В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Геометрическое место (М) точек М плоскости и, для которых отношение е расстояния г до точки Р атой плоскости к расстоянию а' до прямой Р, располоясенной в плоскости и, есть величина постоянная, представляет собой либо аллипс (при 0 « е 1),либо параболу (при е 1), либо гиперболу (при е~ 1). Точка Р называется фокусом, прямая Р— директрисой, а е — экс- В цен триситетом геометрического места (М). 4. Эллипс, гипербоааи парабола как конические сечения, В начале этой главы указывалось, что ьллилс, зипсрбола и парабола предстаеляют собой линии пересечения крузоеого конуса с плоскостями, нс проводящими через взо квршину.
В этом пуанте мы докажем теорему, обосновывающую справедливость этого утверждения. Теорема б.й. Пусть Ь вЂ” криеая, явлшощазся эллипсом «), еиперболой или параболой. Мошно указать такой круговой конус К и такую плоскость и, что линия пересечения плоскости н с кону. сом К представляет собой криеую «', Прежде чем перейтн к доказательству этой теоремы, сделаем следующее замечание. 3 а меча н не.
Пусть й» вЂ” линия пересечения конуса К с некоторой плоскостью и*, не проходящей через вершину конуса, а Ь вЂ” линна, подобная Ь«. Найдется плоскость и, линней пересече- ) иня которой с К будет ляння Существование такой плоскостн оче. Рнс. 6.13 видно, нбо параллельные плоскости пе. ресекают конус К по подобным линиям, коэффапвент подобия которых равен отношению расстояний от вершины конуса до этих пяоскостей. Лак а э а тельство теоремы вл. Очевидно, лкння пересечения конуса К с плоскостью, перпендикулярной его осн н не проходящей через его вершину, представляет собой окружность, т. с еллнпс, експентрнснтет е которого равен нулю. Рассмотрим плоскость и», не перпендикулярную оси АВ конуса К и не проходящую через его вершнйу О (рнс. 6.13).
Пусть Ь»-линия пересечения ') При этом эллипс может представлять собой окружность. линии второго порялкл (гл е втой плоскости и конуса Впишем в конус сферу 8, касающуюся плоскости я» в точке Р. Пусть м — плоскость окружяостя гт, по которой сфера 8 касается конуса К, и Р— прямая, по которой пересекаются плоскости я* я ю Убедимся, что Е» удовлетворяет требозаквям определения, сформуляровапяого в предыдущем пуякте, т е является лабо отличным от окружности элляпсом, либо параболой, либо гяперболой В процессе рассуждений выясвям, что в зависямостя от наклона плоскости я» я от величины угла, который составляют образующие конуса с его осью, кривая Е* может иметь любой положительный гхсцеягригигет г Этим, очевидно, я будет завершено доказательство теоремы, гак «ак любив дее кривые егорого порядка ") г одинаковым эксценгршиггтоя подобны (см.
пп. 3 в 4 $2 втой главы и эамечаяяе 2 п 1 $3 этой главы), а согласно сделанному перед доказательством теоремы замечапяю. любая криеоз Е, лодоблая линии Е' пересечения конуса К г плоскостью л», токяге яредггогллег собой линию пересечения этого конуса г некоторой плоскостью я Пусть М вЂ” произвольная точка кривой Е', ИР— перпендикуляр яз этой тачка яа плоскость ю, МΠ— перпендикуляр пз М па прямую Р, МР— отрезок, соедияяющяй точки М и Р, М/У вЂ” отрезок образующей конуса (эта образующая проходит через точку М, а /т' — точка пересечения с окружностью Я) Так как МР н Мй/ — касательные к сфере 8 из одной точки М, то )МР( )Мй/). Обозначим через Р угол, который составляет образующая конуса К с его осью, а через а — угол между плоскостямв я' п ю.
