В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 40
Текст из файла (страница 40)
будут указаны методы выбора такого базиса г = (Гн Гз,..., Г„) в линейном пространстве Ь, по отношению к которому квадратичная форма представляется в следующем каноническом виде: А(х,х) = Л~Н1~ + Лзг1з + ... + Л„т1~, (7. 13) (т1И т1ш ..., гм) — координаты х в базисе 7, Коэффициенты (Лн Лш..., Л„) в выражении (7.13) называются каноническими коэффициентами. Подчеркнем, что мы рассматриваем квадратичные формы в произвольном вещественном линейном пространстве.
В 36 будут изучены квадратичные формы в евклидовом пространстве и будет доказана возможность приведения каждой квадратичной формы к каноническому виду даже в ортонормированном базисе. Исходя из результатов гл. 5, в том же 3 6 настоящей главы будет получено новое доказательство теоремы о приведении квадратичной формы к каноническому виду в произвольном (не обязательно евклидовом) вещественном линейном пространстве. Настоящий же параграф посвящен не только доказательству возможности приведения квадратичной формы к каноническому виду, но и описанию двух методов такого приведения, имеющих большую практическую ценность и широко встречающихся в приложениях.
Так как каждому преобразованию базиса отвечает невырожденное линейное преобразование координат, а невырожденному преобразованию координат — преобразование базиса, то вопрос о приведении формы к каноническому виду можно решать путем выбора соответствующего невырожденного преобразования координат. 1. Метод Лагранжа. Докажем следующую теорему.
Теорема 7.3. Любая квадратичная форма А(х, х), заданная в п-мерном линеином пространстве Ь, с помощью невырожденного линейного преобразования координат может быть приведена к каноническому виду (7.13). Доказательство. Проведем доказательство теоремы методом Лагранжа. Основная идея этого метода заключается в последовательном дополнении квадратного трехчлена по каждому аргументу до полного квадрата. Будем считать, что А(х, х) ф О ') и в данном базисе е = (ен еа,..., е„) имеет вид А(х, х) = ~ а,,с,су (7.
14) ьу=! ') Если форма А(х, х) = =О, то ее матрица в любом базисе состоит из нулевых элементов, и поэтому такая форма по определению имеет канонический вид. !85 пРиВедение квядРАтичной ФОРмы Убедимся, во-первых, что с помощью невырожденного преобразования координат форму А(х, х) можно преобразовать так, что коэффициент при квадрате первой координаты вектора х будет отличен от нуля. Если в данном базисе этот коэффициент отличен от нуля, то нужное невырожденное преобразование является тождественным. В случае, если а11 = О, но отличен от нуля коэффициент при квадрате какой-либо другой координаты, то с помощью перенумерации базисных векторов можно добиться требуемого результата. Ясно, что перенумерация является невырожденным преобразованием. Если же все коэффициенты при квадратах координат равны нулю, то нужное преобразование можно получить следующим способом.
Пусть, например, агд ф О ') . Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат 2): ье! = ье! ье2 ьез = ье! + бз б1 = ч'„2' = 3, 4, ..., и. После этого преобразования коэффициент при б! будет равен 2аю и поэтому отличен от нуля. Итак, будем считать, что в соотношении (7.14) аи у': О. Выделим в выражении (7.14) ту группу слагаемых, которые содержат б!. Получим А(х, х) = анС!~+2адзб!82+... +2а!„б!бп+ 2' а, (зб . (7.15) Преобразуем выделенную группу слагаемых следующим образом: а!!б~!+ 2а!28!82+ ... +2а!„б!б„= ан ((! + ' 82+ ...
+ ' Е„)— ап а~~ 2 2 аы 2 а,„2 аыа|з а! — ~а1 — — бз —" — — "бя — 2 Ыз — .. — 2 ап ап " ап а|! Очевидно, выражение (7.15) можно теперь переписать так: з2 п А(х, х) = а!! (С! + -'-- 42 + ... + †'-"- С„) + 2 а,* С!чу, (7.1б) ап ап где а,'у — коэффициенты при б;(,, полученные после преобразования. Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат: 22! 41 + 42 + ° ° + сп 222 42 .
2!я = ся. а1~ ан С помощью этого преобразования и представления (7.1) для А(х, х) получим А(х, х) = аиуз!+ 2' а,* 22,22.. (7.17) ЕУ=2 ') Напомним, что А(х, х) ~ О, н поэтому хотя бы один коэффициент а„ отличен от нуля. ) Определитель матрицы этого преобразования равен 2, н поэтому зто преобразование незырожденное. (гл. 7 186 БилинеЙные и квлдРлтичные ФОРмы А(х, х) = Лгцг| + Лзцз + ... + Льць. (7. 18) Ясно, что к < и,.
