В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(5.15) Очевидно, точка М(х, у) лгакит на рассматриваемой прямой Ь тогда и только тогда, когда провинил вектора ОМ на ось, определяемую вектором и, равна р, т. и. при условии пр„ОМ=р. (5.16) Так как и — единичный вектор, то в силу определения 2 скалярного произведения (см. п. 1 6 2 главы 2) пр„ОМ = и ОМ. (5.17) Имея в виду, что ОМ = (х, у), а. вектор п определяется равенством (5.15), мы получим следующее выражение для скалярного произведения зтих векторов: и ° ОМ=х соз6+ у з)пй.
(5.18) Из сопоставления (5.16), (5.17) н (5,18) вытекает, что точка М(х,у) лежит на прямой г'. тогда и только тогда, когда координаты втой точки удовлетворяют уравнению хсозй+ уз)п6 — Р=О; (5.19) (5.19) и есть искомое уравнение прямой Ь (выраженное через два параметра: 6 и р). Это уравнение называется нормированным уравнением прямой, Введем теперь фундаментальное понятие отклонения ироизвольной точки М от данной ирямой 1.. Пусть число й обозначает расстояние от точки М до прямой Ь. Назовем отклонением 8 точки М ог прямой Ь число +й в случае, когда точка М «) В силу того, что проеяння вектора иа любую ось равна модулю этого вектора, умноженному на косинус угла наклона к оси (см. п. 8 $1 главы 2). лннвпиыв ОБРАзы [гл.э Остается уточнить, какой из знаков ~ следует взять в формуле (5.23). Так как по смыслу расстояние р всегда неотрицательно, то из третьего равенства (5.22) заключаем, что знак [ противоположен знаку С.
Итак, для приведения оби[гго уравнения прямой Ах+ Ву+ + С = 0 х нормированному виду (5.19) следует умножить вго на нормирующий множитель (5.23), знак которого противоположен знаку С. 8. Уравнение пучка прямых. Совокупность лежащих на данной плоскости и прямых, проходящих через некоторую точку Я этой плоскости, принято называть лучком прямых с центром в Б. Центр Б пучка прямых полностью определяется заданием двух различных прямых этого пучка. Зная центр пучка Б(хну[), легко написать уравнение любой прямой этого пучка: для этого можно, например, использовать уравнение (5.10) прямой, проходящей через точку Б(хну[) и имеющей заданный угловой коэффициент й. Однако при решении задач представляется удобным уметь писать уравнение любой прямой, проходящей через точку пересечения двух данных прямых, ие вычисляя координат этой точки пересечения. В этом пункте и решается задача о нахождении уравнения пучка прямых, центром которого служит точка пересечения двух данных прямых, определяемых уравнениями А,х+В,у+С,=О и А,х+Вту+С,=О.
Докажем следующую основную теорему. Теорема 5.2. Если А,х+ В~у+ С~ = 0 и Атх+ В,у+ С, = О суть уравнения двух различных прямых, пересекающихся в некоторой точке Б, а а и 11 — какие угодно не равныг одновременно нулю числа, то а (А,х + В,У + С,) + 8 (А,х + ВтУ + Ст) = 0 (5.24) есть уравнение прямой, проходящей через точку Б. Более того, какова бы ни была наперед заданная проходящая через точку Б прямая, она определяется уравнением (5.24) лри некоторых а и ([. Доказательство.
Прежде всего установим, что при любых и и р, не равных одновременно нулю, равенство (5.24) представляет собой уравнение первого порядка (т. е. в этом равенстве хотя бы один из коэффициентов при х или при у не равен нулю). Собирая в равенстве (5.24) коэффициенты при х и у, перепишем это равенство в виде (аА, + ОА,) х+ (аВ, + ()Вт) У+ (аС, + 8Ст) = О. (5.24') Если бы имели место равенства аА[+ рАт = 0 и аВ[+ ОВт = О, то из этих равенств, предполагая, например, что а ~От), мы ° ) По усиоиию одно из чисел а и р отлично от нули.
