В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Приведем формулы, по которым можно вычислить коэффициенты а, искомого треугольного преобразования, и формулы для канонических коэффициентов Л . Обозначим символом Ьз !, минор матрицы (аб), расположенный на пересечении строк этой матрицы с номерами 1, 2,..., у — 1 и столбцов с номерами 1, 2, ..., ! — 1, 1+ 1,..., ~. Тогда, обращаясь к системе (7.24) и используя формулы Крамера, получим следующее выражение для гты.' он = ( — 1)УФ! (7.25) тх, ) Займемся вычислением канонических коэффициентов Л .. Так как Л = 6.. = А(Г., Г.), то из выражения (7.23) для Г.
и формул (7.22) получаем Л, = А(У,, Е,) = А (сг,че1 + аузез + ... + ОФ, 1е, 1+ е,, Гу) = = А(еги Гу) = А (еги ст,че1+ а зев+.,. + а,, ~е, ~ + е ) = =а !аО+оуааа +...+а 1а 1 +а,, Подставляя выражение (7.25) для а,ч в правую часть последнего соот- ношения, найдем Л = (( — 1)У+'аОЬу 11+ ( — !)'+ аг,тЛу 1 а+ .. ..+( — !) у а 1эЬ ~ у 1+аттЬу !)тх Числитель последнего соотношения представляет собой сумму произведений элементов строки с номером у' в определителе Ьу на алгебраические дополнения этих элементов в указанном определителе. Следовательно, этот числитель равен Ь,. Поэтому Л, = ' , у = 2, 3, ..., и.
Так как Л1 = А(тн т1) = А(ен е1) = ан = тЛИ то отсюда и из (726) получаем следующие формулы для канонических коэффициентов: Л|=ЬИ Лз= — ', ..., Л„= " . (7.27) и !89 злкон инеРции квлдРлтичных ФОРМ ф 4. Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм А(х, х) = 2 а,,~Ду, ч. 1=1 (7.28) где сн са, ..., с„— координаты вектора х в базисе е. Допустим, что эта форма с помощью невырожденного преобразования координат приведена к каноническому виду А(х, х) = Л~!ь, + Лз1ь;+ ... + Ля!ьь, (7.29) причем Лн Лз,..., Ль — отличные от нуля канонические коэффициен- ты, занумерованные так, что первые 9 из этих коэффициентов положи- тельные, а следующие коэффициенты — отрицательные: л,>о, л,>о, ..., л,>о, л,,<о, ..., л,<о. Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат р; '): 1 1 л, рн '!а =,,л„ 1 ч1ч-Р~ = г — — !зч~-1 лг -л,.„ 1 1ьа ..
г!ч = — !ьч 1 г!ь = — !ьь, (7.30) Чь 1 = рье1 Чь = рь. В результате этого преобразования форма А(х, х) примет вид А(х, х) = ч1з~ + г!за + ... + г1~ ~— ч1~~ 1 — ... — пь, (7.31) называемый нормальным видом квадратичной формы. ') Легко видеть, что определитель этого преобразования отличен от нуля. 1. Закон инерции квадратичных форм.
Мы уже отмечали (см. замечание 2 п. 1 предыдущего параграфа), что ранг квадратичной формы равен числу отличных от нуля канонических коэффициентов. Таким образом, число отличных от нуля канонических коэффициентов не зависит от выбора невырожденного преобразования, с помощью которого форма А(х, х) приводится к каноническому виду. На самом деле при любом способе приведения формы А(х, х) к каноническому виду не меняется число положительных и отрицательных канонических коэффициентов. Это свойство называется законом инерции квадратичных форм. Прежде чем перейти к обоснованию закона инерции, сделаем некоторые замечания.
Пусть форма А(х,х) в базисе е = (е!, еа,..., е„) определяется матрицей А(е) = (вч ): (гл. 7 190 БилинеЙные и квлдРлтичные ФОРмы Итак, с помощью некоторого невырожденного преобразования координат Сн ба,..., б„вектора х в базисе е = (ен еэ, ..., е„) Чг = стг1б1 + сггачсз + ° + огггрп 1 = 1, 2,..., п, с(е$ (оы) г'= 0 (7.32) (это преобразование представляет собой произведение преобразований б в р и р в г1 по формулам (7.30)) квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду (7.31). Локажем следующее утверждение. Теорема 7.5 (закон инерции квадратичных форм).
Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами в нормальном виде квадратичной формьч не зависит от способа приведения формы к этому виду. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть форма А(х, х) с помощью невырожденного преобразования координат (7.32) приведена к нормальному виду (7.31) и с помощью другого невырожденного преобразования координат приведена к нормальному виду А(х, х) = ~1~ + (~~ +... + ~~~ — ~~~ „1 — ... — (ь~.
(7.33) Очевидно, для доказательства теоремы достаточно убедиться в справедливости равенства р = у. Пусть р > у. Убедимся, что в этом случае имеется ненулевой вектор х такой, что по отношению к базисам, в которых форма А(х,х) имеет вид (7.31) и (7.33), координаты г1Ы г1з, ..., т1ч и ~рэн..., г,„этого вектора равны нулю: г1г =О, г1а =О, ..., пд — — О, ~рш =О, ..., ~„=0. (7.34) Так как координаты пн получены путем невырожденного преобразования (7.32) координат (н ..., С„, а координаты ~, с помощью аналогичного невырожденного преобразования этих же координат ~н..., ~п, то соотношения (7.34) можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно координат бг, ..., б„искомого вектора х в базисе е = (ен ею ..., е„) (например, в развернутом виде соотношение пл = 0 имеет, согласно (7.32), вид о~|(~ + о~зба + ...
