В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Устаяовнм следующее оптнческое свойство залнпса: лучи света, исходящие иэ одпого фокуса Р~ эллипса, после зеркального отражения от эллипса проходят через второй фокус Рз (ряс. 6.16). Геометряческн указанное свойство озяачает, что отрезка Мрч я Мрз образуют с касательной в точке М эллипса равные углы. Допустнм, что эллипс не обладает указаннмм свойством, т. е. а,~аз (рнс. 6.16). Пусть Р, — зеркальное отраженне фокуса Р, относнтельно касательной К в точке М.
Соединяя Р, с М н Р . Так как а чь а, то точка М пересечения прямой Р,Р с косатепэиой К не совладает с точкой М. Поэтому )Р,М )+) РзМ ~ ~Р1Рз~ () Р1М )+) РзМ ) 2а (6.59) (а — дляна большой полуосн эллнпса). Будем теперь перемещать точку М» яо касательной К от точкн М. Прн таком перемещеннн сумма )Р,М»)+)Р,М») иеограпичеяпо уэеличиеаетсл. В начальный момент перемещевня эта сумма, согласно (6.59), была меньше 2а.
Поэтому в некоторый момент эта сумма будет равна 2а, а это означает, что на касательной К, кроме точки М, будет еще одна точка М' эллипса, отлнчная от М. Согласно замечаннв 2 предыду- *) См. главу 5, уравненне (5ХО). [Гл а ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКЛ щего пункта этого не может быть Таким образом, указанное выше свойство эляппса действнтельно справедливо Совершенно аналогично устанавливаются следующие оптические свойства гнперболы н параболы !1 Лучи света, исходящие из одного фокуса Рг гиперболы, лосле зеркального отрагквния от гилгрбольь казгутся исходящими из другого ев фокуса Рз (рпс.
6.17) 2'. Лучи света, исходящие из фокуса лараболы, восле зеркального отралгвкия от параболы образуют лучок, караллельнмй оси параболы (рпс. 6.18) За меч анне ь Оптяческпе свойства зллнпса, гпперболм и параболы широко яспольэуются в паже верном деле В частности, оптическое свойство параболы вспользуется прн конструврованнн прожекторов,антенн и телескопов ф Рнс. 6.18 Рнс. 6.17 8 а меч анне 2. Назовем фронтом волям точечного нсточнпка света Р линию, для всех точек Я которой путь, проделанный световым лучом, прншедшим вз источника Р в точку [с. одннанов Еслн волна, вышедшая нз точечного источника Р, пе претерпевает отражевнй, то фронт ее, очевидно, будет представлять собой окружность Если же укаэанная волна отражается от некоторой кривой [ь то форма ее фронта меняется в эавнсямостн от вида крнвой Е Парабола обладает следующям замечательным свойством фронт Ф отразсекяой от лараболм волны лри условии раслолоясеиия источника света в фокусе Р параболы представляет собой прямую, лараллвлькую директрисе [7 этой параболы (рнс 6 18) В самом деле.
рассмотрнм прямую Ф, параллельную днректрнсе 0 Пусть [) — пронэвояьная точка втой прямой Из оптического свойства параболы вытекает, что если РМ вЂ” падающий луч, прнходящпй после отраження в точку [), то отраженный луч М[с перпендикулярен днректрнсе Р Обозначнм через Р точку пересечення луча МЯ с днректрясой 0 Очевндно, сумма )ЦМ(+ )МР) равна ЯМ) + ~™МР) ь) Так как ) ОМ) + )МР) = д, где д— не зависящее от точки О расстоянве между прямымн Ф н Р, то для любой точкн [г линии Ф суыма ЯМ(+)МР) одна н та же (равна и), т.е. Ф— фронт отраженной волны 5 Б.