Так как ранг квадратичной формы по определению равен рангу ее матрицы в любом базисе, то из (7.18) и условия Л, у'= 0 при 1 = 1, 2, ..., к вытекает, что ранг формы равен й. Таким образом, число отличн2ях от нуля канонических коэффициентов равно рангу квадратичной формы. 2. Метод Якоби. При некоторых дополнительных предположениях о квадратичной форме А(х, х) можно указать явные формулы перехода от данного базиса е = (ен ег,..., ев) к каноническому базису =- (тн 22, ..., Г„) и формулы двя канонических коэффициентов Л,. Предварительно мы введем понятие треугольного преобразования базисных векторов.
Преобразование базисных векторов ен ет, ..., е„называется треугольным, если оно имеет следующий вид: Г~ =ен 62 = а21е1 + е2, Гз = аз|е| + азте2 + ез, (7. 19) 1„= атме~ + а„зе2+... +е„. Итак, если форма А(х, х) ф- О, то с помощью невырожденного преобразования координат эту форму можно привести к виду (7.17). Обратимся теперь к квадратичной форме 2' аццьт17.
Если эта 2.1=2 форма тождественно равна нулю, то вопрос о приведении А(х, х) и к каноническому виду решен. Если же форма 2 а,*.ц;цт ф- О, то 2,1=2 мы можем повторить рассуждения, рассматривая преобразования координат цн ..,, ц„, аналогичные описанным выше, и не меняя при этом координату цн Очевидно, такого типа преобразования координат цн ц2,..., ц„будут невырожденными. Ясно, что за конечное число шагов мы приведем квадратичную форму А(х,х) к каноническому виду (7.13).
Отметим, что нужное преобразование исходных координат бн С2,... можно получить путем перемножения найденных в процессе рассуждений невырожденных преобразований. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется каноническим.
Отметим, что канонический базис определен неоднозначно. Замечание 2. Если форма А(х, х) приведена к каноническому виду (7.13), то, вообще говоря, не все канонические коэффициенты Л; отличны от нуля. Оставляя в (7.13) лишь отличные от нуля Л; и перенумеровывая их заново, получим следующее выражение для А(х, х); !87 пРиВедение квлдРлтичнои ФОРмы Замечание. Так как определитель матрицы треугольного преобразования (7.19) отличен от нуля (равен !), то векторы Гн Кз,..., Г„ образуют базис.
Введем в рассмотрение угловые миноры матрицы А(е) = (а; ) коэффициентов формы А(х, х) в базисе е, обозначив их символа- МИ съы ЬЗ,..., Ь~ — !. а~1 ... ае„ а — 11 а — Š— ! (7.20) Справедливо следующее утверждение. Теорема 7.4. Пусть миноры Ьп гзз,..., гл„матрицы (а0) квадратичной формы А(х, х) отличны от нуля. Тогда существует единственное треугольное преобразование базисных векторов еи ез, ... ..., е„, с помощью которого форму А(х, х) можно привести к каконическому виду. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Напомним, что коэффициенты Ь; формы А(х, х) в базисе тп Гз, ..., Гь вычисляются по формулам ЬН = = А(Г„Г,). Если форма А(х, х) в базисе гы гз,..., Г„имеет канонический вид, то ЬО = 0 при ! ф уй Поэтому для доказательства теоремы достаточно построить с помощью треугольного преобразования (7.!9) такой базис тп тз, ..., Г„, в котором будут выполняться соотношения А(гг, Гу) = 0 при г ф у', или, что то же, при ! < у (7.2!) (при этом, конечно, надо убедиться, что искомое преобразование единственно). Если обратиться к формулам (7.!9) для га то, используя линейное свойство квадратичной формы А(х,х) по каждому аргументу, легко заметить, что соотношения (7.2!) будут выполнены, если будут выполнены соотношения ') А(ен Ху) = О, А(ез, Гу) = О, ..., А(е н Гу) = О, у = 2, 3, ..., и.
(7.22) Запишем формулы (7.22) в развернутом виде. Для этого подставим в левые части этих формул выражение Г =а !е1+а зез+...+а |е !+е (7.23) для Г из соотношений (7,19). Используя далее свойство линейности А(х, х) по каждому аргументу и обозначение А(ее е ) = аен получим в результате следующую линейную систему уравнений для неизвест- ') Нетрудно убедиться, что из соотношений (7.2!) следуют соотношения (7.22).
(гл. 7 !88 БилинеЙные и кВАДРАтичные ФОРмы ных коэффициентов а,еы гьэч а11 + о уз а ш + ... + о |а1 1 + вы — — О (7.24) а ~а ~ !+апа. ~з+...+а 1а ~ 1+а, 1 — — О. Определитель этой системы равен Ь, ы По условию Ьз 1 ф О. Следовательно, система (7.24) имеет единственное решение. Таким образом, можно построить единственное треугольное преобразование базисных векторов, с помогцью которого форма А(х,х) приводится к каноническому виду. Теорема доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
