В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Таким образом, если эллипс задан своим каноническим уравнением (6.4), то главными осями этого эллипса являются оси ко- рне. 6.4 ординат, а центром эллипса— начало координат. Точки пересечения эллипса с главными осями называются вершинами эллипса. Точки А, В, С, Р иа рис. 6.4 — вершины эллипса. Очевидно, эти вершины имеют соответственно координаты ( — а, 0), (О, Ь), (а, 0), (О, — Ь).
Замечание 1. Очевидно, длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2Ь. Так как 2а ) 2Ь, то главная ось, образующая в пересечении с эллипсом отрезок 2а, называется большой осью эллипса. Другая главная ось называется малой осью эллипса. Если эллипс задан уравнением (6.4), то прн а ) Ь большой осью будет ось Ох, а малой — ось Оу. При Ь) а большой осью будет ось Оу, а малой — Ох. !Гл. 6 линии втотого поездка !60 Замечание 2. Очевидно, фокусы эллипса располагаются на его большой оси.
2'. Весь эллипс содержится внутри прямоугольника !х~ ( а, у(~ Ь (на рис. 6.4 этот прямоугольник не заштрихован). самом деле, из канонического уравнения (6.4) вытекает, что хй/ай =1 н уй/Ьйа„:;1. Эти неравену ства, очевидно, эквивалентны неравенИЫу/ ствам !х~«= а и !у)йя;Ь 1 3'. Эллипс может быть получен посредством равномерного сжатия окружности. Рассмотрим окружность (рис.
6.5), заданную уравнением (6.16) Произведем теперь равномерное сжатие плоскости к оси Ох, т. е. такое преобразование, при котором точРзс. 6.6 ка с координатами (х,у) перейдет в точку с координатами (х,у), причем х=х, а у — у. Очевидно, при этом преобразовании окруж- Ь и ность (6.16) перейдет в кривую, определяемую уравнением гй уй -э-+ ьт 1, т, е.
в эллипс. 2. Йсследованне формы гиперболы. Обратимся к каноническому уравнению гиперболы (6.9) йй уй -т — — = 1. Ьй 1'. Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются вершинами гиперболы. Эта ось называется действительной осью гиперболы. Другая ось ие имеет общих точек с гиперболой и поэтому называется мнимой осью гиперболы. Таким образом, мнимая ось гиперболы разделяет плоскость иа правую и левую полуплоскостн, в которых расположены симметричные относительно этой оси правая и левая ветви гиперболы.
Справедливость указанного свойства симметрии гиперболы вытекает нз того, что в уравнении (6.9) величины х и у фигурируют в четных степенях. Следовательно, если координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (6.9) (т. е. точка М располагается на гиперболе), то этому уравнению удовлетворяют координаты ( — х,у) и (х,— у) симметричных ей точек Э З1 НССЛВДОВДННВ ООРМЫ ЭЛЛНПСД, ГНПВРВОЛЫ И ПДРДВОЛЫ 161 относительно осей координат и координаты ( — х, — у) точки, симметричной М относительно начала координат (рнс.
6.6). Таким образом, если гипербола задана своим каноническим уравнением (6.9), то главными осями этой гиперболы являются оси координат, а центром гиперболы — начало координат. Убедимся теперь, что ось Ох является действительной осью гиперболы, точки А( — а,0) и В(а,0) — верисинами гиперболы н ось Оу является мнимой осью гиперболы. Для этого до- у статочно доказать, что ось Ох Ю пересекает гиперболу в точках А и В, а ось Оу не имеет Ф4 У) обших точек с гиперболой.
Так как ординаты точек оси л -е ут у Ох равны нулю, то для выяс- л пения величины абсцисс точек пересечения этой оси с ги- Г4-Ю бц-у) перболой нужно в уравнении (6.9) положить у=О. После этого мы получим уравнение хз/аз=1, из которого нахо- Рвс. 66 дятся абсциссы точек пересечения оси Ох с гиперболой. Полученное уравнение имеет решения х = — а и х = а. Следовательно, ось Ох пересекает гиперболу (т.
е. является ее действительйой осью) в точках А( — а,0) и В(а, О) (т. е. эти точки и есть вершины гиперболы). Поскольку абсциссы точек оси Оу равны нулю, то для ординат точек пересечения этой оси с гиперболой получаем из (6.9) уравнение — уз/Ьз = 1, которое не имеет действительных решений. Следовательно, ось Оу является мнимой осью гиперболы. 3 а меча н не. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси. 2'. Рассмотрим область 6, которая получена объединением прямоугольника О, координаты х и у точек которого удовлетворяют неравенствам ~х~ ( а, ~у~ч- Ь, и тех двух углов, образованных диагоналямн этого йрямоугольника, в которых располагается мнимая ось гиперболы (на рис.
6.6 эта область заштрихована). Убедимся, что в области 6 нет точек гиперболы. Разобьем область 6 иа две части 61 и От, где 61 представляет собой полосу, абсциссы х точек которой удовлетворяют неравенству ~х~ ( а, а Оз — остальная часть области 6 *).