Кривые второго порядка Обращаясь к каноническим уравнениям эллипса, гиперболы и параболы (см уравнения (6.4), (69) и (615) этой главы), мы видим, что перечисленные крйвые представляют собой алгебраические линии второго порядка (см главу 4, $1, п. 6). ') Согласно определепяю параболы (см.
и. 3 $1 этой главы), 169 кривыв второго порядка Естественно поставить вопрос о том, какие еьце линии являются алгебраическими линиями второго порядка. Этот вопрос и рассматривается в настоящем параграфе. Рассмотрим общее алгебраическое уравнение второго по. рядка апхз+ 2ашху+ амуз+ 2амх+ 2аззу+ азз О, (6.60) Линия Т„определяемая этим уравнением (т. е.
алгебраическая линия второго порядка), рассматриваемая как геометрический объект '), не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравнение (6.60) и уравнение, иолученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны (см п. 5 $1 главы 4). Можно ожидать, что прн специальном выборе декартовой системы координат уравнение (6.60) примет настолько простой внд, что геометрическая характеристика линии Е не будет представлять затруднений.
Этим методом мы воспользуемся для выяснения всех типов линий второго порядка В процессе рассуждений мы укажем правила, с помощью которых выбирается система координат. в которой уравнение линии г'. выглядит наиболее просто. Мы сформулируем также признаки, позволяющие узнать тип линии второго порядка по ее исходному уравнению. 1. Преобразование коэффициентов уравнения линии второго порядка при переходе к новой декартовой системе координат. Так как переход от одной декартовой прямоугольной системы координат на плоскости к другой декартовой прямоугольной системе координат может быть осуществлен путем некоторого параллельного переноса системы координат и последующего поворота (включая в поворот и зеркальное отражение (см.
$ ! главы 3)), мы рассмотрим отдельно вопрос о преобразовании коэффициентов уравнения (6.60) при параллельном переносе и при повороте. При этом, конечно, будем считать, что в уравнении (6.60) по крайней мере один из коэффициентов ап, агз или азз отличен от нуля. Условимся о следующей терминологии: группу слагаемых аых'+ 2ашху+ аязу' левой части (6.60) будем называть группой старигих членов этого уравнения, а группу слагаемых 2а~зх+2аззу+ азз будем называть линейной частью уравнения (6.60). При этом коэффициенты ап, аш, ам будем называть «) Может оказаться, что уравнение (6.60) не определяет линни этому уравненяю могут удовлетворять координаты ляшь одной точки илн ие нандется ин одной точки. координаты которой удовлетворяют (6.60) Однако н в атом случае мы будем говорить о геометрических объектах, определяемых уравнением (6.60).
называя зги объекты еыроасдеяяымн нлн мяпмымя Подробнее об зги* вопросах см. в главе 4. 1то ЛНННН ВТОРОГО ПОРЯДКА 1гл. о где хо. Уо — координаты начала 0' в системе Оху (см. главу 3, $1, формулы (3.12)). Подставляя выражения (6.61) для х и у в левую часть (6.60), мы получим уравнение Е в системе 0'х'у'. Очевидно, это уравнение имеет внд а„х' +2а, х'у'+а у' +2а',х'+2а',У'+а',=О, (6.62) где ам= а 1хо+ аиуо+ ам аоо а~эхо + амуо + аоо аоо = а1,хоо + 2аихоуо + аооуоо + 2аоохо + 2аооуо + аоо. (6.63) Обращаясь к уравнению (6.62), мы можем сделать следующий важный вывод: при параллельном переносе системы координат коэффициенты груииы старших членов не изменяются, а коэффициенты группы линейных членов преобразуются по формулам (6.63). Замечание 1.
Используя первую н вторую нз формул (6.63), можно, очевидно, выраженню для ам придать следующнй внд: а' = (а', + а, ) х + (а', + а, ) у + а . (6.64) 2'. Преобразование коэффициентов при иовороте. Пусть декартова прямоугольная система координат Ох'у' получена по« воротом системы Оху на угол Чо (прн этом не нсключается поворот на угол <р, равный нулю). Как известно, старые н новые коордннаты точки связаны соотношеннямн х= х'соз<р — у'з1п<р, у= х'з)п<р+у'созор (6.65) (см. главу 3, $1, формулы (3.13)).
