В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, будем называть и а п р а нляющим вектором эгай прямой Иоставим перед собой задачу найти уравнение прямой, проходящей через данную точку М~(хну~) и имеющей заданный направляющий вектор а = (1, т) Очевидно, точка М(х,у) лежит на указанной прямой тогда н только тогда, когда векторы М~М = (х — хп у — у ) н с) = = (1,т) коллннеарны, т е тогда н только тогда, когда координаты этих векторов пропорпнональны (см. следствне нз теоремы 2.!7) ч — к р — р е (5.7) Уравнение (5.7) н есть искомое уравнение прямой Это уравненне называют обычно каноническим уравнением прямой Заметим, что в каноническом уравнении (5.7) один нз знаменателей ! нлн пг может оказаться равным нулю (оба числа 1 н т равняться нулю не могут, нбо вектор а = (1, гп) ненулевой) Так как всякую пропорцйю а/Ь = с/й мы договорнлнсь понимать как равенство ай = Ьс, обращение в пуль одного из знаменателей в (5 7) означает обращение в нуль и соответствующего числителя В самом деле, еслн, например, 1= 0, то, поскольку т чь О, нз равенства 1(у — у~)= пг(х — х~) заключаем, что х — х1 —— 0 В заключение запишем уравнение прямой, проходящей через две данные точки М~(хи у1) и М,(хг, уз) (конечно, этн точкн считаются отличными друг от друга).
Так как за направляю- ') Термин «канонический» 1от греческого киче»ч — правило. предписание, образен) поивиаетсн здесь как «типовой» «траднцноииий». 83»к. 168 ЛИНЕИНЫЕ ОБРАЗЫ [ГЛ. Б прямой можно взять вектор [(=М,Мз = и прямая проходит через точку М,(хьу[), уравнения (5.5) получим уравнение иско- щий вектор такой = (хз — хь уз — у1) то из канонического мой прямой в виде к — х1 У вЂ” У1 й (5.8) хр х~ 4.
Параметрические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой элементарно получаются из канонического уравнения втой прямой. Примем за параметр [ величину, стоящую в левой и в правой частях (5.7). Так как один из знаменателей (5.7) отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра [ является вся вещественная осьл — оо ( [ ( С оо, Мы получим х — х~ — — И, у — у~ и[[ или окончательно х х,+И, у у,+и[[. (5,9) Уравнения (5.9) и есть искомые параметрические уравнения прямой. Уравнения (5.9) допускают наглядную механическую интерпретацию. Если считать, что параметр [ — это время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения (5.9) определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью о = = ~~Р+ и[ (такое движение происходит по инерции). 6.
Прямая с угловым коэффициентом. Рассмотрим любую прямую, не параллельную оси Ох. Введем понятие угла на- клона этой прямой к оси Ох. ПредполоУ жим, что рассматриваемая прямая пересекает ось Ох в точке А (рис. 5.2). Возьмем на оси Ох произвольную точку М, лежащую по ту сторону от точки А, куда направлена ось Ох, в а на рассматриваемой прямой произвольную в л и, точку Ф, лежащую по ту сторону от точки А, куда направлена ось Оу. Угол [х л' й[АМ рас. Е.а назовем углом наклона данной прямой к оси Ох. Если прямая параллельна оси Ох нли совпадает с ией, то угол наклона этой прямой к оси Ох мы будем считать равным нулю. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох назовем углов ы м коэффициентом этой прямой.
Если обозначить буквой й угловой коэффициент данной прямой, а буквой а угол наклона этой прямой к оси Ох, то по определению можно записать й = (пи. Заметим, что для прямой. параллельной оси Ох, угловой коэффициент равен нулю, а для прямой, перпендикулярной оси э н гхзличные виды тглвнеиня пгямои на плоскости !!б прямая может быть наклонена к оси Ох под острым или под тупым углом и ее направляющий вектор и может иметь два противоположных направления, то возможны четыре случая, изображенных на рис. 5.3. В случаях 1) н 3) 8 = а и для проекций на оси вектора и справедливы формулы 1=!ц! зй, т = ! ц ! соз Я вЂ” 8) = ! ц ! з!п 8. х г) Рис. 5.3 В случаях 2) и 4) О и†а и для проекций вектора ц справедливы формулы!=!ц)сов О, т = — !и!з!пО. Таким образом, в случаях 1) и 3) !яй=!да и т/1=!88 а в случаях 2) и 4) !88= — !уа и т/1= — !88.
Стало быть, во всех четырех случаях !уа = т/1, н утверждение доказано. Для того чтобы вывести уравнение прямой, проходящей через заданную точку М~(хну~) и имеющей заданный угловой коэффициент й, умиожим обе части канонического уравнения (5.7) на т и учтем, что т/1 = й. Получим искомое уравнение в виде у — у,=й(х — х,). (5.10) Если теперь обозначить через Ь постоянную Ь = у~ — Ьх„то уравнение (5.10) примет вид у=йх+Ь. (5.11) Уравнение (5.11) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
В этом уравнении й обозначает угловой коэффициент данной прямой, а Ь представляет собой величину отрезка, отсекаемого данной прямой на оси Оу, начиная от начала координат. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть совместно уравнение (5.11) и уравнение х= О оси Оу и Ох, угловой коэффициент не существует (в последнем случае иногда формально говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконечность»). Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку М~ (хь у~) и имеющей данный угловой коэффициент й. Для этого докажем сначала следующее утверждение: если прямая не параллельна оси Оу и имеет направляющий вектор и = (1, т), то угловой коэффициент этой прямой й равен й = т/1. Пусть сг — угол наклона прямой к оси Ох, а Π— угол наклона направляющего вектора и= (1,т) к оси Ох. Так как ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ 116 1гл.
