В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Так как мы ищем условия, при которых точка пересечения только одна, то необходимо предполагать, что из трех данных прямых какие-нибудь две прямые пересекаются в одной точке (ибо в противном случае у трех прямых либо вовсе ие будет точек пересечения, либо будет их бесконечно много). Таким образом, необходимо требовать, чтобы из трех определителей второго порядка )л' и'~ и )я в ! (5.28) хотя бы один был отличен от нуля. Ради определенности предположим, что первые две из указанных трех прямых пересекаются в одной точке (т. е. предположим, что отличен от нуля первый из определителей (5.28)). Тогда, для того чтобы три прямые пересекалнсь в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы третья прямая Азх+ В,у+ + Сз — — О принадлежала пучку, образованному первымн двумя прямыми а(А,х+ В,у+ С,) + Р (Азх+ Взу+ Сз) О.
В силу замечания в конце п. 1 э 1 найдется некоторое число (обозначим его — у) такое, что все коэффициенты последнего уравнения равны соответствующим коэффициентам уравнения Азх+ Взу+ Сз — — О, умноженным на это число, т. е. аА, + ([Аз= — уАз, аА[+ 5Аз+уАз — — О, аВ, + 8Вз= — уВз, нлн аВ, + 5Вз+ уВз — — О, аС, + ([С = — уСз, С, + ()Сз+ уС,=О. Ф З1 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ ЛИНИЮ НА ПЛОСКОСТИ 1ЗЗ П оследние равенства представляют собой однородную систему трех уравнений относительно трех неизвестных а, 5 и т. Так как образующие пучок коэффициенты а и 8 не равны нулю одновременно, то указанная система обязана иметь нетривиальное решение, для чего необходимо и достаточно (см.
Дополнение к главе 1, п. 8), чтобы определитель этой системы Аз Аг Аз 1 ~ Я~ Вз Сз Вз Вз Вз Аз Вг Сг (5.29) С, С С А, В, С был равен нулю. Итак, для того чтобьз три прямые, определяемые уравнениями Азх + Взу + Сз = О, Азх + Взу + Сз = 0 и Азх + Взу + Сз = О, пересекались в одной и только в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль определйтель (5.29) и был отличен от нуля хотя бы один из определителей (5.28), Мы пришли к этому утверждению, предположив, что первые две из указанных трех прямых пересекаются в одной точке. К этому же результату приводит и предположение о том, что пересекаются в одной точке любые другие две из указанных трех прямых (впрочем, последнее ясно из соображений симметрии).
6. Нахождение прямой, проходящей через точку пересечения двух данных прямых и удовлетворяющей еще одному условию. Пусть требуется найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения двух неколлинеарных ') прямых, определяемых уравнениями Азх+ Взу+ Сг = 0 и Азх+ Взу+ Сз — — О, и, ироме того, удовлетворяющей одному из следующих трех условий: а) отсекающей на осях отрезки равной длины; б) параллельной заданной прямой Азх + В,у + Сз —— 0; в) перпендикулярной заданной прямой Азх+ Взу+ Сз = О.
Искомая прямая принадлежит пучку а(Ах+ В у+ Сг)+ 8(Азх+ Ву+Сз)=0. (530) Для определения постоянных а и (з (а точнее, их отношения) будем использовать дополнительное условие. В случае а) мы должны собрать в (5.30) коэффициенты при х и у и приравнять друг другу м о дул и этих коэффициентов (мы приравниваем друг друг не сами коэффициенты при х и у, а их модули, так как требуется, чтобы отсекаемые иа осях отрезки имели рави ю длину, а не величину).
В результате получим уравнение 1сзАз+ 5Аз ~=1()Вз+ аВз ~ или а(Аз -з- Вг) = = — 5(Аз ч- Вз). Заметим, что обе круглые скобки обратиться в нуль не могут (так как прямые Азх+ Взу+ Сз =0 и Азх+ + Взу+ Сз=О ие коллннеариы), и, стало быть, из последнего ') Прямые называются леколлнлелрлымн, еслн онн не параллельны н не совпалают. 1зв ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ ~гл. з равенства, задавая произвольно один из коэффициентов а н (1, мы найдем другой из этих коэффициентов. В случае б) учтем, что у двух параллельных прямых коэф- фициенты при х н у пропорциональны (см. $1, п. 6, условие (5.13) ). Таким образом, мы получим аА, + йАз ап, + Рлз А.
В, нли а(А,ВЗ вЂ” В,АЗ) = 5 (ВААз АЗВз). Заметим, что в последнем равенстве обе круглые скобки не мо- 7 т обратиться в нуль (иначе бы прямые Азх+ В1у+ Сз =0 и Ах+ Взу+ Сг=О оказались коллинеарными), и поэтому из последнего равенства, задавая произвольно один из коэффициентов а и 5, мы найдем другой из этих коэффициентов. В случае в) используем для прямой (5.30) и прямой Азх+ + В,у +- С, = 0 условие перпендикулярности (5.14) (см. 3 1, п. 6). В результате получим (аА, + 5АЗ)Аз+(аВ1+()Вз)ВЗ вЂ”вЂ” -0 или а(А~АЗ+В1Вз) = — (1(АЗАз+ ВЗВз). Заметим, что обращение в нуль обеих круглых скобок последнего равенства невозможно (иначе мы получили бы, что — = — и прямые Азх+ А~ Аз в, в + В1у + Сз — — 0 и Азх + Взу + Сз = 0 коллинеарны).