Подставляя выражения (6.65) для х н у в левую часть (6.60) н группируя коэффициенты прн различных степенях х' н у', мы получим уравненне коэффициентами груииы старших членов, а коэффициенты ам, аоо н аоо — коэффициентами линейной части (6.60). Коэффициент аоо обычно называется свободным членом уравнения (6.60) . 1'. Преобразование коэффициентов при параллельном переносе. Пусть декартова прямоугольная система координат 0'х'у' получена параллельным переносом системы Оху вдоль вектора 00'. Как известно, старые н новые координаты точки связаны соотношениями х х'+хо. У=у +Уо (6.61) 171 КРИВЫВ ВТОРОГО ПОРЯДКА Ф з! Ь в системе Ох'у'.
Очевндно, это уравнение имеет вид ацх" + 2а,' х'у'+ а,',у' + 2а,',х'+ 2а' у'+ а' = О, (6.66) где ') ац=а„з)п2ф+ 2 (ац — а„)соз2ф+ — (ац+ а„), а'„— — (ац — а ) з)п 2ф+ а„соз 2ф, а', — а, з)п 2ф — — (а ц — а ) соз 2ф+ — (ац + а ), (6.67) а'„= а„соз ф+ ап з)п ф« а,',= ахзсозф — а!зз)пф, а =авг Мы можем сделать следующий важный вывод: При повороте системы координат коэффициенты а,'„а',, а' группы старших членов уравнения (6.66) пыражшотся лишь через угол ф поворота и через коэффициенты ац, апз азз группы старших членов уравнения (6.60); коэффициенты а', и а, 'уравнения (6.60) выражаются лишь через угол ф и коэффициенты ащ и азз уравнения (6.60); свободный член не изменяется (пз.
е. аю = азз). Замечанне 2. Обозначнм через А, В н С соответственно вел нчнны 1 п!з ° 2 — (пц — озз) Введем, далее, угол а, считая соз а = —. з)п а= прн А чь 0 н а = 0 прн А = О, н угол (). считая сов() = азз/С, з)п р а1з/С прн С чи 0 н () = О прн С 0"). Тогда, очевндно, выражения (6.67) для коэффнпнентов а, 'можно перепнсать «) При выводе зтнх форыул использовались равенства 2впфсозф= з!п 2В, з!пзо — 2 — ~х , соавтор 1 — соз 2 1+ соз 2 ««) Иавестно, что, каковы бы ин были величины Р н О,уповлетворкющне условию Рз -! Оз чь О, можно найти такой угол т, что соз т п Ч/Р + с! в!п т О ч/у*+0*' 172 линии ВТОРОГО пОРядкА 1Гл з в следующей форме: а'и = А яп (2зр + а) + В, а', = А соз (2зр + а), а' = — А яп (2чз+ а) + В, а,', = С яп (~р + р), а'„=Ссоз(зр+ 6), (6.68) азз = ад.
Отметим, что величины А, В н С н углы а и б не зависят от зр. 2. Инварианты уравнения линии второго порядка. Понятие типа липин второго порядка. Назовем инвариантом уравнения (6.60) линии второго порядка относнтельно преобразованнй декартовой снстемы координат такую функцию 1(ап, ам, ..., азз) от коэффициентов аи этого уравнения, значення которой не меняются прн переходе к новой декартовой прямоугольной системе коордннат. Таким образом, если 1(ап, азь ., азз)— ннварнант н а,' — коэффнцненты уравнення лнннн второго порядка в новой системе декартовых координат, то 1(ап, аг, ..., азз)=1(азп а, ..., аз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
