В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Если хотя бы один из указанных коэффициентов равен нулю, уравнение называется неполным. Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений; 1) 0 = О, уравнение Ах+ Ву+ Сг = О определяет плоскость, проходящую через начало координат (поскольку координаты начала удовлетворяют этому уравнению). 2) А = О, уравнение Ву+ Сг + Р = О определяет плоскость, параллельную оси Ох (поскольку нормальный вектор этой плоскости и =(О, В, С) перпендикулярен оси Ох). 3) В =О, уравнение Ах+Се+ 0 = О определяет плоскость, параллельную оси Оу (ибо этой оси перпендикулярен нормальный вектор п = (А, О, С) ) . 4) С= О, уравнение Ах+ Ву+ 0 = О определяет плоскость, параллельную оси Ог (ибо этой оси перпендикулярен нормальный вектор п =(А, В, О)) .
5) А = О, В = О, уравнение Сг + Р = О определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Оху (ибо эта плоскость параллельна осям Ох н Оу). 6) А = О, С = О, уравнение Ву+ 0 = О определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Охг (ибо эта плоскость параллельна осям Ох и Ог). 7) В = О, С =О, уравнение Ах + 0 = О определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Оуг (ибо эта плоскость параллельна осям Оу и Ог). 8) А = О, В = О, Р = О, уравнение Сг = О определяет координатную плоскость Оху (нбо плоскость параллельна Оху и проходит через начало координат). РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ !29 9) А = О, С = О, 0 = О, уравнение Ву = О определяет координатную плоскость Охг (ибо плоскость параллельна Охг и проходит через начало координат).
1О) В = О, С = О, В =О, уравнение Ах = О определяет координатную плоскость Оух (нбо плоскость параллельна Оух и проходит через начало координат). Рассмотрим теперь полное уравнение плоскости (5.31) и покажем, что оио может быть приведено к следующему виду: — + — + — =1 х р 2 а с (5.35) называемому уравнением илоскоста в отрезках. В самом деле, так как все коэффициенты А, В, С и В отличны от нуля, мы можем переписать уравнение (5.31) в виде ') Любые две пересепаюпгиеся плоскости образуют два угла, в сумме равиыл и. Нам достаточио определить одни пз этих углов. 9 Зэк НП и затем положить а= — В/А, Ь вЂ” В/В, с= —.О/С.
Заметим, что в уравнении «в отрезках» (5.35) числа а, Ь и с имеют простой геометрический смысл: они равны величинам отрезков, которые отсекает плоскость на л осях Ох, Оу и Ох соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат, см. рис. 5.8). Чтобы убедиться в этом, доста- !!л 'р точно найти точки пересечения плоскости, определяемой уравнением (5.35), с осями координат. Например, точка пересечения с осью Ох определится из совместного рассмотрения уравнения плоскости (5.35) с Рис.
б.а уравнениями у =О и г = О оси Ох. Мы получим координаты точки пересечения х= а, р = О, х = О. Аналогично устанавливается, что координаты точки пересечения плоскости (5.35) с осью Оу равны х = О, у = Ь, х = О и с осью Ох равны х = О, у О, х = с. 3. Угол между двумя плоскостямн. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Пусть две плоскости а! и нз заданы общими уравнениями А!х + В!р+ С!х+ О! = О и Азх+ + Вэу+ Сэх+ Вэ = О. Очевидно, вопрос об определении угла между указанными плоскостями сводится к определению угла <р между их нормальными векторамн п! = (А»В!, С!) и пз = =(А„В„Сз) *). Из определения скалярного произведения п!пз =1п!11пэ1соз !р н нз выражения в координатах длин векторов п! н пэ и их 130 линеиныв оввазы !Гл. б скалярного произведения, получим ЯзАз+ В~Вз+ СзСз соз ср— ~А +мС~~ ~Я+В +С Итак, угол ~р между плоскостями и, и пз определяется с помощью формулы (5.36).
