В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 29
Текст из файла (страница 29)
первое из которых означает, что точка М~(хи умх~), через которую проходит прямая, принадлежит плоскости, а второе есть условие параллельности прямой н плоскости (5.59). 8. Связка прямых. Совокупность всех прямых, проходяи(их через данную точку М1(хиуьх~), называется связкой прямых (с центром в точке М~). Легко убедиться в том, что уравнения связки прямых с центром в точке М~(хьуьз~] нмеют внд з н задачи нх пэямтю и плоскость в пэостэанствк 1ЗВ где 1, ив и и — какие угодно числа, ие равные одновременно нулю.
В самом деле, всякая прямая, определяемая уравнениями (5.61), проходит через точку М1(хо уьхв). С другой стороны, если Ь вЂ” наперед заданная прямая, проходящая через точку Мв(хь уь х,), то эта прямая однозначно определяется заданием, кроме точки М~(хь уьхв), еще направляющего вектора а = = (1,ив,л) и потому определяется каноническими уравнениями (5.51), совпадающими с уравнениями (5.61). $5. Некоторые задачи иа прямую н плоскость в пространстве 1 . Условие пересечения трех плоскостей в одной и только в одной точке. Для того чтобы три плоскости, соответственно оп- ределяемые уравнениями А,х+ В,у+ С,х + О, = О, Авх+ Вву+Сэг+Вв=О, Аэх + Вву + Свх+ Вв = О.
пересекались в одной и только в одной точке, необходимо и до- статочно, чтобы был отличеи от иуля определитель А, В, Св~ Ав Вв Св~, (5.63) Ав Вв Св В самом деле, в этом и только в этом случае система (5.62) имеет единственное решение (см. Дополнение к главе 1). 2. Нахождение биссектральных плоскостей двугранного угла, образованного двумя данными плоскостями. Запишем уравне- ния двух данных плоскостей в нормирозаияом виде. Пусть это бу- дут: хсозав+усоз()в+хсозув — рв = О и хсозав+усозбв+ + х соз ув — рв = О.
Левые части этих уравнений соответственно равны отклоне- ниям бв и бв точки М(х,у, х) от первой и от второй плоскостей. На одной нз биссектральных плоскостей (отвечающей тому двуграииому углу, в котором лежит начало координат) эти от- клонения разны и по модулю, и по знаку, на другой биссек- тральной плоскости отклонения бв и бв равны по модулю и про- тивоположны по знаку. Таким образом, уравнения искомых биссектральных плоско- стей имеют вид (х соз ав + у соз ()в + х соз ув рв) — (х соз а, + у соз ()з+ х соз у, — р,) = О, (х соз а, + у соз б, + х соз у, — р,) + + (х соз ое+ у соз рз+ х соз уз — рв) = О.
140 линаиныв ОБРАзы 3. Условия, прн которых данная плоскость пересекает данный отрезок АВ. Записав уравнение данной плоскости в но ри и ров аннам виде н подставив в левую часть последнего уравнения сначала координаты точки А, а затем координаты точки В, найдем отклонения бл и бо точек А и В соответственно от данной плоскости. Для того чгобы данная плоскость пересекала отрезок АВ, необходимо и достаточно, чтобы точки А и В лежали по разные стороны от плоскости, т. е.
необходимо и достаточно, чтобы отклонения бл и бо имели разные знаки. 4. Определение местоположения двух данных точек А и В относительно двуграниых углов, образованных данными плоскостями. Пусть заданы две пересекающиеся плоскости и требуется определить, в одном, в смежных илн в вертикальных углах, образованных двумя данными плоскостями, лежат две данные точки А н В. Записав уравнения данных плоскостей в нормированном виде, вычислим отклонения 4' и бл точки А от первой н второй плоскостей н отклонении бзи[ и б~зв точки В от первой н второй плоскостей. По знакам этих четырех отклонений заключаем, по одну нли по разные стороны от каждой нз плоскостей лежит каждая из точек А и В. Очевидно, если точки А и В лежат по одну сторону от первой плоскости и по одну сторону от второй плоскости, то эти точки лежат в одном углу, образованном данными плоскостями.
Если точки А и В лежат по одну сторону от одной плоскости и по разные стороны от другой плоскости, то эти точки лежат в смежных углах. Если, наконец, точки А н В лежат по разные стороны и от той, и от другой плоскости, то эти точки лежат в в е р т и к а л ь н ы х углах. б. Уравнения прямой, проходящей через данную точку М~(хь у„ х,) и перпендикулярной данной плоскости Ах + Ву + +Сх + В =О. Этиуравнения имеют вид †" ибо направляющим вектором искомой прямой служит нормальный вектор плоскости и = (А, В, С). 6.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М,(хо, уо. хо) и параллельной заданной плоскости А,х+ В,у + + С~х-(-Э,=О. Это уравнение имеет внд А~ (х — хо)+ В1(у — уо)+ + С|(х — хо) = О. В самом деле, искомая плоскость принадлежит связке плоскостей (5.50) и имеет тот же нормальный вектор п = (Аь Вь СД, что и данная плоскость. 7. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку х — х, Мо(хо, уо, хо) и перпендикулярной заданной прямой— у — у е е — — Это уравнение имеет внд [(х — хо)+ т н $ 6] ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ !4! +т(у — у,)+п(г — зо) = О. В самом деле, искомая плоскость прннадлежнт связке плоскостей (5.50) н имеет в качестве нормального вектора направляющий вектор заданной прямой и = = (1,т,л).
