В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Тогда путем вычитания из соотношений (3.27) аналогичных соотношений для координат х, у точки М получим следующую систему линейных уравнений для разностей х — Я, у у: ап(х — х)+а„(у — у)= О, ам (х — х) + ам(у — у) О. ЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ [ГЛ. 3 Эта система имеет нулевое решение х — х О, у — у = О, а так как ее определитель а ! " "1чмО, то это нулевое решение ! Ем ВАт! единственно. Итак, х= х, у = у, т.-е.
точки М и Я совпадают. Таким образом, каждая точка М'(х',у') есть образ единственной точки М(х,у). Обращаясь к формулам (3.30), путем аналогичных рассуждений мы убедимся, что каждая точка М(х,у) представляет собой прообраз лишь одной точки М'(х',у'). 3. Основное. свойство аффинных преобразований плоскости. Докажем следующее утверждение: Теорема 8.1. 17ри аффинном преобразовании плоскости каждая прямая переходит в прямую и параллельные прямые переходят в параллельные прямые. Доказательство. Рассмотрим на плоскости и прямую Ь, определяемую уравнением Ах+ Ву+ С = О. (3.31) Чтобы выяснить, что представляет собой совокупность точек М'(х',у') — образов точек М(х,у), расположенных на прямой Ь,— подставим в уравнение (3.31) вместо х и у их выражения через х', у' по формулам (3.30). В результате получим соотношение вида А'х'+ В'у'+ С' = О.
(3.32) Мы видим, что х' н у' удовлетворяют линейному уравнению (3,32), т. е. точки М'(х', у') расположены на прямой Ь', определяемой уравнением (3.32). Итак, доказано, что все точки прямой Ь при аффинном преобразовании (3.27) переходят в точки прямой Ь'. Так как прн обратном аффинпом преобразовании (3.30) все точки прямой Ь' перейдут в точки прямой Ь, то в силу взаимной однозначности аффннного преобразования (см.
п. 2, свойство 4'), прямая Ь переходит в прямую Ь'. Итак, при аффинном преобразовании прямая переходит в прямую. Перейдем к доказательству втопой части теоремы. Пусть Ь1 и Ьэ — параллельные прямые, а Ь, н Ь'.— Их образы при аффинном преобразовании (3.27) плоскости и. Допустим, что прямые Ь; и Ь'. имеют общую точку М'. Так как аффинное преобразование взаимно однозначно, то М' — образ только одной точки М, причем М должна принадлежать и Ь~ и Ьм что невозможно, поскольку Ь~ и Ьз параллельны. Следовательно, Ь; и Ь' ие имеют общих точек, т.
е. параллельны. Теорема доказана. Естественно поставить вопрос о геометрическом способе задания аффинного преобразования плоскости. Определенный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение: линвииын првозрлзовдния за) Теорема 3.2. Аффинное преобразование плоскости определено однозначно, если заданы образы трех точек, не лежащих на одной прямой и эти образы также не располагаются на одной прямой. Доказательство. Пусть точки М1(хьу1), Мг(хмуг), Мз(хз,уз) плоскости и не лежат на одной прямой и точки М', (х,', у,'), М;(х,', у,'), М,'(х,', у,') этой плоскости также не лежат на одной прямой. Убедимся, что существует единственное аффннное преобразование плоскости и, переводящее точки Мь Мь Мз в точки М;, М;, М,' соответственно. Пусть искомое аффинное преобразование задается соотношениями (3.27) с неизвестными коэффициентами ап, аы, аиь ам, акь агз.
Докажем, что прн наших предположениях эти коэффициенты определяются однозначно и, кроме того, определитель Ь, вычисленный по формуле (3.28), отличен от нуля. Этим, очевидно, и будет завершено доказательство теоремы. С помощью первой из формул (3.27) получим соотношения х1 = а~ Р1 + а1гуз + а~з~ хг =а~Рг+ а~гуг+ а~з хз =а~1хз+ амуз+ а1з которые можно рассматривать как систему трех линейных уравнений относительно неизвестных ан, а~г, а|з. Определитель этой системы (3.34) отличен от нуля, так как по абсолютной величине равен площади параллелограмма, построенного на неколлинеарных векторах М,М, н М~М, ь).
Поэтому система (3.33) однозначно разрешима относительно ап, агз и азз. Обращаясь ко второй из формул (3.27), с помощью аналогичных рассуждений убедимся, что и величины ам, ащ и ащ определяются однозначно. Таким образом, однозначно определяется линейное преобразование (3.27), переводящее точки Мь Мз и Мз соответственно в точки Мо М', и М',. Остается доказать, что определитель Ь (см. (3.28)) полученного преобразования отличен от куля.
Обратимся к ') Тзв кзк точна Мь Мз в Мз ве лозсзт вз одной примоя, то векторы М,И~ ы М,М, ыс коллиисзрым. В свсгсме координат Охре (ось Ол иерпсндвиулвриз плосвосты и) зтн векторы соотвстствсыио нмеизт иоордвнзтм (хз — хь уз-уь О) в (хг — хь рз-уь О) Поэтому модуль векторного произнеаеавн зтнх зсвторон равен модулнз определители (3.34) в, клн известно, рзвеы пло. щади параллелограмме, построенного ва данник векторах.