Очевидно, в полосе 61 нет точек гиперболы, так как абсциссы х ь) Область О, представляет собой, очевидно, полосу, заключеинув между безгранычно продолженными вертнкальыынн стороыамн прямоугольника О. Область ба состоыт из четырех частей, каждая ыз историк располагается в одном нз координатных углов. 1гл е линии второго попядкд 1б2 точек, расположенных на гиперболе, удовлетворяют неравенству )х~)а*). 06РатимсЯ тепеРь к точкам области 6э. Заметим, что каждая точка 6т либо лежит нз диагонали прямоугольника Р, либо за его диагональю *'). Поскольку диагонали Р опреь ь деляются уравнениями у = — х и у = — — х, то координаты х и у точек 6а в силу их расположения удовлетворяют неравенству Ь/а ()у)/)х~ *'*).
Из этого неравенства вытекает неравенство )х)/а «-)у)/Ь, из которого в свою очередь следуют нехэ уэ равенства †, — †, ( О < 1, а так как для точек гиперболы х у —,— —,= 1, то в области 6т нет точек гиперболы. 3'. Установим важное свойство гиперболы, связанное с ее расположением относительно диагоналей прямоугольника Р, о котором говорилось выше. В общих чертах это свойство заключается в том, что ветви гиперболы приближаются к диагоналям прямоугольника Р.
В силу симметрии гиперболы это свойство достаточно выяснить для части гиперболы, расположенной в первой четверти. Координаты х н у точек гиперболы, расположенных в первой четверти, удовлетворяют условиям х ) а, у) О*'**). Обращаясь к уравнению (6.9), мы видим, что при указанных условиях это уравнение эквивалентно соотношению х' у=Ь (6.17) Иными словами, рассматриваемая часть гиперболы представляет собой график функции (6.17)*«*'*). Легко убедиться, что эта функция может быть представлена в следующей форме: у= — х— Ь Ь (6.18) х+ „/х« Обратимся теперь к диагонали прямоугольника Р, расположенной в первой четверти.
Она определяется уравнением у= — х. ь (6.19) о хэ г« *) Иэ канонического уравнения гиперболы вытекает, что — 1+ — -, аэ ь ' т. е. х«1о« 2э 1. Последнее неравенство эквивалентно неравенству )х) ~«а ««) Будем говорить, что точка М плоскости лежит эа диагональю прямоугольника О, если перпендикуляр, опугценный нэ М на ось Ох, пересекает вту диагональ '«') Абсциссы х точек бэ ие равны нулю «'«') В силу свойства 2' гиперболы (6 9) абсциссы ее точек удовлетворяют условию )х) ~ а Для точек первой четверти ато условие может быть аапнсано в виде х и о '«'*') По поводу понятия график функции см выпуск 1, главу 1, й 2, п.
4. б Н ИССЛНДОВЛННЯ ООЭМЫ ЗЛЛИПСЛ. ГИПВРВОЛЫ И ПЛРЛВОЛЫ Гба Сравним величины ординат У и у рассматриваемой диагонали и части гиперболы для одного и того же значения х, т. е. рассмотрим разность У вЂ” у (рис. 6.7, а). Используя соотношения (6.18) и (6.!9), получим У вЂ” у= (6.20) Рнс. 6.7 отрезка Мгг', то при удалении точки М гиперболы в бесконечность (т, е. при х-~оо) расстояние МР стремится к нулю. Следовательно, рассматриваемая часть ветви гиперболы приближается к соответствуюи)ей диагонали прямоугольника Р.
В силу симметрии аналогичным свойством обладают и другие части гиперболы, расположенные во второй, третьей и четвертой четвертях. Диагонали прямоугольника Р обычно называются асимптотами гиперболы. Отметим, что асимптоты гиперболы определяются уравнениями Ь Ь у= — х и у= — — х. л е (6.21) 4'. Наряду с гиперболой (6.9) рассматривают так называемую сопряженную по отношению к ней гиперболу. Сопряженная гипербола определяется каноническим уравнением хе ре «) и' Ье (6.22) «) Чтобы убеляться.
что уравнение (6.22) опрелеляет гиперболу, лосгаточио положить х = у, Е = 2 н уиножигь обе части этого уравнения на -Н Из соотношения (6.20) следует, что при х-ь оо разность У вЂ” у стремится к нулю. Абсолютная величина ~ У вЂ” у~ равна длине отрезка Мл( (рис. 6.7, а).
Так как расстояние МР от точки М гиперболы до рассматриваемой диагонали не превышает длины [ГЛ. Ь ЛИННИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 184 На рис. 6.7,б изображены гипербола (6.9) и сопряженная ей гипербола (6.22). Очевидно, что сопряженная гипербола имеет те же асимптоты, что и данная. Иными словами, зсимптоты сопряженной гиперболы определяются уравнениями (6.21). Заметим, что гипербола (6.9) в свою очередь является сопряженной по отношению к гиперболе (6.22).
3. Исследование формы параболы. Обратимся к каноническому уравнению параболы (6.15): уэ = 2рх. (6.15) 1'. Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Действительно, в уравнении (6.15) ве- у Ф[ху) личина у фигурирует в четной степени. ч Следовательно, если координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (6,15) В (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