Условие лараллельности плоскостей пз и пз, эквивалентное условию коллинеарности векторов п~ и пз, заключается в пропорциопальности координат этих векторов, т. е. имеет вид') Аз В, С~ Аз Вз Сз (5.37) (5.36) 4 . Уравнение плоскости, проходящей через трн различные точки, не лежащие на одной прямой. Поставим перед собой цель — вывести уравнение плоскости, проходящей через три различные точки М1 (хь уь г~), Мз(хь уз, гз) и Мз(хз Уз, хз), не ле жащие на одной прямой. Так как указанные три точки не лежат на одной прямой, векторы МзМз=(хз — хьуз — уьгз — «1) и МгМз =(хз — хь уз — уь гз — гз) не коллинеарны, а поэтому точка М(х, у, г) лежит в одной плоскости с точками Мь Мз и Мз тогда и только тогда, когда векторы М,Мз, МзМз и М~М = =(х — хь у — уь г — г~) комнланарны, т. е.
тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих трех векторов равно нулю (см. главу 2, 9 3, п. 4). Используя выражение смешанного произведения в координатах, мы получим необходимое и достаточное условие принадлежности М(х, у, г) к указанной плоскости в виде (см. главу 2, з 3, п. 7) х †, у-у, х — г, хз — х! уз — уз гз — «1 = О. (5.39) «з — х~ уз — у~ гз — г, Уравнение первой степени (5.39) н является уравнением искомой плоскости.
5. Нормированное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости, Рассмотрим какую угодно плоскость и. Проведем :ерез начало координат О прямую и, перпендикулярную пло.кости и, н обозначим буквой Р точку пересечения прямой н и ') Прв этом, как в всюду выше, мы вовнмаем вснкую вроворцвю и/Ь сМ в смысле равенства оа = Ьс. Условие перпендикулярности плоскостей пз и пз может быть извлечено из формулы (5.36) (при саксу=О) или выражено равенством нулю скалярного произведения векторов пз и пз.
Оно имеет вид А,Яз+ В,дз+ С,Сз-О. (5.38) % а! РАзличные Виды уРАВнения плоскостн !з! плоскости и (рнс. 5.9). На прямой и возьмем единичный вектор и, направление которого совпадает с направлением отрезка ОР (в случае совпадения точек О н Р направление и выберем пронзвольно). Поставим перед собой цель в выразить уравненне плоскости и через следующне параметры: 1) длину р отрезка ОР, 2) углы а, () и т наклона вектора п к осям Ох, Оу н г Ог соответственно. Так как и — единичный вектор, то его ко- й ордниаты, соответственно равные его проек. цням на осн координат, имеют вид*) и=(сова, созй, сову).
(5.40) Очевидно, точка М(х, у, г) лежит на рассматриваемой плоскости и тогда и только то- Рнс. 9.9 гда, когда проекция вектора ОМ на ось, определяемую вектором и, равна р, т. е. при условии пр„ОМ = р. (5.41) Так как п — единнчный вектор, то в силу определения 2 скалярного пронзведення (см. п. 1 й 2 главы 2) пр„ОМ = и ОМ. (5.42) Имея в виду, что ОМ =(х, у, г), а вектор и определяется равенством (5.40), мы получим следующее выражение для скалярного пронзведення этих векторов: и ОМ=хсоза+усов 5+асану.
(5.43) Из сопоставления (5.41), (5.42) и (5.43) вытекает, что точка М(х, у, х) лежит на плоскости и тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению хсоза+усозр+хсозт — р О. (5.44) (5.44) и есть искомое уравнение плоскости и, выраженное через параметры р, а, р н т. Это уравнение называется нормированным уравнением плоскости. Введем теперь фундаментальное понятие отклонения произвольной точки М от данной плоскости и.
