В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 37
Текст из файла (страница 37)
/э ) О, и по- этому сделанные выше геометрические выводы для уравнений 6.82), (6.83) н (6.84) справедливы и для уравнения (6.60). еорема доказана. Замечание 6. Остановимся подробнее на случае, когда уравнение (6.60) эллиптического типа определяет эллипс. При этом мы будем считать, что это уравнение нормировано так, что /1 ) О. Координаты (хе, уз) центра этого эллипса представ- ляют собой решение системы (6.74). Так как новая ось О'х" является одной нз главных осей эллипса (это вытекает нз того, что в системе О'х"у" уравнение эллипса имеет канонический внд, и поэтому осн координат О'х" и О'у" совпадают с глав- нымн осямн эллипса (см. п.
1 $2 этой главы)), то угол наклона <р этой осн со старой осью Ох может быть найден по формуле (6.79). Наконец, нз уравнения (6.82) вытекает, что полуоси эл/:/, лнпса равны ~ — -+ и,~ — т)- . причем коэффициенты ТУ' /яай '1/ /Язм ан и а" выражаются через коэффициенты ан исходного урав- нения (6.60) (см. первую н третью формулы (6,67); прн этом нужно положить ан — — а1, и ам ам).
$ б! ЗАдАчн нА пРямтю н плоскость В пРОстРАнстВБ !те Итак. зная инварианты н формулы преобразования коорди. нат, можно вычислить полуоси зллнпса н выяснить его расположение относительно исходной системы координат Оху. 2'. Линии гиперболического типа (1б < 0), Справедливо следующее утверждение. Теорема 6.7, Уравнение (6.60) линии 1. гиперболического типа при 1б чь 0 представляет собой гиперболу, а при 1б = 0— пару пересекающихся прямых, Д о к а з а т ел ь ст в о. Так как для уравнения (6 81) 1, = =а",,а"„то из условна 1 <0 вытекает. что а,", н а, имеют разные знаки. Для определенности будем считать ап ) О, аа < 0 (случай а,", < О, а„> 0 рассматривается аналогично). Тогда уравнение (6.8!) может быть записано следующим образом: при 1б<0 при 1б — — 0 при 1б> О Очевидно, уравнение (6.86), отвечающее случаю 1б < О, представляет собой каноническое уравнение гиперболы, для которой ось Оу является действительной осью, а ось Ох — мнимой Р~ - - ° б б ° --..-'б ~б -Рб соответственно равны,~ — ~- н б~ „.
Уравнение 1 бз 11 1 а, 11 б'б( — абб) (6.87), отвечающее случаю 1б) О. также представляет собой каноническое уравнение гиперболы, для которой ось Ох является действительной осью, а ось Оу — мнимой осью, причем мнимая и действительная полуоси втой гиперболы соответствеибб 1 — 1б но равны ~ — „н ~ — а- ° '~/ т,(- ") '1l т;и Уравнение (6.86), отвечающее случаю 1б ==О, можно записать в виде 190 ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ, 3 Этому последнему уравнению удовлетворяют лишь координаты точек, расположенных на прямых х эю ха к 7 — + ! ! ' 1 =0 — — -о.
!/а! !/ — а ! а/а„ Для завершения доказательства теоремы достаточно заметить, что каждое нз уравнений (6.85) — (6.87) эквивалентно исходному уравнению (6.60) соответственно для случаев 1з ( О, 1з =О, 1з ) О, н поэтомУ сДеланные выше геометРнческие Выводы для уравнений (6.85) — (6.87) справедливы и для уравнения (6.60). Теорема доказана. Замечание 6. Остановимся подробнее на случае, когда уравнение (6,60) гиперболического типа определяет гиперболу, т. е. когда 1зчьО. Координаты (хо, уо) центра втой гиперболы представляют собой решение системы (6.74). Угол наклона !Р осн Ох' (являющейся либо действительной, либо мнимой осью гиперболы) со старой осью Ох может быть найден по формуле (6.79).
