В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Причем, если ац и а88 имеют одинаковый знак, то параболоид называется эллинтикеским. Обычно уравнение эллиптического параболонда записывают в канонической форме: 88 эь азг+ ьт Уравнение (7.28) легко получается из (7.27). Если ац и а88 имеют разные знаки, то параболоид называетсн еилерболическим. Каноническое уравнение гиперболического параболоида ц зэк.!68 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА !94 [Гл. т имеет Вид хз уз (7.29) Это уравнение также легко может быть получено из (7.27). 2. Два из коэффициентов ап, а,'„а' равньз нулю.
Рада определенности будем считать, что а'„=0 и а,' =0 (если равны нулю какие-либо другие два из указанных коэффициентов, то можно перейти к рассматриваемому случаю путем переименования осей координат). Перейдем от х', у', а' к новым координатам х, у, х по формулам з аз< х=х', у=у', х=х'+ —,. взз (7.30) Подставляя х', у' и х', найденные из (7.30) в левую часть (7.15) и заменяя затем а', на аз, аы на р, а„на д и а', на г, получим следующее уравнение поверхности 8 в новой системе координат Охух: а,зз'+ 2рх + 2ду + г = О. (1) Пусть р =О, д =О. Поверхность 8 распадается на пару параллельных плоскостей х-= ~ .!/ — г/азз.
(7.32) При атом, очевидно, зтн плоскости будут мнимыми, если знаки азз и г одинаковы, и вещественными, если знаки азз и г различны, причем при г = 0 эти плоскости сливаются в одну. (2) Хотя бы один иэ коэффициентов р или д отличен от нуля. В атом случае повернем систему координат вокруг оси Ое так, чтобы новая ось абсцисс стала параллельной плоскости 2рх+ +2ду+ г=О. Легко убедиться, что при таком выборе системы координат, при условии сохранения обозначения х, у и х для новых координат точек, уравнение (7.31) примет вид аззез + 2д'у = О, (7.33) которое является уравнением параболического цилиндра с образующими, параллельными новой оси Ох. $3. Исследование формы поверхностей второго порядка по нх кановнческим уравнениям 1. Эллипсоид.
Для исследования формы зллипсоида обратимся к его каноническому уравнению (7.18) (см. п. 1 предыдущего параграфа) (7.18) э»! иссладов»ннк поэмы повярхиостпи второго порядка 1м Из уравнения (7.18) вытекает, что координатные плоскости яеляются ало«костями симметрии эллиясоида, а начало координат — центром симметрии. Числа а, Ь, с называются нолуосями эллипсоида и представляют собой длины отрезков, от начала координат до точек пересечения эллипсоида с осями координат. Эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность, заключенную, как это видно из (7.18), в параллелепипеде 1х! ~ а, ~!у'!~ Ь, ~г~ ( с.
Чтобы более наглядно представить себе форму эллипсоида, выясним форму линий пересечения его плоскостями, параллельными какой-либо нз координатных плоскостей. Ради определенности рассмотрим линии Е» пересечения эллипсоида с плоскостями г=й, (7.34) параллельными плоскости Оху. Уравнение проекции с.» ляпин с,» на плоскости Оху получается нз уравнения (7.18), если положить в нем г=й.
Таким образом, уравнение этой проекции имеет внд «е ре Ле а~'+»е ст' (7.35) Если положить Ле ° Ле а' а 1 — -т . Ь'=Ь 1 --~-, с с то уравнение (7.35) можно записать в виде (7.37) т. е. Е» представляет собой эллипс с полуосями а' и Ь', которые могут быть вычислены по формулам (7.36). Так как Е» получается «подъемом» Е» иа высоту й по оси Ог (см.
(7.34)), то и с.» представляет собой эллипс. Представление об эллипсоиде можно получить следующим образом. Рассмотрим на плоскости Оху семейство эллипсов (7.37) (рис. 7.1), полуоси а' и Ь' которых зависят от й (см. (7.36)), и каждый такой эллипс снабдим отметкой Ь, указывающей, на какую высоту по оси Ог должен быть «поднпт» этот эллипс. Мы получим своего рода «карту» эллипсоида.
Используя эту «карту», легко представить себе пространственный внд эллипсоида. На рис. 7.2 изображен эллипсоид. Эллипсоид может быть получен равномерным сжатием сферы относительно двух перпендикулярных плоскостей. Именно, если а — наиболыпая полуось эллипсоида, то он может быть получен нз сферы ') ве -„г+ ~~с + — „* = 1 ') Очевпдпо, сфера представляет собой велппсопд с ревпммп папуас»пи, Пль г ПОВВРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА равномерным сжатием ее сначала относительно плоскости Оху с коэффициентом сжатия Ь/а, а затем относительно плоскости Охг с коэффициентом сжатия с/а.
В заключение отметим, что линии пересечения эллипсоида с плоскостями представляют собой эллипсы. В самом деле, такая линия представляет собой ограниченную линию второго порядка «) (ограниченность линии вытекает Ркс. ТЛ Ркс. 7.2 из ограниченности эллипсокда), единственной же ограниченной линней второго порядка является эллипс. 2. Гиперболоиды. 1'. Однополостный гиперболоид. Обратимся к каноническому уравнению (7.19) однополостного гиперболоида ль ЭФ ээ -т+ — г — 1 ° а Ь Из уравненяя (7.19) вытекает, что координатные плоскости являются алоскостями симметрии, а начало координат в центром симметрии однополостного гиперболоида.