... + ощР„= 0). Так как р > д, то число однородных уравнений (7.34) меньше и, и поэтому система (7.34) имеет ненулевое решение относительно координат бн..., б„искомого вектора х. Следовательно, если р > г1, то существует ненулевой вектор х, для которого выполняются соотношения (7.34). Подсчитаем значение формы А(х, х) для этого вектора х. Обращаясь к соотношениям (7.31) и (7.33), получим А(х, ) = — ~~~~, — ... — ~~~ — — ~~~+(~а+ ... + ~~~.
Последнее равенство может иметь место лишь в случае г1чэ1 = ... = г1Л = 0 и (( = чэ = ... = чр — О. Таким образом, в некотором базисе все координаты ~н ~ю..., ~„ ненулевого вектора х равны нулю (см. последние равенства н соотношения (7.34)), т.е. вектор х равен нулю. Следовательно, предположе- !9! злкон инеРции квлдРлтичных ФОРМ ние р > д ведет к противоречию.
По аналогичным соображениям ведет к противоречию и предположение р < д. Итак, р = д. Теорема доказана. 2. Классификация квадратичных форм. В п. 1 92 этой главы (см. определение 2) были введены понятия положительно определенной, отрицательно определенной, знакопеременной н квазизнакоопределенной квадратичных форм. В этом пункте с помощью понятий индекса инерции, положительного и отрицательного индексов инерции квадрата формы мы укажем, каким образом можно выяснить принадлежность квадратичной формы к тому или иному из перечисленных выше типов. При этом индексом инерции квадратичной формы будем называть число отличных от нуля канонических коэффициентов этой формы (т.
е. ее ранг), положительным индексом инерции — число положительных канонических коэффициетов, отрицательным индексом инерции — число отрицательных канонических коэффициентов. Ясно, что сумма положительного и отрицательного индексов инерции равна индексу инерции. Итак, пусть индекс инерции, положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы А(х, х) соответственно равны 1с, р и д (к = р+ д).
В предыдущем пункте было доказано, что в любом каноническом базисе 7 = (Т!, Гю ..., Г„) эта форма может быть приведена к следующему нормальному виду: А(х, х) = п~! + г1~~ + ... + П~~ — г1~~ ! — ... — ггьь, (7.35) где г!!, г!ю..., г1„координаты вектора х в базисе 7 1'. 1геобходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы. Справедливо следующее утверждение. Для того члпобы квадратичная форма А(х, х), заданная в п-мерном линейном пространстве Т,, была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы либо положительнгяй индекс инерции р, либо отрицательный индекс инерции у бгял равен размерности п пространства Т. При этом, если р = и, то форма положительно определенная, если же д = п, то форма отрицательно определенная.
Доказательство. Так как случаи положительно определенной формы н отрицательно определенной формы рассматриваются аналогично, то доказательство утверждения проведем для положительно определенных форм. 1) Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть форма А(х, х) положительно определена. Тогда выражение (7.35) примет вид А(х, х) = г!! -!- цгз + ... + ц~. Если при этом р < и, то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами пл =О, па=О, ..., п„=О, и„+, ~О, ..., И„~О (гл. 7 192 БилинеЙные и квлдРлтичные ФОРмы форма А(х, х) обращается в нуль, а это противоречит определе- нию положительно определенной квадратичной формы. Следовательно, р = и.
2) Достаточность. Пусть р = п. Тогда соотношение (7.35) имеет вид А(х, х) = г!~~ + г!з~ + ... + г!р. Ясно, что А(х, х) > О, причем, если А = О, то гп = цз = ... = уп = О, т. е. вектор х нулевой. Следовательно, А(х, х) — положительно определенная форма. 3 а м е ч а н и е. Для выяснения вопроса о знакоопределенности квад- ратичной формы с помощью указанного признака мы должны привести эту форму к каноническому виду. В следующем пункте мы докажем критерий Сильвестра знако- определенности квадратичной формы, с помощью которого можно вы- яснить вопрос о знакоопределенности формы, заданной в любом базисе без приведения к каноническому виду.
2'. Необходимое и достаточное условие знакопеременноети квадратичной формы. Докажем следующее утверждение. Для того чтобы квадрати тая форма была зчакопеременной, необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и от- рицательньш' индексы инерции этой формы бгяли отличньг от нуля. Доказательство. !) Необходимость. Так как знакопере- менная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, то ее представление (7.35) в нормальном виде должно со- держать как положительные, так и отрицательные слагаемые (в про- тивном случае эта форма принимала бы либо неотрицательные, либо неположительные значения).
Следовательно, как положительный, так и отрицательный индексы инерции отличны от нуля. 2) Достаточность. Пусть р у': О и у ~ О. Тогда для векто- Ра хн с кооРдинатами г!1 У: О, ..., Ор ф О, г!РФ1 = О, ..., г!„= О имеем А(хн х|) > О, а для вектора хз с координатами г11 = О,... ..., г!р — — О, г!Рч1 ф О, ..., г!„~ О имеем А(хэ, ха) < О. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