Наконец, в процессе доказательства теоремы были указаны величины действительной н мнимой полуосей гиперболы. Их значения вычисляются через 1„1, ап и а,". Коэффициенты а",, н о; выражаются через коэффициенты ап исходного уравнения (6.60) (см. первую и третью формулы (6.67); прн этом нужно положить оп=а,', и аа =а'„). Уравнения аснмптот гиперболы без труда могут быть найдены по ее каноническим уравнениям (6.85) нли (6.87). Итак, зная инварианты н формулы преобразования координат, можно вычислить действительную н мнимую полуоси гиперболы и выяснить ее расположение относительно исходной системы координат Оху.
6. Упрощение уравнения линии параболического типа (1!=0). Классификация линий параболического типа. Заметим, во-первых, что для уравнения (6.60) параболического типа инвариант 1! отличен от нуля. В самом деле, если 1! — — он+ аж= О, то 2 3 а,! а, 1!=от +от +2а а =0 т.
е. а а = — — — —. Так как !!ж ' ' ' !! 2 2 1,=апа„— а', =О, то, используя только что полученное выраа!! аам 3 жение для она, яайдем что — — — — =она откуда следует, что ам =а„= оы=О. Но, по предположению, по крайней мере один из коэффициентов ан, аы, а!а отличен от нуля. Итак, 1чь О. Произведем стандартное упрощение уравнеяня (6.60): 1) если аы О, то оставим систему координат Оху неизменной в в! ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВВ 1З) и изменим лишь обозначение х иа х', у иа у', ап иа а,', 2) если амчьО, то перейдем к повернутой системе координат Ох'у', вычисляя угол поворота по формуле (6.79) и используя при этом формулы (6.67).
В обоих указанных случаях уравнение (6.60) примет внд (6.80). Так как для уравиеиия (6.80) = ап + а'„, lт апа,', то нз условия !~ Ф О, lт — — 0 вытекает, что один из коэффициентов ап и а', равен нулю, а другой ие равен нулю. Для определенности будем считать ап = О, а' Ф 0 (случай а11 -„ь О, а',= 0 рассматривается аналогично).
При этом предположении 7, =а'„, так как 7, = ап + а,'. Итак, уравнение липин (6.60) параболического типа после стандартного упрощеиия может быть записано в следующей форме '): )1у' + 2а1вх'+ 2атву'+ ам= О. (6.88) Дальнейшее упрощение уравиепия (6,88) может быть достигнуто путем специального параллельного переноса системы координат Ох'у'.
Предварительно перепишем (6.88) в следующей форме: т я тв ), ( '+ У) + 2 мх'+ „— — = О. (6.89) Вид уравиеиия (6.89) подсказывает, как выбрать специальный параллельный перенос системы координат Ох'у'. Нам нужно, )т и' ~ чтобы первое слагаемое 7,(у'+ — ) в левой части (6.89) имело внд (пуи; а остальные слагаемые сохРаиили свой вид. птв Поэтому следует положить р" равным у'+ ~, а х равным х'. г, Итак, перейдем теперь к новой системе координат, полученной путем следующего параллельного переноса: т р"- р'+ —,".
(6.90) хи=х', Введем обозиачеиия и и те а, а',, а,=а (6.91) 1 В силу соотиошеиий (6.89), (6.90) в (6.91) уравнение линии 7. параболического типа в новой системе координат Оихиу" е е с и) Еслн опчео, атя О, то 1~ ап в вместо урввненяя (б.бб) мы полут чнм УРевненне l,х +Зпьтл +а и +пвв О, котоРое пУтем нвмекеннн обое е е с т е е т внеченна л не р, р на х, а нв и н пвт нв а1впереяолнт в урввненне(б.вз). 1ая линии второго порядка [гл. е примет вид 1„-з+2", в+ Ь=О. (6.92) о о в О 1, О в м ам о о = — 1а 1 ~з' (6.93) 1з Так как 1~ чьО, то ири 1з чьО и а„чь О, если же 1з — — О, то и а"„О. Используя этот вывод, мы можем записать уравнение (6.92) следующим образом: в зоиl (6.94) 1,у" + а", = О. (6.96) прн 1 чь О (т. е.