Пусть число и' обозначает расстояние от точки М до плоскости н. Назовем отклонением б точки М от плоскости н число +а в случае, когда точка М и начало координат О лежат по ') В снят того, что ароекннн вектора на любую ось Равна модулю етого вектора, умноженному на косннус угла наклона к осн (см. и. а $ ! главы 2). ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ 1гл ° з — 1 1 ч/А*+ В1+ С~ (5.48) Остается уточнить, какой из знаков ~ следует взять в формуле (5.48).
Так как по смыслу расстояние р всегда неотрнца- разные стороны от плоскости и, и число — д в случае, когда М и О лежат по одну сторону от я. Если же начало координат О лежит на плоскости я, положим отклонение равным +д в случае, когда М лежит по ту сторону от я, куда направлен вектор и, и равным — д в противном случае, Имеет место следующее важное утверждение. Теорема 5.3. Левая часть нормированного уравнения плоскости (5,44) равна отклонению точки М с координатами х, у, х от плоскости я, определяемой уравнением (5.44).
Доказательство. Спроектируем точку М на ось, определяемую вектором и. Пусть О в проекция точки М (рнс. 5.9). Отклонение б точки М от плоскости Й равно РО, где РЯ обозначает величину направленного отрезка РО оси, определяемой вектором и. Далее, из основного тождества (см. главу 1) очевидно (см. рис. 5.9), что Ь = РО = ОΠ— ОР = ОΠ— р. (5.45) Но ОА) = пр„ОМ, а последняя проекция в силу формул (5.42) и (543) равна хсоза+усозб+ есозт. Итак, ОЯ = х соз а + у соз 5 + х соз у. (5.46) Сопоставляя формулы (5.45) и (5.46), получим б =хсоза+ +усозб+хсозт — р. Теорема доказана. Теорема 5.3 приводит нас к следующему п р а в илу: для нахождения отклонения б точки Мь(хыуь,хр) от плоскости и следует в левую часть нормированного уравнения плоскости я подставить на место х, у и х координаты хь, уь и хь точки Мо. Разумеется, это правило позволяет отыскивать и расстояние от точки М до плоскости и, ибо расстояние равно модулю отклонения.
В заключение укажем алгоритм приведения общего уравнения плоскости (5.31) к нормированному виду (5А4). Так как указанное общее уравнение и уравнение (5А4) должны определять одну и ту же плоскость, то (в силу замечания в конце п. 1 этого параграфа) найдется число ! такое, что гА = соз а, гВ = соз б, гС = соз у, !О = — р. (5.47) Возвышая в квадрат первые три равенства (5.47), складывая их и учитывая, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице (см. п. 9 9 1 главы 2), получим Р(А'-1-В'+ + Сз) = 1, откуда РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ 133 тельно, то нз последнего равенства (5.47) заключаем, что знак 1 иротивоиоложен знаку Р. Итак, для приведения обгцего уравнения плоскости Ах+ + Ву+ СЕ+ Р = 0 к нормированному виду (5.44) следует умножить его на нормирующий множитель (5.48), знак которого противоположен знаку Р. 6. Пучки и связки плоскостей. Совокупность всех илоскостей, проходящих через одну и ту же прямую Ь, называется пучкомм плоскостей (с центром в Ь).
В полной аналогии с теоремой 5.2, относящейся к пучку прямых. доказывается следующее утверждение: Если А,х+ В,у+ С~г+Р1 — — 0 и Аох+ Воу+ Сох+ Ро — — 0 суть уравнения двух различных и не параллельных плоскостей, пересечением которых служит некоторая прямая Ь, а а и й— какие угодно не равные одновременно нулю числа, то а(А х+ В у+ С г+ Р ) + 6 (Аох + Воу+ Сох+ Р ) = 0 (5 49) есть уравнение плоскости, проходящей через прямую Ь. Более того, какова бы ни была наперед заданная проходящая через прямую Е илоскость, она оиределяется уравнением (5.49) ири некоторых и и 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
