В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Итак, в системе координат Ох'у'г' группа Р старших членов уравнения поверхности 3 второго порядка имеет вид Р = а'их~+ 2а'„х'у'+ а' у~+ ~~ з", (7,14) причем на выбор осей Ох' и Оу' не накладывалось никаких требований, кроме требований перпендикулярности осн Ох'. Иными словами, прн повороте системы Ох'у'х' вокруг оси Оь~ иа любой угол группа Р старших членов будет иметь вид (7.14). При этом координаты х' и у' преобразуются по формулам поворота системы координат на плоскости, а координата х' не меняется.
Поэтому можно выбрать такую систему координат, в которой коэффициент а'„ при произведении х'у' будет равен нулю. Итак, мы убедились в том, что существует такая система прямоугольных декартовых координат Ох'у'з', в которой уравнение поверхности 5 имеет вид анх' + а,' у'ь+ а'ьхм+ 2а', х'+ 2а' у'+ 2а',х'+ а' = О. (7.1б) Приведение уравнения (7.1) поверхности 5 к виду (7.15) мы будем называть стандартным упрощением уравнения поверхности. 5 2. Классификация поверхностей второго порядка 1.
Классификации центральных поверхностей. Пусть 5— центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стан- ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1ГЛ. т 190 дартное упрощение уравнения этой поверхности. Используя выводы пп. 1, 3 н 4 8 1 этой главы, легко убедиться, что в результате указанных операций уравнение поверхности примет виде) а„хг + а„уг + аю»г + а« = О. (7.
16) Так как инвариант /з для центральной поверхности отличен от нуля и его значение, вычисленное для уравнения (7.16), равно ап агг ам, то коэффициенты а«, агг н агз удовлетворяют условию аи чь О, аь, чь О, аю ~ О. (7.17) Возможны следующие случаи. 1'. Коэффициенты ап, аж, азз одного знака, а коэффициент а«отличен от нуля. В этом случае поверхность 8 называется вллипсоидом. Если коэффициенты ап, ань ам, а« одного знака, то левая часть (7,16) ни при каких значениях х, у, » не обращается в нуль, т.
е. уравнению поверхности О не удовлетворяют координаты никакой точки. В этом случае поверхность Я называется мнимым эллипсоидом. Если знак коэффициентов ап, аьь азз противоположен знаку коэффициента а«, то поверхность 8 называется вегцественносм вллипсоидом. В дальнейшем термином «эллипсоид» будем называть лишь вегцесгвенньсй вллипсоид. Обычно уравнение эллипсоида записывают в'канонической форме. Очевидно, числа — а«/ап, — а«/ать — а«/азз положительны е*).
Обозначим эти числа соответственно а', Ьг, сг. После несложных преобразований уравнение эллипсоида (7.16) можно записать в следующей форме: (7.18) Уравнение (7.18) называется каноническим уравнением эллипсоида Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (7.18), то оси Ох, Оу и 0» называются его главными осями. 2'. Иэ четырех коэффициентов ап, агг, азз, а«два одного знака, а два других — противополозсного.
В этом случае поверхность 8 называется однополосгным гиперболоидом. Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, ап » О, агг ) О, азг ( О, а«( О. Тогда числа — а«/ап, — а«/аю, а«/азз положительны. Обозначим эти числа соответственно аг, ') Прн зтоы окончательную скстеыу координат ыы обо»качни Охук ее) Согласно (7.17) н онределенню зллннсондз козффккненты ои, лы, лы, аы не разны кулю к знак езз кротнзоноложек газку аы, азз, озн 3 и КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕН ВТОРОГО ПОРЯДКА 191 Ь', сз. После несложных преобразований уравнение (7.16) одно- полостного гиперболоида можно записать в следующей форме: кз уз кз — + — — — = 1.
(7.19) Уравнение (7.19) называется каноническим уравнением одно- полостного гиперболоида. Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (7.19), то оси Ох, Оу и Ог называются его главными осями. Замечание 1. Если знаки коэффициентов ап, азз, азз, а« распределены иначе, чем в рассмотренном случае, то каноническое уравнение (7.19) легко может. быть получено путем переименования осей координат. 3'. Знак одного из первых трех коэффициентов ап, ааь азз.
а«противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность 8 называется двуполосгным гиперболоидом. Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канонической форме. Пусть ради определенности ап (О, азз(0, азз > О, а«(0. Тогда а«/ап > О, а«/азз > О, — а«/а,з > О. Обозначим этн числа соответственно через аз, Ьз, сз. После несложных преобразований уравнение (7.16) двуполостного гиперболоида можно записать в следующей форме: кз уз кз ат+ ьз сз (7.20) Уравнение (7.20) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида. Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением, то оси Ох, Оу и Ог называются его главными осями. Замечание 2.