при а,",чь 0) при 1 = 0 (т. е. при а" ,=0) Очевидно, уравнение (6.94), отвечающее случаю 1зчьО, представляет собой параболу. Чтобы убедиться в этом, совершим следующий параллельный перенос системы координат: м х= "+ '", у-у-, (6.96) зв~з и введем обозначение р = Ж4Ц. (6.97) Тогда вместо (6.94) мы получим уравнение Уз 2рХ или Уз = = — 2рХ, которое является каноническим уравнением параболы. Уравнение (6.95), отвечающее случаю 1з — — О, может быть записано так: у"' — а,",/1г (6.98) Бели — а,„(1, > О, то уравнение (6.98) представляет собой пару В~~ * М ж зв ~/- д, а' -~/ — ~Г,; ') Термпп «мвпмме параллелькме прамме«булез разъпспен в процессе доказательства. Докажем теперь следующее утверждение.
Теорема б.б. Уравнение (6.60) линии 1. параболического типа ири 1з чьО представляет собой параболу, а ири 1з =0— либо пару параллельных действительных ирямых (которые могут быть слившимися), либо пару мнимых параллельных прямых «). Доказательство. Выясним вопрос о связи между величинами а" ,и 1. Для уравнения (6.92) имеем й з) злддчн нд прямую и плоскость в прострлиствн (88 если — аф1, = О, то (6.98) представляет собой ось Ох", уравнение которой ум = 0 (это уравнение можно рассматривать как предельный случай при аю-ьО, т.
е. как пару слившихся прямых). Если, наконец, — а©1, < О, то уравнению (6.98) не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости, т. е. геометрический образ является мнимым. Обычно говорят, что в последнем случае уравнение (6.98) определяет пару мнимых параллельных прямых. Теорема доказана.
3 а меча нне 7. Для случая УзФ О, когда уравнение (6.60) параболического типа определяет параболу, читатель без труда найдет параметр р этой параболы и ее расположение относительно исходной координатной системы Оху. Для этого нужно использовать переход от уравнений (6.60) к уравнению (6.88), описанный в начале этого пункта, н формулы (6.90), (6.91), (6.96), (6.97). 7.
Расввдэющяеся кривые второго порядка. Лиикю Ь второго порядка, определяемую уравнением (6.60), будем изнывать распадающейся, есле левая часть этого урззиення может быть представлена в виде провзведеявя двух маогочленоэ первой степени. Очевидно, если з дзкиой декартовой прямоугольной системе коорднизт ливня Ь является рэспздзющейсн, то ояз будет распадающейся з любой другой декартовой прнмоугольной снстеме коордвнэтг прк преобразовзнпн коордннзт многочлея первой степени остается многочленом первой степени н кэждый многочлен-сомножитель преобразуется независимо от других сомножителей. Это свойство многочленов позволяет сформулировать необходимое н достаточное условие рзспздеиня кривой второго порядка. Теорема б.р.
Для гого чтобы линия Ь второго порядка была распадающейся, необходимо и достаточно обращение а нуль ичеариаига гг. Доказательство. Мы доказали (см. теоремы 6.6 — 6.8), что уравнение любой линии 7. второго ворядкэ может быть прнведево к одному нз эндов(6.82) — (687), (6.94) я (6.95). Рвспэдзющвмнся среди этих линий являются лищь те, дяя которых уг О я, кзоборот, есле Уг О. то урэзневве лкнни приводится к веду, иэ которого, очеввдно, следует свойство распадения, Теорема докзззва. ГЛАВА 7 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В этой главе мы познакомимся с понятием и основными типами поверхностей второго порядка.
Кроме того, будут указаны способы исследования таких поверхностей. $1. Понятие поверхности второго порядка В силу определений 1 и 3 из п. 5 $2 гл. 4 поверхностью 5 второго порядка будем называть геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида а„ха+ а~ух+ аюге+ 2а„ху + 2ашуг + 2аыхг + 2аых + + 2атчу+ 2аачг+ аы = О, (7.1) в котором по крайней мере один нз коэффициентов аы, атя, ааа, а~т, аш, ага отличен от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