Ч и РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ 1Э1 получили бы А,/А = — Яа, В|/В, = — ()/а, т. е. А,/Ат = В,/В,. Последнее равенство (см. п. 6) есть условие параллельности прямых, определяемых уравнениями Агх+ В,р+ С~ =О и Агх+ + Вгу+ Сз — — О, н противоречит предположению о том, что эти прямые пересекаются и не совпадают. Итак, (5,24) при любых а и (), не равных одновременно нулю, представляет собой уравнение первой степени, определяющее (в силу результатов п.
1) некоторую прямую, Эта прямая заведомо проходит через точку о(хо, уо) пересечения двух прямых, определяемых уравнениями Агх+ В,У+С, =О и Азх+ В,У+СА=О. В самом деле, так как 5(хо, уо) принадлежит каждой нз двух указанных прямых, то справедливы равенства Ало+ В!ро+ С! = О и Атхо + Вгро + СА = О, из которых вытекает, что при любых а н (1 а(А хо+ Вьуо+ С~)+ Р(А~хо+ Втдо+ СД= О, т. е.
координаты к, и уа точки В удовлетворяют уравнению (5.24) . Остается доказать, что, какова бы ни была н а перед заданная я проходящая через точку 5 прямая, она определяется уравнением (5.24) при некоторых а и 5. Наперед заданная проходящая через точку В(ха,уо) прямая однозначно определяется заданием еще одной отличной от 8 точки М*(к', у*), ей принадлежащей. Таким образом, достаточно доказать, что не равные одновременно нулю а и () можно выбрать так, что координаты х', у' наперед заданной точки М' будут удовлетворять уравнению (5.24) при этих а и 5. Подставляя в (5.24) на место х и у координаты х' и у' точки М", получим равенство а (А х'+ В у' + С~) + Р (Агх'+ Вгу'+ Сг) = О.
(5 25) Прежде всего заметим, что (5.25) представляет собой уравнение относительно а и 5. В самом деле, оба выражения в круглых скобках, являющиеся коэффициентами при а и (), обратиться в нуль не могут, ибо это означало бы, что две прямые, определяемые уравнениями А~я+ Вну+ С~ =О и Азх+ Взу+ Ст =О, проходят через точку М'. (Последнее невозможно в силу того, что эти прямые ие совпадают и проходят через точку В, отличную от М'.) Итак, хотя бы одна из круглых скобок в (5.25) отлична от нуля.
Пусть, например, А1х'+ В~у + С~ ФО. Тогда, задав произвольно р ФО, мы определим из уравнения (5.25) [гл. 6 лииеиныз ОБРАзы коэффициент а: ААЗ'+ Выс+С, а=— А,х'+ Вид+ С, При указанных а н 6 прямая, определяемая уравнением (5.24), проходит через точку М*(х', у*). Случай, когда отлична от пуля вторая из круглых скобок в (5.25), рассматривается аналогично. Теорема доказана. Замечание. Так как в уравнении пучка (5.24) хотя бы одно из чисел а и 5 отлично от нуля, то можно записывать уравнение пучка не с двумя коэффициентами а и (), а с одним коэффициентом Х, равным их отношению. Так, если отлично от нуля а, то, поделив (5.24) на а и положив Х = ~3/а, мы получим уравнение пучка в виде (А х + В у + С ) + Х (Азх + Взу + Сз) = О.
(5 26) Следует, однако, отметить, что уравнение (5.26) содержит все прямые, проходящие через точку пересечения прямых, определяемых уравнениями А~х + В у + С[ = 0 и Азх+ Взу + Сз = О, ва исключением одной прямой — прямой, определяемой уравнением А2х+Вту+ СЕ=О (оиа ие получится из (526) ни прн каком Х). й 2. Некоторые задачи на прямую линию на плоскости Выше уже был рассмотрен ряд задач иа прямую линию на плоскости (нахождение угла между двумя прямыми, установление условий параллельности и перпендикулярности двух прямых, вычисление отклонения и расстояния точки от прямой, нахождение уравнения прямой, проходящей через точку пересечения двух данных прямых).
