В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 39
Текст из файла (страница 39)
п. 1 99 гл.5). 2. Представление билинейной формы в конечномерном линейном пространстве. Пусть в и-мерном линейном пространстве 1, задана билинейная форма В(х, у). Выясним вопрос о представлении формы В(х, у) в случае, когда в 1 задан определенный базис е = = (е!, егь ..., еи). Справедливо следующее утверждение. Теорема 7.1. Билинейная форма В(х, у) при заданном в и-мерном линейном пространстве Б базисе е = (е!, ем..., еи) может быть однозначно представлена в следующем виде: (гл. 7 180 БилинеЙные и квлдРлтичные ФОРмы Ответ на этот вопрос следующий: любая квадратная матрица (6„) является в данном базисе е = (е!, ещ ..., е„) матрицвй некоторой билинейной формы. Убедимся в справедливости этого утверждения. Определим в линейном пространстве 5 с данным базисом е = = (е!, ез,..., е„) с помощью матрицы (Ь;,:) числовую функцию В(х, у) и и двух векторных аргументов х = 2 '5!е! н у = х ~' и;е, вида г=! з=! В(х, у) = 2 Ьггб!гй.
~.э=! Легко видеть, что эта функция удовлетворяет всем условиям определения билинейной формы. Но тогда, согласно теореме 7.1, элементы Ь;: заданной матрицы равны В(е„ е.), а написанная выше формула есть представление этой формы в виде (7.3). Согласно сделанному замечанию естественно называть представление (7.3) билинейной формы В(х, у) об!цим видом билинейной формы в и-мерном линейном пространстве.
Замечание 2. Если В(х, у) — симметричная (кососимметричная) билинейная форма, то матрица (7.5) этой формы в базисе е является симметричной (кососимметричной). Справедливо и обратное — если матрица (7.5) билинейной формы В(х, у) симметрична (кососимметрична), то и билинейная форма является симметричной (кососимметричной). Убедимся в справедливости этого замечания. Пусть В(х, у) — симметричная (кососимметричиая) билинейная форма.
Полагая в соотношениях (7.2) х = еи у = е, получим, согласно (7А), (7.6) (Ьг, = — Ь,;), Ьг, =6,! т.е. матрица (7.5) является симметричной (кососимметричной). Пусть теперь матрица (7.5) билинейной формы В(х, у) симметрична (кососимметрична), т.е. ее элементы удовлетворяют соотношениям (7.6). Тогда из соотношения (7.3) и соотношения В(х, у) = Ьыб!пи следует, что В(х, у) = В(у, х) (В(х, у) = — В(у, х)), ~.3=! т. е. форма В(х, у) является симметричной (кососимметричной), 3. Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы. Рассмотрим в линейном пространстве Т два базиса: е = (е!, ещ .,., е„) и 7 = (Т!, Тв,..., Г„).
Пусть А(е) = (а;,) н А(7) = (6,,) — матрицы данной билинейной формы в указанных базисах. Выясним вопрос о связи этих матриц, т.е. выясним вопрос о преобразовании матрицы аи билинейной формы при переходе от базиса е к новому базису 7". Справедливо следующее утверждение. !8! ВИЛИНЕИНЫЕ ФОРМЫ Теорема 7.2.
Матрицы А(е) и А(7) билинейной формы А(х, у) в базисах е = (е!, еэ, ..., е„) и 7" = (Г!, Гэ,..., Г„) свЯзаны соотношением А(г') = С'А(е) С, (7. 7) где С = (ср») — матрица перехода от базиса е к базису г", а С'— транспонированная матрица С. Доказательство. Элементы Г» нового базиса г' выражаются через элементы ер старого базиса е с помощью матрицы С = (ср ) по формулам Г» —— ~ ср»ер. р=! (7.8) Так как Ьт = А(т!, гь), то, согласно (7.8), получим п и Ьн, = А(г!, ть) = А ~ 2 сиен ~ сзьеу »=! 1=! п и А(е„е )с,цс ь = ~ а, сас ю (7.9) г,у=! ьэ=! Напомним, что элементы с'„транспонированной матрицы С' связаны с элементами си матрицы С соотношениями си = с', Подставляя эти соотношения в правую часть (7.9), получим для Ь|ь следующее выражение: В!ь = ~ агус!»суь = ~ с~г»( ~ амс.ь . (7.10) ь»=! »=! к»=! Сумма 2 'агусуь (по определению произведения матриц) представ1=! лает собой элемент матрицы А(е) С.
Отсюда следует, что выраже- ние в правой части (7,10) является элементом матрицы С'А(е) С. Но в левой части (7.10) стоит элемент матрицы А(7). Поэтому А(Г) = = С'А(е) С. Теорема доказана. Следствие. Ранг матрицы А(7) равен рангу матрица! А(е). Это сразу вытекает из соотношения (7.7), из того, что матрица С и, стало быть, матрица С' являются невырожденными, и из теоремы о том, что ранг матрицы не изменяется при умножении ее на невырож- денную матрицу.
