В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 30
Текст из файла (страница 30)
6.1 дает читателю наглядное представление о форме рассматриваемых линий. В этом параграфе даются специальные определения эллипса, гиперболы и параболы, основанные на их фокальных свойствах, и выводятся так называемые канонические уравнения этих кривых. Ниже, в п.
4 $ 3, будет установлена равносиль- 144 линии ВТОРОГО ПОРяДкА [ГЛ.Е ность этих специальных определений и определений эллипса, гиперболы и параболы как конических сечений. 1. Эллипс. Определение. Э л л ил с о м называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух гуерайела е) Лвгапс а) Гиверйела ф Рнс. б.1 ') Есдк М вЂ” точка зппнпса (см. рнс. б 2). то (МРг) + )МРз) = 2п, а так как сумма двук сторон МР~ н МРз треугоаьнкка МР~Рз больше третьей стпрпнм Р~Рз = 2с, то 2п ~ 2с Случай 2п = 2с естественно пскяючпть, так как тогда точка М располагается на отрезке Р,Рз н зплнпс вмрпждаетсн в отрезок. фиксированных точек Р[ и Р, этой плоскости, называемых фок у си м и, есть величина постоянная *). При этом ие исключается совпадение фокусов эллипса.
Очевидно, если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность. Для вывода канонического уравнения эллипса выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка Ргрз, а оси Ох и Оу направим так, как ука- У ЯгГе,у) зано на рис. 6.2 (еслн фокусы Р[ и Рз г) совпадают, то О совпадает с Р[ и Рз, а за ось Ох можно взять любую ось, проходящую через О). б[бщ в Ыса х Пусть длина отрезка Р,Рз равна 2с. Тогда в выбранной системе коорРас.
б.2 динат точки Р, и Рз соответственно имеют координаты ( — с,0) и (с,0). Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении эллипса. Очевидно, 2а) 2с, т. е. а) с. Пусть М— точка плоскости с координатами (х,у) (рис. 6.2). Обозначим через гг и гз расстояния от точки М до точек Рг и Рз соответ- КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 146 ственно. Согласно определению эллипса равенство г,+88 —— 2а (6.1) является необходимым и достаточным условием расположения точки М(х, у) на данном эллипсе. Используя формулу расстояния между двумя точками (см.
формулу (!.8) п. 2, $ 3 главы !), получим г~ = 1/(х+ с)8 + уа, гэ = 1/(х — с)8 + уэ ° (62) Из (6.1) н (6.2) вытекает, что соотношение ~Л е г.~и'-ьчт:с*+г*=~ (6.3) представляет собой необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данном эллипсе, Поэтому соотиошенне (6.3) можно рассматривать как уравнение эллипса. Путем стандартного приема «уннчтоження радикалов» это уравнение приводится к внду ла уа ат + ьт (6.4) где ба = а' — с"). (6.6) с с г,=а+ — х, г,=а — — х, и ' 8 и (6.6) * Напомним, что и ° с, н поэтому па — с' ) О.
Поскольку 1л! < и н с)п ( 1. Заметам, что неравенство 1л! ( а °:1 непосредственно вмтенает нэ уравненнп (64), на которого ясно, что к9пааа1. 10 Зак.!68 Так как уравнение (6.4) представляет собой алгебраическое 'следствие уравнения эллипса (6.3), то координаты х н у любой точки М эллипса будут удовлетворять и уравнению (6.4). Поскольку прн алгебраических преобразованиях, связанных с избавлением от раднкалов, могли появиться «лишние корни», мы должны убедиться в том, что любая точка М, коордннаты которой удовлетворяют уравнению (6.4), располагается на данном эллипсе. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что величины г1 н га для каждой точки удовлетворяют соотношению (6.1). Итак, пусть координаты х н у точки М удовлетворяют уравнению (6.4). Подставляя значение у' нз (6.4) в правую часть выражения (6.2) для гь после несложных преобразовас ннй найдем,что г, чу ~а+ — х) .
Так как а+ — х > О ае), то с с г, а+ —, х. Совершенно аналогично найдем, что г, =а — — х, Таким образом, для рассматриваемой точки М ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. Е является нгобходимыл» и достаточным условием расположения точки М на данной гиперболе. Используя выражения (6.2) для Г» и Г, и соотношение (6.7), получим следующее необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данной гиперболе: ) ~»» +т»' тут~ — ~»»* — т» т у~ ~ »а»6.8» Используя стандартный прием «уничтожения радикалов», приведем уравнение (6.8) к виду лз рз — ь =1 о (6.9) ') Фокусы Р» п Рз гиперболы естественно считать различиыми, ибо если указанная з определении гиперболы постоянная пе равна кулю, то кет ии одиой точяп плоскости при созпадеипи Р, к Рз, которая бы удоилетзоряла требоеаииям определекия гиперболы.
Если же зта постоянная равна пулю и Р» совпадает с Рз, то любая точка плоскости удозлетаоряет требованиям определения гяперболы. ее) Если М вЂ” точка гиперболы, то (МР»! — »МР»! 2п, а так как разность дауа сторои МР» и МРз треугоаьпкка Млл меньше третьей стороиы Р»Рз ее 2с, то 2п .» 2с. Случай 2п 2с естестаепио исключить, так как тогда точка М располагаегся иа прямой Р»Рз зке отрезка Р»Рз и гипербола вырождается и даа луча.