8. Уравнение плоскостн, проходящей через данную прямую « — «, у — у! я — «, ! юи и и через заданную не лежащую на этой прямой точку Мо(хо, уо, зо). Искомая плоскость прннадлежит связке плоскостей (5.50), т. е. определяется уравнением А (х — хо)+ В(у — уо)+ С(з — хо) = О. Используя условия (5.60) прннадлежностн данной прямой к нскомой плоскости, получим следующие равенства: А(х, — хо)+В(у! — уо)+С(а! — зо)=0 А1+Вт+С =О. (5.64) Точка Мо(х!Ьуо,го) по условию не лежит на данной прямой. Это означает, что нарушается хотя бы одна нз пропорций и! — н поэтому нз системы (5.64) два и нз коэффнцнентов А, В, С можно определить через третнй. Вы- брав затем пронзвольно этот третий коэффнцнент (напрнмер, положив его равным единице), мы получим уравнение искомой плоскостн.
9. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую « †«, у — у, « — я, — = — ' = — н параллельной другой данной прямой ю! !я! и! « — «я у — у я — « — у — = — = — «). Пусть Ах+Ву+Сг+0=0— и!я иа уравнение искомой плоскости. Используя условня (5.60) прн- надлежностн данной прямой к искомой плоскости, получнм Ах!+Ву, + Сг!+В = О, А1!+ Вт!+ Си! —— О. Кроме того„ используя условие (5.59) параллельности искомой плоскостн н второй данной прямой, получим А1я+Вта+Сия — — О. В ре- зультате получим систему трех уравнений Ах, +Ву, +Са!+В=О, А1, + Вт, +Си, =О, А1, + Втя + Сна = О, нз которой трн нз коэффициентов А, В, С, В могут быть выражены через четвертый (в силу того, что две данные прямые не параллельны н нарушается хотя бы одна нз пропорций 1!/1я = т!/т, = и!/ле, получнм, что хотя бы один нз определителей о) Предполагается, что дае данные прямые не параллельны.
ЛИИБНИЫБ ОБРАЗЫ [ГЛ, Б третьего порядка матрнцы отличен от нуля, и поэтому какие-то трн нз коэффициентов А, В, С, В можно выразить через четвертый). Положив указанный четвертый козффнциент равным едниице, мы получим уравнение искомой плоскости. 1О. Уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую Е~ и перпендикулярной заданной плоскостн я. Эта задача сводится к предыдущей. Чтобы убедиться в этом, мы сначала через точку М1 прямой Ь~ проведем прямую Ьм перпендикулярную плоскостн я (такая задача решена в и. 5), и затем через прямую Е~ проведем плоскость, параллельную прямой Ьь 11.
Уравнения перпендикуляра, опущенного из заданной точки Мэ на данную прямую Еь Искомый перпендикуляр представляет собой линию пересечения двух плоскостей: 1) плоскости, проходящей через точку Мз н прямую Е1 (такая плоскость найдена в п. 8), 2) плоскости, проходящей через точку Мз и перпендикулярной к прямой Е1 (такая плоскость найдена в п. 7). 12. Нахожденне расстояния от данной точки МБ до данной прямой Еь В предыдущем пункте найдены уравнения перпендикуляра Ез, опущенного нз точкн Мз на прямую Еь Решая совместно уравнения прямых Ь1 н Ьм мы найдем точку М1 основання указанного перпенднкуляра, а затем н искомое расстояние, равное длине отрезка МБМИ 13. Нахожденне общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым Е1 н Ем Проведем через прямую Ь| плоскость пм параллельную прямой Ьз (эта задача решена в п. 9).
После этого проведем две плоскости п1 н ям перпендикулярные плоскости яз н проходящие через прямые Е| н Ьз соответственно (см. и. 10). Искомый перпендикуляр представляет собой лннню пересечения плоскостей п1 н ям 14. Нахожденне кратчайшего расстояния между двумя даннымн скрещивающимися прямыми Е~ н Ем Для решения этой задачи достаточно построить плоскость иь, указанную в предыдущем пункте, н найти расстояния от любой точки прямой Ьз до плоскости ям ГЛАВА а ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В этой главе изучаются геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы, представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершины.
Эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной нз этих линий. В главе также исследуются кривые второго порядка, т. е. линии, определяемые в декартовых координатах, алгебраическими уравнениями второй степени. В частности, выясняется, что эллипс, гипербола н парабола являются такими линиями и что этими тремя линиями и изученными в предыдущей главе линейными образами исчерпываются все линии, определяемые алгебраическими уравнениями второй степени.
5 !. Канонические уравнения эллипса, гиперболы н параболы В начале этой главы мы говорили о том, что эллипс, гипербола и парабола представляют собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину. Именно, если секущая плоскость пересекает все прямолинейные образующие одной полости конуса, то в сечении получится линия, называемая эллипсом (рис. 6.1,а). Если секущая плоскость пересекает образующие обеих полостей конуса, то в сечении получится линия, называемая гиперболой (рнс. 6.1, б). И, наконец, если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса (на 6.1,в — это образующая АВ), то в сечении получится линия, называемая параболой. Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