Очевкдяо, зяачеяяя Р заключены в пределах О < р < л/2, а значения а — в пределах О < а < < яг2»») Из рэссмотреяпя треугольников МР/г и МРЯ, а также из равенства )М/У( ! МР( вмтекает, что ! ИР! ) ИР (/соз(), (МЯ) ) ИР(/з)п а Таким образом, для любой точки М кривой Е* справедливо равенство ( МР И МО ) ып а/соз Р Поскольку дая задапиого конуса К и фиксированной плоскости и' отпошеяпе вша/сов Р ие зависит от точки М, то для кривой Е' еыяолягяы услоаия олределелая предыдущего лрякго, т е гто кривая Е» является либо оглячлмм от окрумжости эллипсом, либо гиперболой, либо яореболой Прв этом экскептрисятет е правой Е» может быть вычислен по формуле е з!п а/соз р. (6Аб) Докажем, что путем выбора углов а в р можно получать для е любое повожительиое зпачеипе Выберем, во первых, Р так, чтобы велпчияа есозР была меньше! Такой выбор Р возможен, так как Р— любое число из интервала (О, я/2) Остается выбрать а так, чтобы выполнялось равенство э!па =гсов р (эта формула представляет собой записанную ияаче формулу (6 46)).
Очевилио, достаточно положить а = вгони(е соз Р) Теорема доказана. 6. Полярные уравнения аллнпса, гиперболы ы параболы. Обратимся сначала к окружности радиуса /с. Если полюс полярной системы поместить в центр окружности, а полярную ось— произвольно в плоскости окружности, то, очевидно, искомое полярное уравнение будет иметь вид Р=/4. ') То есть эллипс, гипербола или парабола »') а чь О, так как плоскость я ие перпеядккулярна оси конуса. йз) директрисы эллипса. гипезаолы и плзлволы 165 Рассмотрим теперь кривую 7., представляющую собой отличный от окружности эллипс или параболу. Пусть Р— фокус крявой Е, й — отвечающая этому фокусу директриса, р — расстояние от Р до В н е — эксцентриснтет Е. Пусть полюс полярной системы координат совпадает с Р, а полярная ось перпендику.
лярна 0 н направлена так, как указано на рис. 6.14. Пусть М вЂ” любая точка Е. Согласно определению Е (см. п. 3 этого параграфа) )-™- = е. (6.47) 1ИР1 = Так как ! РМ1= р, а ~)МРЕМ) = !1Р)ч'+ +УМ~= р+рсозф'), то из (6.47) находим следующее выражение для р: р=- Р . (6.48) Соотношение (6.48), представляет собой полярное уравнение отличного от Рпс.
6.14 окр жности эллипса или параболы. 6 братимся теперь к гиперболе. Пусть Р— один нз ее фокусов, () — отвечающая этому фокусу днректриса, р — расстояние от Р до О, е — эксцентриснтет гиперболы. Пусть кт~ — ветвь гиперболы, отвечающая фокусу Р, е а )Рз — другая ветвь гиперболы (на рнс. 6.16 Р— правый фокус гиперболы н 'йУ1 — правая ее ветвь). Р Рассуждая, как н в случае й у р эллипса нлн параболы, легко убеднться, что полярное уравненне ветви )Р1 гиперболы имеет внд (6.48). Для ветви %Уз поляр- )тг Ж нос уравнение имеет иной внд. Заметим, во-первых, что для точек М ветви %"з справедливо соотношение (6.47), Выражения для )РМ~ н ')МР) имеют следующнй внд: )РМ1= р, 1 МР1 1Мйг — Рй71= — р сов ф — р **).
(6.49) Используя формулы (6.49), найдем нз (6.47) следующее полярное уравнение ветви %уз.' — рв 1+всозф ' ') Эта формула верка и в случае, котла М заколатса левее рУ. пбо в атом случае соз ф ( О. *') Так как ллк ветви Из угол ф тупой, то соз ф < О, и позтоиу Мн — р соз и.
