В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Аналитически это означает, что вместо системы (4.15) можно взять любую эквивалентную систему. Например, уравнения двух сфер х' -1- у'+ г'= 1, х'+ у'+ (г — 3)' = 1О совместно определяют лежащую в плоскости Оху окружность радиуса единица с центром и начале координат. Ту же самую окружность можно определить и двумя уравнениями х + уо+ го = 1, х + у + (г — 1Я~ — 1) = )со, во втором из которых в качестве к можно взять любое вещественное число, превосходящее единицу. 3.
Цилиндрйческне и конические поверхности. Предположим, что в пространстве задана декартова прямоугольная система координат Охуг. Определение л. Поверхность 5 называется ц и л и н д р и ч вской поверхностью с образующей, параллельной оси Ог, если она обладает следующим свойством: какова бы ни была лежащая на этой поверхности точка Мо(хо,уо,го), прямая линия, проходящая через эту точку и параллельная оси Ог, целиком лежит на поверхности 5. Любую целиком лежащую на цилиндрической поверхности 5 прямую называют образующей этой поверхности.
Совершенно аналогично определяются цилиндрические поверхности с образующими, параллельнымн осям Ох или Оу. Определение 2, Поверхность 5 называется конической с вершиной в начале координат О, если она обладает следующим свойством: какова бы ни была лежащая на этой поверхности и отличная от качала координат точка Мо(хо, уо, го), прямая линия, проходящая через точку Мо и через начало координат О, целиком лежит на поеерхкосги 5. Постараемся выяснить, какими уравнениями определяются цилиндрические и конические поверхности. Ради определенности будем рассматривать цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Ог. Докажем, что всякое уравнение вида лт (х, у) О, (4.16) уРАВнения поверхности и линии !05 связывающее дее перелсенные х и у и не содержащее г, определяет цилиндрическую поверхность с образующей параллельной оси Ог. Пусть Мэ(хэ, у„г,) — любая точка, лежащая на поверхности 5, определяемой уравнением (4.!6).
Тогда координаты этом точки дол>хны удовлетворять уравнению (4,16), т. е. справедливо равенство Р(ле уе)=О. (4.17) Достаточно доказать, что любая точка М прямой, проходящей через Ме и параллельной осн Ог, также лежит на поверхности 5, т. е. имеет координаты, удовлетворяющие уравнению (4.!6). Какова бы ни была точка М прямой, проходящей через Мо(хе,уе, ге) н параллельной оси Ог, ее абсцисса н ордината те же, что н у точки Ме, т. е. равны соответственно хе и уе, а апплнката г имеет какое угодно значение. Но в уравнение (4.16) входят только абсцисса и ордината, а они в силу равенства (4.!7) удовлетворяют этому уравнению.
Тем самым доказано, что 5 в цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси Ог. Заметны, что на координатной плоскости Оху уравнение (4.!6) определяет плоскую линию, которую обычно называют направляющей рассматриваемой цилиндрической поверхности. В пространстве эта линия определяется двумя уравнениями: Р(х, у)=О, г О, первое из которых определяет рассматриваемую цилиндрическую поверхность, а второе — координатную плоскость Оху *).
В качестве примера приведем уравнение х* + у' = гт, определяющее круглый цилиндр с образующей, параллельной оси Ог, и с направляющей, представляющей собой лежащую в плоскости Оху окружность единичного радиуса с центром в начале коо динат. (' ерейдем к выяснению вида уравнения конической поверхности. Напомним, что определенная для любых значений аргументов функция Р(х,у,г) называется однородной функцией (степени и), если, каково бы ни было вещественное число й, справедливо равенство Р(йх, йу, нг) = йеР(х, у, г).
(4.18) Докажем, что уравнение Р (х, у, г) = О, (4.19) ') Ибо уравиеиию л 0 удовлетворяют ююрдиваты любой точки, леасаэаеа иа илосиости Осу, и ие удовлетворяют координаты иа алиев точиа, ие лемешев иа этой илоскост>с уРАВнения повеРхности и линни !Гл.о в котором Р(х,у, г) является однородной функцией любой сгелени л, определяет коническую ловерхносто. Пусть Мо(хо,уо,го) — любая отличная от начала координат точка, лежащая на поверхности 3, определяемой уравнением (4.19). Тогда справедливо равенство Р(хо уо го) О. (4.20) Достаточно доказать, что, какова бы ни была точка М(х,у,г), лежащаЯ на пРЯмой, пРоходЯщей чеРез точкУ Мо(хо Уо,го) н через начало координат О, координаты х, у и г этой точки удовлетворяют уравнению (4.19). Так как векторы ОМ н бМо коллинеарны (как лежащие на одной прямой) и вектор ОМо является ненулевым, найдется (в силу теоремы 2.1) вещественное число й такое, что ОМ = = й ОМо.