Это следствие позволяет ввести важный числовой инвариант били- нейной формы — так называемый ранг билинейной формы. Определение 1. Рангом билинейной формы, заданной в конеч- номерном линейном пространстве То называется ранг матрицы этой формы в произвольном базисе пространства Б, Определение 2.
Билинейная форма А(х, у), заданная в конечно- мерном линейном пространстве То называется невырожденной (вы- рожденной), если ее ранг равен (меньше) размерности пространства ! . (гл. 7 182 БилинеЙные и кВАДРАтичные ФОРмы ф 2. Квадратичные формы Пусть А(х, у) — симметричная билинейная форма, заданная на линейном пространстве Г. Определение 1.
Квадратичной формой называется числовая функция А(х,х) одного векторного аргумента х, которая получается из билинейной формы А(х, у) при х = у. Симметричная билинейная форма А(х, у) называется полярной к квадратичной форме А(х, х). Полярная билинейная форма А(х, у) и квадратичная форма А(х, х) связаны следующим соотношением: А(х, у) = — (А(х + у, х + у) — А(х, х) — А(у, у)), 1 2 которое вытекает из очевидного равенства А(х+ у, х+ у) = А(х, х) + А(х, у) + А(у, х) + А(у, у) и свойства симметрии формы А(х, у).
Пусть в конечномерном линейном пространстве Г, задана симметричная билинейная форма А(х, у), полярная к квадратичной форме А(х,х). Пусть, кроме того, в Ь указан базис е = (ен ею ..., еи). Согласно теореме 7.1 форму А(х, у) можно представить в виде (7.3) и А(х, у) = 2 а;,.~гп,, с э=1 где б, и и координаты в базисе е векторов х и у соответственно. При этом, в силу симметрии А(х, у), (7. 11) а, =а, и А(х, х) = 2 а,,б,б,. С!=1 (7.! 2) Матрица ач называется матрицей квадратичной формы А(х, х) в заданном базисе е. Согласно (7.11) матрица (а; ) является симметричной. Очевидно, каждой симметричной матрице (аи) отвечает с помощью соотношения (7.12) квадратичная форма А(х,х), причем (7.12) будет представлением А(х,х) в пространстве й с заданным базисом е (см.
также замечание 3 и. 2 предыдущего параграфа), Отметим, что матрица квадратичной формы при переходе к новому базису преобразуется по формуле (7.7). Поэтому ранг этой матрицы не меняется при переходе к новому базису. (см. замечание 2 п.2 предыдущего параграфа). полагая в (7.3) х = у (т.е. пз = с.), мы получим следующее представление для квадратичной формы А(х, х) в конечномерном пространстве Г, с заданным базисом е: пРиВедение квлдРАтичной ФОРмы !83 Обычно ранг матрицы квадратичной формы А(х, х) называется рангом квадратичной формы.
Если ранг матрицы квадратичной формы равен размерности пространства Е, то форма называется невырожденной, а в противном случае — вырожденной. В дальнейшем мы будем использовать следующую терминологию. Определение 2. Квадратичная форма А(х, х) называется: 1) положительно (отрицательно) определенной, если для любого ненулевого х выполняется неравенство А(х,х) > 0 (А(х,х) < О) (такие формы называются также знакоопределенными); 2)знакопеременной, если существуют такие х и у, что А(х, х) > О, А(у, у) < 0; 3) квазизнакоопределенной, если для всех х Л(х, х) > 0 или А(х, х) < О, но имеется отличный от нуля вектор х, для которого А(х,х) = О.
В дальнейшем мы укажем признаки, по которым можно судить о принадлежности формы А(х, х) к одному из указанных типов. Отметим следующее важное утверждение. Если А(х, у) представляет собой билинейную форму, полярную положительно определенной квадратичной форме А(х, х), то А(х, у) удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения векторов в евклидовом пространстве. Обратимся к четырем аксиомам скалярного произведения (см. и. 1 8 1 гл.
4). Если число, называемое скалярным произведением векторов х и у, обозначить символом А(х, у), то эти аксиомы запишутся следующим образом: 1'. А(х, у) = А(у, х). 2 . А(х + я, у) = А(х, у) + А(к, у). 3'. А(ЛХ, у) = ЛА(х, у). 4'. А(х, х) > 0 и А(х, х) > 0 при х ф О. Так как билинейная форма А(х, у), полярная квадратичной форме А(х,х) симметрична, то аксиома 1' выполняется. Аксиомы 2' и 3' в сочетании с требованием симметрии выполнены в силу определения билинейной формы (см. и.
1 8 1 этой главы). Аксиома 4' выполняется, так как квадратичная форма А(х,х) положительно определена. 3 а м е ч а н и е, Очевидно, аксиомы скалярного произведения можно рассматривать как совокупность требований, определяющих билинейную форму, полярную положительно определенной квадратичной форме. Поэтому скалярное произведение в линейных пространствах может быть задано с помощью такого вида билинейной формы. (гл. 7 184 БилинеЙные и квлдРлтичные ФОРмы ф 3. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов В этом параграфе указаны различные методы приведения квадратичной формы к сумме квадратов, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