Если знаки коэффициентов ап. агв азз, азз распределены иначе, чем в рассмотренном случае, то каноническое уравнение (7.20) легко может быть получено путем переименования осей координат. 4'. Коэффициент а«равен нулю. В этом случае поверхность 5 называется конусом второго порядка. Если коэффициенты а|ь аяь азз одного знака, то левая часть (7.16) обращается в нуль (азз 0) лишь для х=у г О, т. е. уравнению поверхности 3 удовлетворяют координаты только одной точки.
В этом случае поверхность 8 называется мнимым конУсом втоРого поРЯдка. Если коэффициенты агь агь ам имеют Разные знаки, то повеРхность 8 ЯвлЯетсЯ веЩественным конусом второго порядка. Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка записывают в канонической форме. Пусть ради определенности ап >О, азз > О, азз (О. Обозначим 1/ап, 1/ааь — 1/азз со- ПОВГРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ответственно через а', Ьз, сз. Тогда уравнение (7.16) можно записать в виде лз уз зз лэ+ Зз (7.2!) Уравнение (7.21) называется каноническим уравнением вещественного конуса второго порядка. Замечание 3. Если знаки коэффициентов ап, азз, азз распределены иначе, чем в рассмотренном случае, то каноническое уравнение (7.21) легко может быть получено путем переименования осей координат.
Замечание 4. В следующем параграфе мы .докажем, что вещественный конус второго порядка образован прямыми линиями, проходящими через фиксированную точку. 2. Классификация иецеитральных поверхностей второго порядка. Пусть 5 — непентральная поверхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариант )з равен нулю (см. п. 3 2 ! этой главы). Произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид (7.!5). Так как инвариант (э =О и его значение, вычисленное для уравнения (7.15), равно а'„° а,', ° а'„то один или два нз коэффициентов а'„, а', а,', равны нулю в). В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи.
!'. Один из коэффициентов а'„, а,',, а', равен нулю. Ради определенности будем считать, что а', О (если равен нулю какой-либо другой нз указанных коэффициентов, то можно перейти к рассматриваемому случаю путем переименования осей координат). Перейдем от координат х', у', х' к новым координатам х, у, и по формулам Р 4 х=х + —,, ни Я 41 Подставляя х', у' и г', найденные из (7.22), в левую часть (7.15) и заменяя затем а„на аи, а„на а„, а,4 на р н а, на д, получим следующее уравнение поверхности З в новой системе координат Олух: апхз+ аыуз+ 2рх+ у= О.
(1) Пусть р = О, 4) =О. Поверхность 8 распадается на пару плоскостей х ~ 1/ — ~а„у О. ') Псв перечисленные коэффняненты не ыогут быть равны нулю, тзк кзк нря ярэобрязовзннн координат яорядок урзянэння нв нзыеняэтся (сы. гляву 4). % я классивикецня поВеРхностен ВТОРОГО пОРядкь 193 При этом, очевидно, эти ллоскости будут мнимыми, если знаки ац и а88 Одинаковы, и вещественными, если знаки ац и азз различны. (2) Пусть р=О, дчьО. Уравнение (7.23) принимает вид ацх'+ аз у'+ у=О.
(7.24) Известно (см. и. 3 5 2 главы 4), что уравнение (7.24) нвляется уравнением цилиндра с образующими, лараллельными оси Ох. При этом, если ац, аы и д имеют одинаковый знак, то левая часть (7.24) отлична от нуля для любых х и у, т.
е. цилиндр будет мнимым. Если же среди коэффициентов ац, аы и д имеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет вещественным. Отметим, что в случае, когда ац и а88 имеют одинаковые знаки, а д — противоположный, то величины — д/ац и — д/а88 положительны. Обозначая их соответственно через аз и Ьз, мы приведем уравнение (7.24) к виду 88 э8 — + — =1. а8 6~ Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиитикескид цилиндр. В случае, когда ац и а88 имеют различные знаки, получим гилерболический цилиндр.
Легко убедиться, что уравнение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду — г — — — — 1. х8 у8 (7.26) (3) Пусть р ФО. Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точке с координатами ( .,) О, О, — — ~. При этом оставим старые обозначения координат е х, у, г. Очевидно, для того чтобы получить уравнение поверхности 8 в новой системе координат, достаточно заменить в уравнении (7.23) х на х — ч . Получим следующее уравнение: ЯР ' ацх'+ имут+ 2рз = О. (7.27) Уравнение (7.27) определяет так называемые лараболоиды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