Рассмотрим линии Е» пересечения одиополостного гиперболоида плоскостями к= й. Уравнение проекции Е» такой линии на плоскость Оху получается из уравнения (7.19), если положить в нем з = и. Полагая «) Преобразуем скстему коордввэт тэк, чтобы э козой свстеме коордкват Оэ'Э'э' секуьяээ плоскость овределялэсь урээвеявем э' О. После такого преобрэзовэввя э»»косова буде определятьсв ураввевяем второго во. редка. Полагая в этом урээяеввв э' ° О, мм получки урэвяекве второго порядке »явяв пересечеввв злляпсовдэ в плоскоств я' О. 4 Н НССЛЕДОВАНИВ ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТЕН ВТОРОГО ПОРЯДКА )97 найдем, что уравнение этой проекции имеет внд кэ рэ — + — =1, о'э Ь'э (7.39) т.
е. 4представляет собой эллипс с полуосями а' н йе Рассмотрим «карту» расположенной над плоскостью Оку части однополостного гиперболоида*), т. е. семейство эллипсов (7.39), каждый нз которых снабжен отметкой Ь, указывающей, на какую высоту по осн Ог должен быть поднят этот эллипс (рнс.7.3).Обращаясь к карте одно- полостного гиперболоида, мы видим, что наименьший из рассматриваемых эллипсов (7.39) получается для Ь=О (см. также формулы (7.38)). ,д Внмт лссссс Рнс 7.3 Рнс. 7.4 Этот эллипс называется горловым. С увеличением Ь размеры эллипса (7.39) неограниченно увелнчнваются.
Таким образом, однополостиый гиперболоид представляет собой поверхность, состоящую нз одной полости и подобную трубке, неограниченно расширяющейся в положительном н отрицательном направленнн по осн Оя (рнс. 7.4). Отметим, что сечення однополостного гнперболоида плоскости Оуе н Окя представляют собой гиперболы, определяемые соответственно уравненнямн рэ нэ к* а' -г — — =1 н -г — =1. Ь сэ о Этн гиперболы изображены на рнс. 7.4. 2'. Двуполостный гиперболоид. Из канонического уравнения (7.20) кэ рэ 2 — + -à — — — — — 1 (7.20) еэ Ь с *) Расаоложенная под плоскостью Окр часть одноноаоепюго гннербо. лонда снима«рачка рассматрнэаемоа частн относнтелыо этой ялосностн.
1гл. г поев хностн второго порядки двуполостного гиперболоида вытекает, что «оординагные плоскости являются его плоскостями симметрии, а начало координат в его центром симметрии. Линни 7,ь пересечения двуполостного гиперболоида плоскостямн а= Ь представляют собой эллипсы, уравнения проекций которых на плоскость Оху имеют внд из и1 — + — =1 ь 2 Ю ° (7.40) где а' а ~/ — — 1, Ь =Ь вЂ” г — 1. (7.41) lл л* С* Из формул (7.41) вытекает, что секущая плоскость г= Ь начинает пересекать двуполостяый гиперболоид лишь прн 1Ь)=и ) си).
Иными словами, в слое между йлоскостямн и= — с и а=с не содержится точек рассматриваемой поверхности; в силу симметрии относительно плоскости Оху она состоит из двух полостей, расположенных вне указанного выше слоя. На рнс. 7.5 изображена «карта» верхней полости двуполостного гиперболоида. Из формул (7.41) следует, что прн увеличения Ь эллипсы (7.40) неограниченно увеличиваются, так что полости двуполостного гиперболоида Рис. 7.6 Рис. 7.5 представляют собой бесконечяые чаши. На рнс. 7.6 изображен двуполостный гиперболоид. Отметим, что сечения двуполостно- го гиперболоида плоскостямн Оуг н Охг представляют собой гиперболы (см. рнс.
7.6). «) При )Л~ К с иедиереииее имрижеиие и формулах (7.41) отрицательно. 4 з1 исслвдовлнив воэмы поваэхностви втоэого поьядка 1ее 8. Параболонды, 1'. Эллиптический лараболоид. Обращаясь к каноническому уравнению (7.28) эллиптического параболоида хг г =ег+ ЬГ~ мы видим, что для него Охг и Оуг являются илоскостями симметрии. Ось Ог, представляющая линию пересечения этих плоскостей, называется осью эллиптического лараболоида.
Из уравнения (7.28) вытекает, что эллиптический параболоид расположен в полупространстве г) О. Линии Еь пересечения эллиптического параболоида плоскостями г = Ь, Ь з. О, представляют собой эллипсы, проекции Ьь которых на плоскости Оху определяются уравнением — + — =1 хх ух (7.42) .з ьт * / где а' = а 1/Ь, Ь' = Ь 1/Ь, (7.43) Из формулы (7.43) следует, что прн увеличении Ь эллипсы (7.42) неограниченно увеличиваются, так что эллиптический параболоид представляет собой бесконечную чашу.
На рис. 7.7 изображен эллиптический Рис. 7.7 параболоид. Обратимся к сечениям эллиптического параболоида плоскостями у = Ь и х = Ь, параллельными соответственно координатным плоскостям Охг и Оуг. Плоскость х = Ь, например, пересекает эллиптический параболонд по параболе аг „х г — — =-з- х=Ь. аг ь (7.44) Очевидно, парабола (7.44) получается таким параллельным переносом параболы г= уз/Ьч, х=О, (7.45) представляющей собой сечение эллиптического параболоида плоскостью х= О, при котором ее вершина, имеющая координаты (О, О, О), переходят в точку с координатами (х= Ь, у = О, г = Ь'/а~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
