В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Уравнение (7.1) будем называть общим уравнением поверхности второго порядка. Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект '), не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат.
Отметим, что исходное уравнение (7.1) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны. Ниже мы убедимся, что для каждого уравнения (7.1) можно указать такую специальную систему координат, в которой уравнение (7.!) примет столь простой вид, что геометрическая характеристика поверхности б не будет представлять затруднений. Используя этот метод, мы дадим полное описание всех типов поверхностей второго порядка.
ь) Может оказаться, чго уравненве (7.1) не определяет поверхностп". атому уравневвю могут удовлетворять лншь коордннаты точек, расположенных яа прямой лкнян, нлп коордянаты лншь одной точкн, нлн не найдется нн одной точкн, коордянаты которой удовлетворяют (7.1). Однако в а атнх случаях мы будем говорить о геометрнческях объектах, наемная нх соответственно вырожденными нлн мнимыми. Фп ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА !Вз 1. Нреобразованне коэффициентов уравнения поверхности второго порядка ирн переходе к новой декартовой системе координат. Рассмотрим отдельно параллельный перенос и поворот ноординатных осей. Условимся о следующей терминологии: группу слагаемых апх'+ а„у'+ аззгз+ 2а„ху + 2аззуг + 2аахг левой части (7.1) будем называть группой старших членов этого уравнения, а группу слагаемых 2аих+ 2а„у+ 2азог+ ам будем называть линейной частью уравнения (7.1).
При этом коэффициенты ап, азз, азз, агл азз, ап будем называть коэффициентами группы старших членов, а коэффициенты аы, азь ам, ໠— коэффициентами линейной части (7.1). Коэффициент ам обычно называется сеободным членом уравнения (7.!). Рассмотрим сначала параллельный перенос декартовой системы координат. Как известно, старые и новые координаты точки связаны соотношениями х=х +хо У=у'+Уо. я=го+го. (7.2) где хо, уо, зо†координаты нового начала О' в старой системе Охуг (см. главу 3, формулы (3.20)).
Подставляя выражения (7.2) для х, у, г в левую часть (7.1), получим уравнение Ю в новой системе О'х'у'г'. Это уравнение имеет вид аих" + атзу' + аззг" + 2а1зх'у'+ 2аззу'г'+ 2а1зх'г'+ + 2а', .т'+ 2а'„у'+ 2аэ,г'+ а'„= О, (7.3) где а'„=аих,+а„у,+а, г,+ага а',=а„хо+а„уз+а г +ам, а' = а„х + а,у, + а, г, + аое а'„= аих,'+ а,у, '+ а г,'+ 2а„хоу, -1- + 2аззуого+ 2а1зхого + 2а ого+ 2аз,уз+ 2а„го + аоо. (7.4) Обращаясь к уравнению (7.3), мы можем сделать следующий важный вывод: при параллельном переносе системы координат коэффициенты еруппы старших членов не изменяются, а коэффициенты еруппы линейных членов преобразуются по формулам (7.4).
Рассмотрим теперь поворот декартовой системы координат. пОВИРхнОсти ВТОРОГО повадка Как известно, старые и новые координаты точки связаны соотношениями (см. главу 3, формулы (3.20)) х = тнх'+ тпу'+ т,зг', у т„х'+ тпу'+ тззг, г=тззх +пзззу + тззг (7.6) где тн = тн суть косинусы углов, которые составляют друг с другом старые и новые координатные оси. Подставляя выражения (7.6) для х„у и г в левую часть (7.1) и группируя коэффициенты при различных степенях х', у' и г', мы получим уравнение 8 в системе Ох'у'г'. Это уравнение имеет вид анхзз + а,',у" + а' г' + 2а'„х'у'+ 2а,',у'г'+ + 2а', х'г'+ 2а'„х'+ 2а'„у'+ 2а,',г'+ а„= О. (7.6) а» а» ~+ ~азз азз ~+ ~ азз а~з~ 7, = он+ азз+ азз, 7з = аи азз аа а» а» азз а» азз а» а» азз азз а» азз а» азз ~аи азз аз~ а!3 азз азз а» азз азз являются инвариантами уравнения (7.1) поверхности второго порядка относительно преобразований декартовой системы координат.