88 пРеОБРАзОВАние декАРтовых НРямортольних ЕООРдинят и'л. 3 определителю ! l з з I х — х у — у, з з I з Уа Уз (3.35) Этот определитель отличен от нуля, так как по абсолютной величине равен плошади параллелограмма, построенного на неколлннеарных векторах МзМг и М',М;е). С помощью первой нз формул (3.27) получим для элемента х', — х', определителя (3.35) следующее выражение: х, '— х', = а„(х, — х,) + азг (уг — у,).
Аналогичные выражения получим с помощью формул (3.27) и для остальных элементов определителя (3.35). Подставляя найденные выражения для х,' — х'„у', — уп х', — х', и у', — у,'в (3.35), после несложных преобразований получим Г з з з~ хг хз Уг Уз ~ азз озз ~ 1«а — т, уз — у 1 (3.36) ха в х, уе†у, ~яз~ язз! ~хз — хз уз — у,~' Так как определители ! з хг хз Уг У| (х,— хз уз — уз ~ «г — хз Уг — У ~ ! з — х Уз — У отличны от нуля, то из (3.36) следует, что и Ь=! " и" ]*шй. ~ озз озз~ Тео ема доказана. а м е ч а н н е. Аффннное преобразование, для которого от«~ =1, называется зквиаффинным, т.
е. сохраияюшим оы ом площади. Для таких преобразований соотношение (3.36) означает равенство площадей параллелограммов, построенных иа векторах М,Мг и М,Мз и на векторах М;М' и М,М'. 4. Основной инвариант аффиииого преобразования плоскости. Простым отношением трех точек А, В и С на прямой Е называется число (АВС) = ж. (3. 37) / з ') Этп ЯектоРы ЯеколлппеаРЯы, так как точки МР Мг Я Мг Яе лежат яа охяой прямой. См.
прекыяузяузо сяоеку. которое, очевидно, равно отношению, в котором точка В делит направленный отрезок АС. Докажем следующее утверждение: Теорема 33. Простое отношение трех точек на прямой является инвариантом аффинного преобразования. .ЛННЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Инымн словами, простое Отношение трех точек на прямой ие меняется при аффинных преобразованиях. Доказательство, Рассмотрим три точки А(хцу~), В(«му«) н С(х,, у«) на прямой Ь.
Из формул (1.11) главы 1 для координат точки, делящей отрезок АС в отношении Л = АВ/ВС, получаем для рассматриваемого случая следующее выражение для Л: Л= х~-«, у« — у, х,— х«у,— у« (3.38) Пусть А'(хц у',), В'(хм у',) н С'(х,', у',) — образы точек А, В и С соответственно прн аффннном преобразовании (3.27). Точка В' делит отрезок А'С' в отношении Л', причем / т х -х1 Л'=— / «3 — х« (3.39) (3.40) Подставим теперь в числитель правой части (3.39) найденное выражение для х,' — х,', а в знаменатель — выражение для х,' — х,' (см. вторую формулу (3.40)).
После сокращения на ац(х«вЂ” — х~)+ ам(уз — у«) получим Л = Л'. Так как Л = АВ/ВС = =(АВС) и Л'=А'В'/В'С'= (А'В'С') (см. (3.37)), то (АВС) = =(А'В'С'), т. е. при аффннном преобразовании простое отношение трех точек не меняется. Теорема доказана, Замечание. Простое отношение трех точек называется основным иивариантом аффннного преобразования, так как через него могут быть выражены все другие инварианты аффниного преобразования. б.
Аффиииые преобразования пространства. Аффиииым преобразованием пространства называется преобразование, прн котором каждая точка М(х,у, х) пространства переходит в точку М; координаты х', у', г' которой определяются формулами х' = ацх+ ацу+ апе+ а о у' = а„х+ аму+ аме+ а,<, (3.41) ,«+ + + Из (3.27) получаем х', — х', = ац (х, — х,) + а„(у, — у,), Из соотношений (3.38) получим, что х« — х1 = Л(хз — х«) и у« — у~ = Л(у« — у,). Подставляя найденные значения х« — х~ и у,— у~ в первую из формул (3.40), получим х« — «~ =Л(а ~ (х — х )+а (у — у«)].
эо пгнозглэовлнии дикавтовых пгямотгольных коовдиилт 1гл.э причем определитель ~аи ам ад( а=~ам вм взз~ ви им взз считается отличным от нуля: а чь О. В полной аналогии со случаем плоскости доказываются следующие свойства аффинных преобразований пространства: 1'. Последовательное выполнение аффикных преобразований пространства является аффинмым преобразованием пространства.
2'. Тождественное преобразование является аффинным. 3'. Преобразование, обратное данному аффинному, такзсе является аффикным. 4'. Аффинное преобразование пространства взаимно однозначно. Основное свойство аффннного преобразования пространства формулируется следующим образом: при аффимном преобразовании пространства плоскости переходят в плоскости, прямые в прямые, параллельные плоскости и прямые переходят в параллельные плоскости и прямые.
Геометрический способ задания аффнниых преобразований пространства основан на следующем утверждении: аффимное преобразование пространства определено однозначно, если заданы образы четырех точеК не лежащих на одной плоскости, и зти образы также не лежат на одной плоскости. Как н в случае плоскости, основным ннварнантом аффннного преобразования пространства служит простое отношение трех точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
