В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 33
Текст из файла (страница 33)
ал! 2'. Директрисы гиперболы. Обо- значим через с половину расстояния между фокусами Р~ и Ре гиперболы, через а ее действительную полуось и через О ее центр (рис. 6.11). Пусть е — эксцентриситет этой гиперболы и и — плоскость, в которой расположена гипербола. Мнимая ось гиперболы разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Обозначим через щ (1 = 1, 2) ту из этих полуплоскостей, в которой лежит фокус Р~ (1 = 1, 2). *) так нан еллннс отличен от онружностн, то его фокусы не соннндаот.
йз) дирякп исы эллипса, гиня волы и пдрдволы 1бв Определение. Директрисой Рг (1= 1, 2) гиперболы, отвечающей фокусу Рг (1=1, 2), называется прямая, расположенная в полуплоскости ти ((= 1, 2) перпендикулярно действительной оси гиперболы на расстоянии а/е от ее центра. 3 а меча ние 6. Выберем' начало декартовой прямоугольной системы координат в середине отрезка Р~Рз, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6.11. Тогда, очевидно, уравнения директрис Р1 (1=1, 2) гиперболы можно записать следующим образом: уравнение директрисы Р;. х = — а/е, (6.31) уравнение директрисы Р;.
х=а/е. Замечание 6. Директрисы гиперболы целиком расположены в области О, не содержащей точек гиперболы (см. 2' п. 2 $2 втой главы и рис. 6.6). В самом деле, в 2' п. 2 $2 втой главы ыы убедились, что полоса Оп определяемая в выбранной в замечании 6 системе координат Оху неравенством 1х~ ( а, содержится в области О. Но эта полоса содержит директрисы гиперболы, так как, согласно (6.31), для точек директрис )х!= — ( а, нбо для гиперболы е ) 1.
Расположение директрис гиперболы указано на рис. 6.11. Замечание 7. Только что сделанное замечание позволяет обосновать расположение директрис гиперболы, указанное на рис. 6.11. Именно, очевидно, что точки левой (правой) ветви гиперболы и ее центр О расположены по разные стороны от директрисы Рь (Рз), а точки правой (левой) ветви гиперболы и ее центр О расположены по одну сторону от директрисы Р (Рз). 3 а м е ч а н и е 8. Обозначим через р расстояние от фокуса гиперболы до соответствующей этому фокусу директрисы. Поскольку расстояние от центра гиперболы до директрисы равно а/е, а расстояние от центра гиперболы до фокуса равно с, то р=с- — *). Так как с = ае, то для р получаем формулу е р=а(е — — ) =а— ! е' — 1 (6.32) Докажем теорему, выясняющую важное свойство гиперболы и ее директрис.
Теорема б.й. Отношение расстояния гг от точки М гиперболы до фокуса Рг к расстоянию 4 от этой точки до отвечающей «) Напомнны, что центр гиперболы н ее фокусы расположены на действительной осн, которая перпенднкулярна днректрнсам. Поэтому с учетом расположення центра, фокуса н отвечающей ему днректрнсы (см. рнс. 6.11) о р равно с — —. е [гл ь линии втогого погядкх этому фокусу директрисы 0~ равно эксцентриситету е втой гиперболы. До к аз а тельство. Для доказательства этой теоремы нужно рассмотреть следующие четыре случая: 1) точка М находится на левой ветви гиперболы, исследуется фокус Р~ и директриса 06 2) точка М находится на правой ветви гиперболы, исследуется фокус Р~ и директриса 0~., 3) точка М на левой ветви, фокус Рн директриса 0т, 4) точка М на правой ветви, фокус Рт, директриса 0э Так как рассуждения для каждого из случаев однотипны, то мы ограничимся лишь первым случаем.
Расположим систему координат так, как это указано в замечании 5 этого пункта. Так как абсцисса х любой точки М(х,у) левой ветви гиперболы отрицательна, то расстояние г~ от этой точки до фокуса Рь согласно формулам (6.11), равно с — а — -х. Так как с/а = е, то для г~ получим выражение в г, = — а — ех. (6.33) Директриса 0~ определяется первым из уравнений (6,31). Согласно п. 7 $ ! главы 5 нормированное уравнение втой директрисы имеет вид — х — — =О. (6.34) в Так как точка М левой ветви гиперболы н начало координат находятся по разные стороны от директрисы 0~ (см. замечание 7 этого пункта), то расстояние б от точки М до директрисы 0~ равно отклонению М от 0ь и мы получим (в силу (6.34) и теоремы 5.1) — а — ех Й,= (6.35) Используя формулы (6.33) и (6.35), найдем, что г~/4 е.
Для первого случая теорема доказана. Остальные случаи рассматриваются аналогично. 3. Определение эллипса н гиперболы, основанное на их свойстве по отношению к днрентрисам. Теоремы 6.1 н 6.2, доказанные в предыдущем пункте, выясняют свойство отличного от окружности эллипса и гиперболы, связанное с директрисами этих кривых.