Доказательство этого утверждения приведено в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса. Легко убедиться в справедливости следующего важного вывода о структуре коэффициентов а',: при повороте системы координат коэффициенты группы старших членов уравнения (7.6) выражаются лишь через величины тн, фигурирующие в соотношениях (7.5), и через коэффициенты гриппы старших членов уравнения (7.1); коэффициенты а'„, а'„а уравнения (7.6) выражаются лишь через величины тзз и коэффициенты а~„азз, аы уравнения (7.1); свободный член не изменяется (т. е. азз —— а»).
При этом, если в исходном уравнении все коэфз~ициен»ты аы, азз, азз бйли Равны нцлю, то все коэффиЦиенты ани а,з, а также будут равны нулю. Из вывОДОВ Зтага ПУнкта следует, что путем параллельных переносов можно упрощать группу линейных членов уравнения (7.1), не меняя при этом коэффициентов группы старших членов, а путем поворотов системы можно упрощать группу старших членов этого уравнения. 2. Инварианты уравнения поверхности второго порядка. Справедливо следующее утверждение: Величины ВН ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ззт 3. Центр поверхности второго порядка.
Попытаемся найти такую декартову систему координат О'х'у'г' (полученную параллельным переносом системы Охуг), в которой уравнение (7.3) данной поверхности 5 второго порядка не содержало бы слагаемых 2а', х', 2а',у' н 2а' г', т. е. коэффициенты а'„, а', и а' были бы равны нулю. Пусть хо, уо и го — координаты начала О' искомой системы.
Обращаясь к формулам (7.4), найдем, что величины хз, уо, г, представляют собой решение следующей системы линейных уравнений: апх,+ а зуз+ аиго+а„=О, анхо+ аззуо+ амго + а„= О, (7.7) а~ого+ амуо+ амго + азо = О Уравнения (7.7) называются уравнениями центра поверхности второго порядка, а точка О' с координатами (хо, уо, го), где хо, уо и го — решения системы (7.7), называется центром этой поверхности. Допустим, что поверхность 8 второго порядка имеет центр О' (т. е.
система (7.7) имеет решение (хо,ум го)). Перенесем начало координат в центр О'. Так как при параллельном переносе коэффициенты группы старших членов не изменяются и начало координат переносится в центр, то уравнение поверхности 8 в системе О'х'у'г' примет вид апх' + а у + амг" + 2а'„х'у'+ 2а,',у'г'+ 2а,',х'у'+ а'„= О. (7.7') Очевидно, если точка М(х',у',г~) расположена на поверхности Е (т. е. ее координаты х', у', г' удовлетворяют уравнению (7.7') ), то и точка М'( — х', — у', — г'), симметричная с М относительно О', также расположена на Е.
Таким образом, если у поверхности Е существует центр О', то относительно центра точки 5 располагаются симметричными парами, т. е. центр поверхности является ее центром симметрии. Наличие центра у поверхности второго порядка связано с разрешимостью уравнений центра (7.7). Если уравнения центра имеют единственное решение, то поверхность 5 второго порядка будем называть централ он ой о). Отметим, что центральными поверхностями являются лишь те, для которых инвариант 1з отличен от нуля, ибо этот инвариант равен определителю системы (7.7) уравйеиий центра.
4. Стандартное упрощение любого уравнения поверхности второго порядка путем поворота осей. Докажем, что в некоторой декартовой прямоугольной системе координат уравнение данной ') тонни образом, центральная нооерхность нмеег еаннстненнма центр. повпрхности второго порядка !гл. т 188 поверхности Я второго порядка не содержит слагаемых 2а'„х'у'„ 2а,' у'г' и 2а'„х'г', т.