т. е. Г»+ гз = 2а, и поэтому точка М располагается на эллипсе. Уравнение (6.4) называется каноническим уравнением эллипса. Величины а и Ь называются соответственно большой и малой полуосями эллипса (наименование «большая» н «малая» объясняется тем, что а ) Ь). Замечание. Если полуоси эллипса а и Ь равны, то эллипс представляет собой окружность, радиус которой равен 1»' = а = Ь, а центр совпадает с началом координат. 2, Гипербола. Определение. Гипс р б о лай называется геометрическое место точек плоскости, для которой абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек Р» и Р, этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная е). Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем начало координат в середине отрезка Р»Рз, а осн Ох и Оу направим так, как указано на рис.
6.2. Пусть длина отрезка Р»Рз равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки Р» и Рз соответственно имеют координаты ( — с, 0) и (с, О). Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении гиперболы. Очевидно, 2а С 2с, т. е. а с. с '*). Пусть М вЂ точ плоскости с координатами (х, у) (рис.
6.2). Обозначим через Г» и Гз расстояния МР» и МРз. Согласно определению гиперболы равенство ~㻠— Гз!=2а (6.7) КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Ит где Мы долмгны убедиться в том, что уравнение (6.9), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (6.8), ие приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (6.9), величины г~ и гт удовлетворяют соотношению (6.7).
Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формул (6.6), найдем для интересующих нас величин г~ и гз следующие выражения *): — а+ — 'х при х>0, ге= с а — — х при х< 0. О (6.11) а+ — 'х при х>0, — а — -'х при х < О, «) Прн этом мы должны учесть, что 1х1 ) и я с/а ) 1, Заметим, что верзвенство )х)) и непосредственно вытекает иэ урзвпеиия (б.й). «) Слово директриса оэннчзет нвлравииощая "*) Естествеяно счнтзть, что фокус Р яе лежит нв днректрксе, ибо в протязном слтчзе точки плоскости, ллн которых были бы выполнены условия определеяия параболы, располагались нз прямой, проходнпгей через Р перпендикулярно днректрйсе, т, е.
пнрзбола выродилнсь бы в прямую. Таким образом, для рассматриваемой точки М имеем )гг — гт) = = 2а, и поэтому она располагается на гиперболе. Уравнение (6.9) называется каноническим уравнением гиперболы. Величины а и Ь называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. 3. Парабола. Определение. П а р а б о л о й называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки Р этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости. Указанная в определении точка Р называется фокусом параболы, а фиксированная прямая — директрисой ««) параболы. Для вывода канонического уравнения параболы выберем начало О декартовой системы координат в середние отрезка РО, представляющего собой перпендикуляр, опущенный из фокуса Р на директрису «**), а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис.
6.3. Пусть длина отрезка РР равна р. Тогда в выбранной системе координат точка Р имеет координаты (р/2,0). Пусть М вЂ” точка плоскости с координатамн (х, у). Обозначим через г расстояние от М до Р, а через й — расстоя- ЛНННИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1Гл е 148 ние от М до директрисы (рис. 6.3). Согласно определению параболы равенство г= а (6.12) является необходимым и достаточным условием расположения точки М на данной параболе.
Так как (6.13) то, согласно (6.12), соотношение (х — р2 ) + у' = — "+ х / ~ ' и (6.14) представляет собой необходимое и достаточное условие расположения гочки М с координатами х и у на данной параболе. Поэтому соотношение (6.14) можно рассматривать как уравнение параболы. Путем стандартного приема «уннчтожения радикалов» это уравнение приводится к виду уа 2рх, (6.15) ч) Эта формула верна лишь для точек с неотрицательными абсцисс»- ми л. Лля точек с отрицательными абсциссамн, как легко видеть, аыполняется соотношение г ) о, я поатому таяне точки можно исключить иа рассмотрения. Убедимся в том, что уравнение (6.15), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (6.14), не приобрело новых корней.
Для Рис. 6.3 этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х н у которой удовлетворяют уравнению (6.15), величины г и й равны (выполнено соотношение (6.12) ). Из соотношения (6.15) вытекает, что абсциссы х рассматриваемых точек неотрицательны, т. е. х ) О. Для точек с неотрицательными абсциссами й = р + х. Найдем теперь выражение 2 для расстояния г от точки М до Р. Подставляя у' из выражения (6.15) в правую часть выражения для г (6.13) н учитывая, что х~~ О, найдем, что г= 2 +х..Таким образом, для рассматриваемых точек г = а, т. е. онн располагаются иа параболе.
Уравнение (6.15) называется каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром парабольь Ь 21 ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАВОЛЫ 149 5 2. Исследование формы эллипса, гиперболы н параболы по их каноническим уравнениям Мы уже имеем наглядное представление о форме эллипса, гиперболы и параболы (рис. 6.1). Исследование канонических уравнений этих линий позволяет выяснить свойства, более точно характеризующие их форму. 1.
Исследование формы эллипса. Для удобства запишем еще раз каноническое уравнение эллипса (6.4): л' ~уа и (6.4) ') Еслн зллнпс представляет собой окружность, то любая прямая, прохо. дяпГая через центр окружности, является осью снмметрнн. Отметки, что центром зллнпса является точка пересечения главных осей. При этом будем считать а ) Ь.
1'. Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные Оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса)'). Действительно, в уравнении (6.4) величины х и у фигурируют в четных степенях. Следовательно, если координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (6.4) (т. е. точка М располагается иа эллипсе), то этому уравнению удовлетворяют координаты ( — х„у) и ф (х,— у) симметричных ей точек относительно осей координат н координаты ( — х, — у) точки, симметричной М относительно начала координат (рис. 6.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
