтЕрбурГ- ской Академыы наук, ббльшую часть жызкы провел в Россыы, ыо ыроыскожде- ыыю швейцарец.
бзак !68 33 првовразованин днкартовых прямозтольиих координат пл.з му для соответствующих координат при каждом таком повороте будут справедливы формулы вида (3.13] (см. $1). Хс) Рвс. 3.6 Рвс. 3.4 Рвс. 3.6 Это позволяет написать следующие формулы: 1) для первого поворота х=х«созф — У« 5!и ф, У=х« 51п ф+ У«созф, х х«., (32Ц 2) для второго поворота у, соз Π— х, 51П О, х, = у, 51п 9+ х, соз О; (3.22) 3) для третьего поворота хс х созф — у 51пф, ус=х 51пф+у соз«р, хс — — х'.
(3.23) Внося (3,23) в (3.22), а затем (3.22) в (3.21), получим х = (х' со5 ф — у' 51п ф) соз ф— — ((х 51п ф+ у созф) со50 — х 51п О) 51п ф, у=(х'соз«р — у'5!о«р) 5!о «р+ (3.24) + [(х' з1П «р + у' соз «р) соз Π— х' 51п 6) соз «р, х = (х~ 5!и «р + ус со5 ф) 51п 6 + х соз О. Сравнивая формулы (3.24) с формулами (3.20) (прн а = = Ь = с = О), окончательно получим выражения для чисел ав через углы Эйлера: ап=созфсоз«р — з1п фсозОз1п«р, а„= 51п ф соз «р+ соз ф соз 0 51п «р, ам з1п 6 5«п ф, а⫠— соз ф 5!и ф — з1п ф соз О соз ф, асс = — 51П ф 51п ф+ сов ф соз6 созф> (3.25) а,з —— з1п Осоз«р, аз« = з1п ф 51п 9, пм — соз«р з!п9, ам = соз О. Для вывода формул (3.25) мы использовали допущение, что обе системы имеют общее начало. Разумеется, отказ от этого допущенпя не изменит вида формул (3,25), ибо ни направление ЛИНЕИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ З З1 осей координат, нн велнчнна углов Эйлера не завнснт от того, где выбрано начало первой н второй систем.
Самое общее преобразование координат представляет собой суперпозицию (последовательное проведение) параллельного переноса и трех производимых в соответствующих координатных плоскостях поворотов и определяется формулами (3.20), в которых (при условии, что обе системы являются правыми) числа а~ выражаются через углы Эйлера по формулам (3,25).
Формулы, аналогичные (3.25), могут быть получены н для случая, когда системы Охух н О'х'у'х' либо обе являются левымн, лнбо имеют разную орнентацню. Замечание. Еслн Охух н О'х'у'х' — две пронзвольные правые декартовы прямоугольные системы в пространстве, то первая нз них может быть совмещена со второй посредством параллельного переноса, совмещающего их начала, н одного поворота вокруг некоторой оси в пространстве. Для нахождення указанной осн, во-первых, учтем, что она проходит через общее начало О' совмещенных посредством параллельного переноса систем (нбо это начало остается неподвижным прн повороте), и, во-вторых, заметнм, что еслн О'М'— пронзвольный вектор, лежащий на искомой осн вращення, то координаты точкн М' не изменяются прн повороте.
Отсюда вытекает, что для нахождення координат х', у' н х' точки М' в системе ОЪ'у'х' следует в системе (3.20) (взятой прн а=Ь=с=0) положить х х~, у у', хз х Это прнведет нас к следующей однородной снстеме трех уравненнй с тремя нензвестнымн: (аи — Ц '+ „у'+ „"=0, а.'+(. — 1)у+ ~=0, (3.26) а~эх'+ июу'+ (ам — 1) х' = О. С помощью формул (3.25) можно показать, что определитель этой системы равен нулю. Стало быть, в силу п.