На основании линейных свойств координат вектора (см. п. 8 $1 главы 2) можно утверждать, что координаты вектора ОМ равны соответствующим координатам вектора ОМ„ умноженным на число й, т. е. йхо, у=йуо, й Нз последних равенств и нз того, что г" (х, у,г) (как однородная функция некоторой степени л) удовлетворяет соотношению (4.18), получим Р (х. Ув 2) = г (Яхоэ куй кго) = й Р (хо> Уо 2о), а отсюда в силу равенства (4.20) окончательно будем иметь г(х, У,2) — 0 Доказательство того, что поверхность 5, определяемая уравнением (4.19) с однородной функцией г(х,у,г), является конической, завершено.
Заметим, что прямые, целиком лежащие на конической поверхности, называются ее образующими и что все образующие (как это видно из проведенного доказательства) проходят через начало координат О. Простейшим примером конической поверхности может служить круглый конус, определяемый уравнением хо + у' — го=О. Эта поверхность исследуется в п.
4 $ 3 главы 7. Функция г(х,у,г) = хо+уз — го, задающая ее уравнение, является однородной функцией второго порядка. 4. Параметрические уравнения линии и поверхности в пространстве. В п. 2 мы рассматривалн линию в пространстве как пересечение двух поверхностей. Возможен н очень естествен с кинематической точки зрения и другой подход к понятию линии в пространстве, основанный на рассмотрении этой линии как пути, пройденного материальной точкой, непрерывно движущейся по определенному закону. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ $21 ! 07 Как н для случая плоской линии (см.
и. 2 $1), этот подход приводит к параметрическому представлению лнннн в пространстве, заключающемуся в том, что координаты х, у н г любой точкн данной линии задаются как непрерывные функции некоторого параметра ! (преставляющего собой время). Итак, прн таком подходе координаты х, у, г любой точки линии Ь задаются как трн функцин х=ф(О. у=ф(2), г=х(~), (4,21) определенные н непрерывные в некотором промежутке изменения параметра й Конечно, этот способ определения лнннн в пространстве эквивалентен определению ее в виде пересечения двух поверхностей.
Чтобы убедиться в этом, предположнм, что хотя бы одна (например, третья) нз функцнй (4.21) допускает обратную. В таком случае нз третьего равенства (4.21) получим, что ! = = у.-'(г), я, подставляя это значение ! и первые два равенства (4.21), получим уравнения двух поверхностей х = ф (х ' (г)], у = ф [Х ' (г)), пересечением которых служит данная линия. В качестве прнмера приведем параметрические уравнения окружности радиуса г) О, лежащей в координатной плоскостн Оху н имеющей центр в начале коордннат. В декартовой прямоугольной системе на плоскости Оху такая окружность определяется одним уравнением х2+у2= г2 (см. п. 1 $1), в пространстве же эта окружность определяется двумя уравнениями: х2+уэ=г2, г=О, первое нз которых определяет цилнндрнческую поверхность, направляющей которой служит рассматриваемая окружность н образующая которой параллельна оси Ог, а второе уравнение определяет координатную плоскость Оху.
Из п. 2 $1 мы уже знаем, что на плоскости Оху параметрнческне уравнения окружности х'+ у' = г2 имеют внд х=гсоз |, у = г юп 1, где О ( ! ( 2н. Очевидно, та же окружность в пространстве задается тремя уравнениями: х=гсоз2, у гз!и Г, г — О, причем параметр ! пробегает полусегмент О ( 1( 2н. Для параметрического задания поверхности координаты любой точки этой поверхности должны быть заданы как функции не одного, а двух параметров р н д. Убедимся в том, что трн уравнения х=ф(р, д), у=ф(р, д), Е=Х(р. 0) (4.22) определяют в пространстве некоторую поверхность, УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ юв 1гл.е Для этого предположим, что хотя бы одна пара из трех уравнений (4.22) может быть разрешена относительно параметров р и о.
Допустим, например, что нз первых двух уравнений (4.22) р н д могут быть выражены как функции х н у: р = = Ф! (х, у), о = Фт(х, у). Вставляя этн значения р н д в третье уравнение (4.22)„мы получим уравнение с тремя переменными г — х(Ф!(х, у), Фт(х, у)) =О, определяющее, как нам известно, некоторую поверхность*). В качестве примера приведем параметрические уравнения сферы радиуса Г О с центром в начале координат: Х=Гсозйз!п!р, у=Г 5!п051пгр, н=гсозгр.
Здесь параметры О и !р представляют собой угловые сферические координаты (долготу и широту) точек поверхности сферы (см. $4 главы 1). Для того чтобы все точки сферы обходились один раз, следует ограничить область изменения параметров промежутками О < О < 2п, О < !р < и.
б. Классификация поверхностей. В полной аналогии с классификацией плоских кривых устанавливают следующую классификацию поверхностей. Определение г. Поверхность называется а л ге бр а и ч е с ко й, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат она определяется алгебраическим уравнением с тремя переменными. Оиределение 2. Всякая не алгебраическая поверхность называется транс!)ендентной. Опредеяение 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