з найти координаты точки пересечения оси Оу и прямой (5.11): х = О, д = Ь (рис. 5.4). 5. Угоя между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. а) Пусть сначала дпе прямые г'.1 и с,г заданы общими уравнениями А,х+ ВРУ+ С1 —— О и А,х+ В,у+ Се=О. Так как нормальным вектором прямой с'.1 является вектор п = р =(АНВ1), а нормальным вектором прямой Ц является вектор пг = (Аг, Вг), то задача об определении угла между прямыми 1.1 и Е.г сводится к определению угла ф между векторами п, и пг«). гг Из определения скалярного произведения Рнс. 64 п~пг — — »п1)»пг»созф и из выражения в координатах длин векторов п~ и пг и нх скалярного произведения получим созф = А,Аг+ В,Вг /Аг+ Вг /1г+ Вг Итак, угол ф между прямыми (.~ и с.г определяется с помощью формулы (5.12).
У с л о в и е п а р а л л е л ь н о с т и прямых с'.г н г'.г, эквивалентное условию коллинеарности векторов п, и пг, заключается в пропорциональности координат этих векторов, т. е. имеет внд ««) (5.13) А В (5.!2) Условие перпендикулярности прямых (., и может быть извлечено из формулы (5.12) (при созф=О) или выражено равенством нулю скалярного произведения п, - пг, Оно имеет вид «» Любые две пересекавщнесв прямые образуют два угла, в сумме равнмк и Нам достаточно определить один пз пнх.
'*) Прн атом, как и выше, мы понпмаем пропорпнш л/Ь = с/о в смысле равенства пгг = Ьс. А,Аг + В~Вг = О. (5.14) б) Пусть теперь дпе прямые (ч и с'.г заданы каноническими УРавнениями л — л, л л — ! и '1 РП, гг пгг Так как направляющими векторами прямых 4 и ».г служат векторы г»1 = (1ь пг~) и г»г = (1г. Лгг), то в полной аналогии со случаем а) мы получим: з н зззличныз виды гэзвнзния пгямои нх плоскости ит 1) формулу для угла у между прямыми 1.! и 1.з: 1,!з+ ы,ыз сов <р = Ф~+ ы( дз+ -т 2) условие параллельности прямых (.! и 1.~.' 1, гл, 1р ыь ' 3) условие перпендикулярности прямых 1.! и Ез.' 1!(з + гп1гпз —— О.
(5 144) в) Пусть, наконец, две прямые 1.! и (.з заданы уравнениями с угловым коэффициентом у=й,х+Ь! и у=йзх+Ьз. Если и! и аз — углы наклона прямых 1.! и 1з к оси Ох, а р — один из углов между этими прямыми, то из элементар- ных соображений (рис. 5.5) вытекает, что с (5.12') !р = оз — по Таким образом, 1яа,— 1яа, а,— Ь, ! + 1К а, 1я а, 1 + а, аз ' Рве. 5.5 (5.14") "г = — 11й! ° Мы получаем следующую формулу для определения угла йч 1йч= 1+а,а, . (5.12") Если в этой формуле поменять ролями А! и йз (от чего фактически лишь изменится знак на противоположный), то эта формула определит нам другой угол между прямыми, смежный по отношению к прежнему углу (эти два угла в сумме составляют и н тангенсы их отличаются лишь знаком).
Прямые параллельны, когда тангенс угла между ними равен нулю, т. е. условие параллельности имеет вид й!=Ьз (5.13") (при этом числитель в (5.12") равен нулю, а знаменатель строго положителен). Условие перпендикулярности прямых Т.! и Хз также можно получить из (5.12"). Оио отвечает случаю, когда тангенс угла <р не существует, т. е. случаю обращения знаменателя формулы (5.12") в нуль: й!Ьз+ 1 = О. Итак, условие перпендикулярности прямо!х 1.! и Ьз имеет вид линенные ОБРАзы Ыз 1гл.
а 7. Нормированное уравнение прямой. Отклонение точки от прямой. Рассмотрим какую угодно прямую 1.. Проведем через начало координат О прямую и, перпендикулярную г., н обозначим буквой Р точку пересечения указанных прямых (рис. 5.6). На прямой и возьмем единичный веки тор п, направление которого совпадает с направлением отрезка ОР (в случае совпадения точек О и Р направление п АГ У выберем произвольно). 0 Поставим перед собой цель — выра- зить уравнение прямой Ь через два паРис. 8.6 рамгтра: 1) длину р отрезка ОР, 2) угол 6 между вектором п и осью Ох. Так как и †единичн вектор, то его координаты, соответственно равные его проекциям на оси координат, имеют вид *) п=(созй, з)пй).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