8 Дополнения к главе 1 система (3.26) имеет нетривиальные решения, которые определяют совокупность коллннеарных векторов О'М', лежащих на осн вращения. Одннм нз таких векторов будет вектор УМьт= (х', у', 1), коордннаты х' н у' которого определяются из первых двух уравненнй (3.26) прн х' = 1. $3. Линейные преобразования 1. Понятие лннейных преобразованнй плоскостн.
Линейным преобразованием плоскости и называется преобразование, прн котором каждая точка М(х, у), этой плоскости переходит в зл првоирдзовлниз двкдртовых прямоугольных коордннлт (гл.з точку М', коордннаты х', у' которой определяются формулами х'=апх+а„у+ а~а. у' = ат,х+ ажу+ аю. (3.27) Обычно говорят, что соотношения (3.27) задают линейное пре- обраэованне плоскости. Определитель ~ам ад~ (3.28) 3'. Преобразование, обратное данному аффинному (т.
е. преобразование плоскости и, переводящее точки М'(х', у') в точки М(х, у)), также является аффинным. ') Если Ь = О, то с помошью преобрааоваиня (2.27) все точки М(л, у) плоскостя я преобраауются в точки М'(л', у'), расположенные яа некоторой прямой. Действительно, если Ь О, то аи = Хаы, аы Хааа Поэтому. если мы умиожим на -Х второе иа соотношений (3.27) и сложям с первым, то получим л' — Ху' аы — Хааа. Мы видим, что коордянаты л', у' точек М' удовлетворяют линейному уравнению, т.е. все точка М' лежат иа прямой.
называется определителем линейного преобразования (3.27). В случае ЬФО преобразование (3.27) называется невырожденным, а в случае Ь = Π— вырожденным. Мы в дальнейшем будем рассматривать невырожденные линейные преобразования, т. е. будем счнтать ть чь О'). Такие линейные преобразовання называются аффинными. Замечание. Наименование линейное преобразование объясняется тем, что координаты х', у' точек М' — образов точек М(х,у) (саин этн точки называются прообразами точек М') являются лннейнымн функциями координат х, у.
Отметим, что определение линейных преобразований ннварнантно относнтельно выбора декартовой системы координат, поскольку координаты точки в одной декартовой системе координат выражаются линейно через ее координаты в любой другой декартовой системе коордннат. 2. Аффннные преобразования плоскости. В предыдущем пункте мы отметилн, что аффннные преобразования плоскостн †э линейные преобразования (3.27), для которых Ь чь О. Перечнслнм некоторые свойства таких преобразований. 1; Последовательное выполнение двух аффинных преобразований является аффинным преобразованием. Это свойство проверяется непосредственно. 2'. Тождественное преобразование х' = х, у' = у также является аффинным.
Действительно, для этого преобразования линкинык птковтязовяния Докажем это свойство. Обратное преобразование может быть получено следующим образом. Найдем х н у из соотношений (3.27). Для этого перепишем их следующим образом: аих + апу = х' — ам, амх+ амУ вЂ” У' — аз Решение этой системы имеет такой внд: х=Л„/Л, У=Л»/Л, (3.29) где Л=~еи ва~ФО Л =~» — еп в»~ Л =~вп (см. Дополнение к главе 1, формулы (Д1.8) н (Д1.6)). Раскроем выражения для Л, и Л„по формуле (Д1.2) и подставим полученные значения в (3.29). Получим следующие выражения для обратного преобразования: (3.30) Видим, что обратное преобразование является линейным.
Чтобы убедиться, что оно является аффинным, остается доказать, что его определитель Л' чь О. В самом деле, ам вп Ь Ь д» Р' а "" ве ео ь а Итак, доказано, что преобразование, обратное данному аффинному, также является аффнниым. 4'. Аффинное преобразование представляет собой взаимно однозначное преобразование плоскости. Это означает, что каждая точка М'(х', у') есть образ единственной точки М(х, у) н в свою очередь каждая точка М(х,у) представляет собой прообраз лишь одной точки М'(х',у'). Докажем это свойство. Предположим, что две точки М(х, У) н б)(х, у) преобразуются с помощью (3.27) в одну точку М'(х',у').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