Таким образом, задавая в указанном равенстве произвольно один из коэффициентов а и (), мы определим нз него другой из этих коэффициентов. й 3. Различные виды уравнения плоскости 1. Общее уравнение плоскости. Содержание этого пункта полностью аналогично содержанию и. 1 $ !. Мы докажем два утвеьождення.
1. Если в пространстве задана произвольная плоскость и и фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Охуг, то плоскость п определяется в этой системе уравнением первой степени. 2'. Если в пространстве фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Охуг, то всякое уравнение первой степени с тремя переменными х, у и г определяет относительно этой системы плоскость. Для доказательства первого утверждения достаточно установить, что плоскость и определяется уравнением первой степени при каком-то одном специальном выборе декартовой прямоугольной системы, ибо тогда она определяется уравнением первой степени н при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы (в силу теоремы 4.2).
Расположим оси Ох и Оу в плоскости п, а ось Ог направим перпендикулярно этой плоскости. Тогда уравнением плоскости и будет уравнение первой %з1 разлнчиыв виды врдвнания плоскости 127 степени к =О. В самом деле, этому уравнению будут удовлетворять координаты любой точки, лежащей на плоскости п, и не будут удовлетворять координаты ни одной точки, не лежащей на плоскости и. Утверждение 1' доказано. Для доказательства утверждения.2' фиксируем произвольную декартову прямоугольную систему Охуг н рассмотрим произвольное уравнение первой степени Ах+ Ву+ Са+ О = О, (5.31) в котором А, В, С и Π— какие угодно постоянные, причем из постоянных А, В и С хотя бы одна отлична от нуля. Уравнение (5.31) заведомо имеет хотя бы одно решение хо, уо, ко*), т.
е. существует хотя бы одна точка Мо(хо, уо,хо), коордйнаты которой удовлетворяют уравнению (5.31): Ахо+Вуо+Сзо+ 0=0. (5.32) Вычитая из уравнения (5.31) тождество (5.32), получим уравнение А (х — х,) + В (у — у,) + С(х — х,) = О, (5.33) эквивалентное уравнению (5.31). Достаточно доказать, что уравнение (5.33) определяет относительно системы Охух некоторую плоскость. Мы докажем, что уравнение (5.33) (а стало быть, и уравнение (5.31)) определяет плоскость п, прокодящую через точку Мо(ко,уо,хо) и перпендикулярную вектору п=(А,В,С) (так как хотя бы одна из постоянных А, В и С не равна нулю, то вектор п ненулевой).
В самом деле, если точка М(х, у, х) лежит на указанной плоскости и, то ее координаты удовлетворяют уравнению (5.33), ибо в этом случае векторы п =(А, В, С) и МоМ (х — кы у †, х — ко) ортогональны и их скалярное произведение А(х — хо)+ В(у — уо) + С(х — хо) (5.34) равно нулю. Если же точка М(х,у, к) не лежит на указанной плоскости и, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (5.33), ибо в этом случае векторы и и МоМ не ортогональиы и поэтому их скалярное произведение (5.34) ие равно нулю. Утверждение 2 доказано. Уравнение (5.31) с произвольными коэффициентами А, В, С и 0 такими, что из коэффициентов А, В и С котя бы один отличен ог нуля, называется общим уравнением плоскости. ) В самом деле, хотя бы одна ю постоянных А, В, С отлична от нуля. Пусть, например, С чь О.
Тогда, взяв произвольные хв н уь получям из урав- А В пения !5.3!) гв — — хо — — Ыо С С ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ [Гл .з Мы доказали, что плоскость, определяемая общим уравнением (5.31), ортогональна к вектору п =(А, В, С). Этот последний вектор мы будем называть нормальным вектором плоскости (5.31). Заметим, что если два общих уравнения Ах+Ву+Сг+0=0, Ах+Ву+Се+0,=0 определяют одну и ту же плоскость, то найдется такое число [, что справедливы равенства А,=А[, В[=В[, С[ — — С[, Р,=ОС т. е.
коэффициенты А[, В[, С[ и Р1 второго уравнения равны соответсвующим коэффициентам А, В, С и Р первого уравнения, умноженным на некоторое число [. Доказательство этого утверждения вполне аналогично доказательству утверждения, содержащегося в замечании в конце п. 1 $1. Мы предоставляем читателю провести его самому. 2. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках. Общее уравнение плоскости (5.31) называетея полнымм, если все его коэффициенты А, В, С и Р отличны от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