!ГЛ. В ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯАЦД Таким образом, полярное уравнение гинерболы имеет внд для ветви )Р„ ре + для ветви ((уз. Замечание. Знаменатель в правой части соотношеняй (6.48) н (6.50) не обращается в нуль. В случае эллипса, когда О ( е < 1, эчо очевидно.
Для параболы е 1, но ~р изменяется на интервале (0,2п), н йоэтому (есозф( С С 1. В случае гиперболы легко убедвться, что для ветви Ф'г угол р изме- 1 1Ч ввется па иятервале (агссоз —, 2н — агссоз — ), н поэтому проязведенне е' е)' всозе либо ааключеяо мшкду нулем п единицей, либо отрицательно. Для 1Ъ Г !Ч ветви Кгз угол м изменяется яа (агссоз (- — ), 2п — агссоз ( — — )).
е)' е) Для эгнх значений ~р вырзженяе есозп отрицательно, во больше 1 по абсолютной величине. $4. Касательные к пллипсу, Гиперболе п параболе 1. Уравнения касательных к эллипсу, гиперболе н параболе. Убеднмси, что кажлая яз кривых /, являющаяся эллипсом, гиперболой нлн параболой, представляет собой обьедниенне графиков двух функций. Рассмотрим, например, каноническое уравнение эллипса (6.4). Иэ этого уравнения следует, что часть эллипса, точки которой вмеют яеотрнцзтельные ордннаты у, есть графяк функции у Ь ф 1 — — у прн — а~к~а, ./ к' (6.51) а а часть эллипса, точке которой имеют неположительные ордннаты, есть тра.
фвк функции у — Ьгч/1 — — у при †а~к. / кт (6.52) а Обращаясь к каноническому уравнению гиперболм (6.9), найдем, что гипербола представляет собой объединение графиков функций /7' /кв у Ь ~~-В- — 1 н у — Ь ~~(-т — 1 при «~а н «» — а, (6.55) а 'ччгг а а вэ канонического уравнения параболы (6.15) вытекает, что зта кривая есть объедняеняе графиков функций у ч/йрк и у — ч/йрк прн «> О. (бл4) Рассмотрим теперь вопрос о касательных к эллипсу, гиперболе н парабола Встественно, что касательные к этим кривым будут также касательными к графикам функций (6.51)-(6.54).
Вопрос о касательных к графикам функций подробно рассмотрен в выпуске 1 настоян!его курса (см. выпуск 1, главу 5, $1, п. 4). Найдем, яапрнмер, уравнение касательной к вллнпсу в его точке М(«, у), счятая прн этом уча 0 (пусть ради определенности у ~ 0). Пусть Х, у — текущие координаты точки касательной. Так как ее угловой й 41 БАсАтпльныБ ц эллнпсу. гипБРБОлп и пАРАБОлн 167 хЬ коэффнцнент й у', где у' — — проязводная функция хз аз г~/1 — т а (6.51), вычнсленная в точке х, то уравнение касательной нмеет внд») хЬ У вЂ” у — (Х вЂ” х). (6.55) Учитывая, что точна М(х, у) лежнт на эллнпсе (т.е. ее коордннаты х н у удовлетворяют уравнениям (6.51) н (6.4)), получен после несложных преобразованнй уравнение касательной к зллнпсу в следующей форме: Хх Уу — + — 1. аг Ьз Рассуждая аналогнчво для случая гяперболы н параболы, получим следующие уравнення касательных к этны крнвым: для гиперболы — — — 1, Хх уу аз Ь' (6 57) для параболы 1'у р (Х+ х).
(6.58) За меча вне 1. В предыдущнх рассуждениях был исключен случай у О. В соответствующих точках эллнпса, гнперболы н параболы касательные вертикальны. Легко убедиться, что уравнення (6.56) — (6.58) справеллнвы н в Ż— этом случае. За меч а вне 2. Отметки, что касательная к эллипсу нмеет с ним только одну Х- общую точку — точку касання. Аналогяч- ч г I l ным свойством обладают касательные к гнперболе н параболе, г 2. Оптические свойства взлнпса, гнперболы н параболы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