В этом параграфе мы рассмотрим ряд задач, развивающих и углубляющих материал предыдущего параграфа. 1. Нахождение прямой, проходящей через данную точку М~(хну~) н составляющей заданный угол ~р с данной прямой у = й,я+ ЬР Будем искать уравнение прямой, проходящей через точку М1(хну~) и составляющей заданный угол ф с прямой, определяемой уравнением у = Ь1х + Ьь в форме (5.10): у — у,=й(х — х,). Прямая (5.10) проходит через точку М~(хь у~), и нам остается выбрать ее угловой коэффициент й так, чтобы она составляла угол в с прямой у = й~х + Ьь Заметим, что, взяв уравнение искомой прямой в виде (5.10), мы исключаем из рассмотрения прямую х=хь проходящую через точку М1(хьу ) и перпендикулярную оси Ох.
Так как искомая прямая у = йх+(у[ — йх[) В Ц НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРЯМИО ЛИНИЮ НА ПЛОСКОСТИ 123 и прямая у=Й~Х+ Ь| составляют угол ~р, то в силу формулы (5. ! 2") Й вЂ” А, Из последнего уравнения определяем угловой коэффициент Й искомой прямой: Й вЂ” Й, = ~!Оу ~ ЙЙ, !ну, и, стало быть, при (! ~ Й~ 12 <р) чьО получим Й = А'~1Е~ (5.27) 1 ~ а~ 1е Ф В случае, если знаменатель в формуле (5.27) обращается в нуль, угловой коэффициент ие существует, и искомую прямую, очевидно, следует определить уравнением х = хь Итак, окончательно, получаем уравнения двух искомых прямых в виде ц у у,= (х — х,) н у — у~ 1+А ! (х-х~) А1+ 1Е'Р А1 — 1К Ч 1+А,1ЕН при Й11д~р~ о. 1; 2) у у = (х — х~) и х х~ при Й!1Яф= 11 Ф1+ 1е Ф А,-1ЕЧ 5) х — х, и у у = — (х — х,) при Й1 12<а= !.
2. Нахождение биссектрис углов, образованных данными прямыми. Запишем уравнения двух прямых в нормированном виде. Пусть это будут хсовб+уз!ПΠ— р=О и «совб,+ув!пО,— р,=О. Левые части этих уравнений равны отклонениям б~ и бв точки М(х,у) соответственно от первой и от второй прямых. На одной из биссектрис (отвечающей тому углу, в котором лежит начало координат) эти отклонения равны и по модулю, и по знаку, иа другой биссектрисе отклонения б| и бв равны по модулю и противоположны по знаку.
Таким образом, уравнения искомых биссектрис имеют вид (х сов 0+ у в!и Π— р) — (х сов О, + у з!и О, — р,) = О, (х сов О+ уз!ПΠ— р)+(х совО, + у з!ПО, — р)=О. 3. Условия, при которых данная прямая пересекает данный отрезок АВ. Запишем уравнение прямой в нормированном виде х сов О+ у в!п Π— р =О и, подставив в левую часть последнего уравнения сначала координаты точки А, а затем координаты точки В, найдем отклонения бА и бе соответственно точек А и В от данной прямой.
Для того чтобы данная прямая пересекала отрезок АВ, необходимо и достаточно, чтобы точки А н В лежали по разные стороны от этой прямой, т. е. необходимо и достаточно, чтобы отклонения бА и бе имели разные знаки. ЛИИЕВИЫЕ ОБРАЗЫ [гл. б 4. Опредеяенне местоположения данной'точки М н начала координат О относительно углов, образованных двумя данными прямыми. Пусть заданы две пересекающиеся прямые и требуется определить, в одном, в смежных.или в вертикальных углах, образованных этими прямыми, лежат данная точка М и начало координат О.
Запишем уравнения данных прямых в нормированном виде н, подставив в левые части указанных уравнений координаты точки М, вычислим отклонения 6[ и бз точки М от первой и второй прямых соответственно. По определению отклонения точка М и начало координат О лежат в одном углу, если оба отклонения 6~ и бз отрицательны, в вертикальных углах, если отклонения б~ и бз оба положительны, и в смежных углах, если 61 и бз имеют разные знаки. 5. Условие пересечения трех прямых в одной точке. Найдем условие, необходимое и достаточное для того, чтобы три прямые, определяемые уравнениями Ах+Ву+С,=О, Ах+Взу+С,=О и Азх+В у+С,=О, пересекались в одной и только в одной точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