Убедимся в том, что это свойство эллипса и гиперболы может быть принято в качестве их определения. Рассмотрим в плоскости п точку Р и прямую 0 (рис. 6.12). Будем предполагать, что точка Р не лежит на прямой О. Докажем следующее утверждение. Теорема б У. Геометрическое место (М) точек М плоскости и, для которых отношение е расстояния г до точки Р к расстоянию б до прямой 0 есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при е ( 1) или гиперболу (при е ) 1). 6 11 диРвктРисы эллипсА, гипярволы и ПАРАВолы 161 При этом точка Р называется фокусом, а прямая О— д и р е к т р и с о й рассматриваемого геометрического места. До к а з а те л ь с т в о.
Убедимся, что в некоторой, специаль- но выбранной системе координат геометрическое место точек, удовлетворяющее требованиям сформулированной теоремы, определяется при е ( 1 уравнением-1-+ —, = 1 (т. е. является лв ув зллилсом), а при е) 1 — уравнением —,— от=1 (т. е. яв- ляется гилерболой) в). Пусть )7 — точка пересечения прямой !У и прямой А, проходящей через Р перпендикулярно Р (рис. 6.12).
На прямой А выберем положительное направление от Р к Я при е ( 1 и р Я от Я к Р при е) 1 (на рис. 6.12 показан случай е( 1). Так как дальнейшие рассуждения для случая е)1 и е( 1 идентичны, мы проведем их г р подробно для е ( 1, т. е. для случая, д определяющего эллипс. Обозначим через р расстояние между точками Р и )7. Вспоминая расположение дирекд трисы эллипса относительно его центра (см. п.
2 этого параграфа), есте- Рнс. 6.12 ственио выбрать начало О координат на прямой А слева от точки )7 на расстоянии а/е. При задан- ных е и р величина а/е может быть определена при помощи формулы (6.27) (см. также замечание 4 п. 2 этого параграфа). Инымн словами, естественно положить (6.36) Я в 1 — вв Будем теперь считать прямую А с выбранным началом О и направлением от Р к )с осью абсцисс. Ось ординат направим так, как указано на рис. 6.!2. В выбранной системе координат фокус Р имеет координаты (с, 0), где с-Р—,,* ") ° ве (6.37) а директриса О определяется уравнением л '=т= — Л .
в Т вЂ” в1' (6.38) ') Этн уранненнн, кек было еинснено и $ 1 втой главы, ннлнниен уран. кеннкин эклннсл н гннерболи. ев) Формула (6.67) нмтеквет нз Формулы в йΠ— МР и формул Мр Р н МО ° — = ~-. а в Т вЂ” Р' пз мв линии второго порядка )гл и Перейдем теперь к выводу уравнения рассматриваемого гео- метрического места точек. Пусть М вЂ” точка плоскости с коор- дннатамн (х,у) (рис. 6.12). Обозначим через г расстояние от точки М до фокуса Р н через а расстояние от точки М до ди- ректрисы В.
Соотношение 7й= (6.39) является необходимым и достаточным условием расположения точки М на геометрическом месте (М), Используя формулу расстояния между двумя точками М и г (см. формулу (1.8) п. 2 $3 главы 1) и формулу для расстоя- ния от точки М до прямой Ю (см. п. 7 $1 главы 6), получим =1Г= у+г, (6.40) а'= — — х «). (6.41) е Из (6.39), (6.40) и (6.41) вытекает, что соотношение — — л Р 1 — в' (6.42) представляет собой необходимое и достаточное условие распо- *озсения точки М с координатами х и у на геометрическом ме- сте (М). Поэтому соотношение (6.42) является уравнением гео- метрического места (М). Путем стандартного приема «уничто- жения радикалов»„а также используя формулы (6.36) и (6.37), это уравнение легко привести к виду (6.43) где Ья = а' — ся.
Для завершения доказательства нам нужно убедиться в том, что в процессе преобразования уравнения (6.42) в уравнение (6.43) ие появились «лишние корни». Рассуждая, как и в п. 1 $1 этой главы, мы убедимся в том, что расстояние г от точки М, координаты х н у которой удовлетворяют уравнению (6.43), до точки Р(с,0), может быть вычислено по формуле г= а — с х.
Используя соотношение (6.37) н формулу а=- — -т, получим для г следующее выражение: ре г= а — ех. (6.44) Так как точка М, координаты х и у которой удовлетворяют (6.43), расположена слева от прямой 1) (для таких точек «) Формула (ел!) верна лишь для точек М(х, Е), расположенных слева от прямой О. Однако точки, расположенные справа от прямой О, рааяо как и точки прямой О, можно нсклвчить на рассмотрения, так как для асях точек г/о,л 1, а мы рассматриваем точки, для которых г/с) е ( 1. % з) дирвктрисы эллипса, гипврволы и пдрдволы 163 х < а, а для точек прямой Р: х = а/е, где е ( 1), то для расстояния а от М до Р справедлива формула (6.41). Отсюда и нз формулы (6.44) вытекает, что для рассматриваемых точек М выполняется соотношение г/с(=е, т.
е, уравнение (6.43) является уравнением геометрического места (М). Аналогично рассматривается случай е ь 1. Замечание. Используя доказанную теорему н определение параболы, мы можем сформулировать следующее определение отличного от окружности эллипса, гиперболы н параболы. Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