е. в уравнении поверхности 5 коэффициенты а',, а', и а'„равны нулю. Обозначим через Р группу старших членов уравнения (7.1) Р = аих'+ а„у'+ ашгт+ 2амху+ 2ашуг+ 2амхг (7.8) и рассмотрим значения Р в точках сферы и радиуса 1 с центром в начале координат. Иными словами, рассмотрим значения Р(х,у,г) для всех тех значений х, у и г, которые связаны соотношением ') х'+ у'+ ад= 1. (7.9) Пусть Р— та точка сферы и, э которой значение Р(х,у, г) является максимальным'*). Направим новую ось Ог' из начала координат в точку Р, а оси Ох' и Оу' перпендикулярно оси Ог'. Очевидно, в системе координат Ох'у'г' точка Р имеет координаты 0,0,1). ~ ° ° ак как в новой системе координат Ох'у'г' выражение для Р имеет вид"') Р = анх + а,'„у" + а,' г" + 2а'„х'у'+ 2а,' у'г'+ 2а,',х'г', (7.10) а сфера и определяется уравнением х + у' + г' 1, (7.1 1) то значения Р в точках и могут быть получены с помощью (7.10) для всех тех значений (х', у', г'), которые связаны соотношением (7.11).
В частности, максимальное значение Р будет в точке (О, О, 1). Убедимся, что в выражении (7.!0) группы старших членов в системе Ох'у'г' коэффициенты а'„и а'„равны нулю. Докажем, например, что а'„0 (доказательство равенства а'„=0 проводится аналогично). Для этой цели рассмотрим значения Р в точках окружности Е, являющейся линией пересечения сферы (7.11) с плоскостью у' = О, т. е. с плоскостью Ох'г'. Пусть 0— угол, который образует радиус-вектор точки М на окружности Ь с осью Ог'.
Координаты х', у', г' точки М, очевидно, равны х' з(п О, у' О, г'= сов 0. (7.!2) ') Соотиошевие (7.9) предстззляет собой урзвиеияе сферы рздиусз ! с центром в изчзле коордвизт. *ь) Сфера и является ззмквутым огрзвичеияым множеством и служит областью зздзяяя яепрерыввоэ фуивцяя Р трек перемевяыв к, р и и Отсюдз шшдуе~ существовзяяе яз сфере и техов точвя Р, в вотороа Р имеет мзксимаяьлое значение (см. выпуск ! курсе, главу И, теорему 14.7).
*") Нвпоиявм, что пря повороте козффяциеиты группы стяршия членов выражаются ляшь через величавы лць фягурирувшше в соотяошеяяях (7.5), я через иозффицяеяты группы стзршвк члеиов в эыряжеиии (7.8) (см. п. 1 этого перзгрзфз) . зя КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕН ВТОРОГО ПОРЯДКА 139 Подставляя эти значения х', у' и х' в (7.10), получим следующее выражение для Р в точках А: Р а,', з1п'О+ а,', соз'О+ 2а'„з(п 0 сов 0 = г / / Г = — + — соз 20+ а'„з)п 20. (7.! 3) си+ам ьм-аи Таким образом, значения Р в точках 7, могут быть представлены в виде функции (7.13) угла О. Эта функция имеет при 0 = 0 максимальное значение (из формул (7.12) следует, что значению 0 0 отвечает точка с координатамн (О, О, 1), в которой значение Р максимально). Отсюда вытекает, что производная функции (7.13) равна нулю в точке 0 О.
Дифференцируя (7.13) по 0 н полагая в полученном выражении 0 О, получим равенство 2а,', = О, из которого вытекает равенство нулю коэффициента а'„. Для доказательства равенства а'„0 нужно рассмотреть значения Р на окружности У, являющейся линией пересечения сферы (7.11) с плоскостью х'=О, и повторить проведенные выше рассуждения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
