В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Самарским значительно более общего утверждения. (Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971.) !59 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ и необходимы для сходимости указанной итерационной последовательноапи при любом выборе нулевого приближения Хе. Доказательство. !) Достаточность. Прежде всего оценим погрешность 7ь = Хь — Х. Так как Х удовлетвовлетворяет уравнению АХ = В, а Хь соотношению (6.13), то для 75я получим соотношение (6.15) т Установим для погрешности 7ь так называемое основное энергетическое соотношение.
Умножая (6.15) скалярно на вектор 2(Ле ь! — Яь) = 2т т получим равенство 2т (В '"~' '", '"~' '"1+2т (А7ь, '"е' — ' — ") =О. (6.16) Если воспользоваться обозначением С = 2 — тА и соотношением 7ь~.~ Е 7ь Яь~.~ — Д, .7мы — 7ь т Яь~.~ — Яь 75я =— 2 2 2 2 т то равенство (6.16) можно переписать в виде Далее заметим, что в силу симметрии матрицы А второе слагаемое в (6.17) равно (АЯь+н 7;,+~) — (АЯЫ 7ь). Это приводит нас к основному энергетическому соотношению: Для доказательства достаточности условий (6.14) остается с помощью основного энергетического соотношения доказать сходимость к нулю последовательности (~)7Е~(). Из основного энергетического соотношения и из положительной определенности матрицы С = 2 — тА вытекает, что (АЛЕЛИ Яь+1) < (Алю Уь), т.е. вытекает невозрастание последовательности ((АЯЫ Яе)7.
Из условия А > 0 вытекает, кроме того, что оча последовательность ограничена снизу нулем, а поэтому сходизся. Но тогда из основного энергетического соотношения следует, что й (С7"" 7", 7мы ~") = О. (6.19) ь-~ос Х т т Напомним, что для положительно определенной матрицы С всегда найдется д > 0 такое, что (СХ, Х) > Б(Х, Х) для любого вектора Х или, что то же самое, ~~Х)~е < (1/б)(СХ, Х). Последнее неравенство позволяет заключить, что из равенства нулю указанного выше предела (6.19) следует, что !1гп ))ге+1 — гь(! = О. (6.20) 160 итвплционныв методы пвшения линвиных систем (гл. 6 Для завершения доказательства достаточности следует воспользоваться соотношением В '"+' '"+АЕь=О, т из которого, в силу существования для положительно определенной матрицы А ограниченной обратной матрицы А ', вытекает, что ль = — 4 — (дьч-1 — 2ь) ,В т Последнее равенство и соотношение (6.20) дают право заключить, что 1пп авала' = О.
Достаточность доказана. ь — ~сь Для доказательства необходимости условий (6.14) при дополнительном предположении о том, что матрица В симметрична, привлечем следующую лемму. Лемма. Пусгпь С вЂ” некоторая симметричная матрица, а В— симметричная положительно определенная матрица. Тогда матрица С является положительно определенной в том и только в том случае, когда являются положительными все собственные значения задачи СХ = ЛВХ. Для доказательства леммы заметим, что так как матрица В является симметричной и положительно определенной, то (в силу теоремы 5.24 из п.б ~5 гл.
5) существует самосопряженный положительно определенный оператор ВП~ такой, что для соответствующей ему матрицы ВПз справедливо равенство ВПз х ВПз = В. Так как матрица ВПа является положительно определенной и симметричной, то для нее существует ограниченная и симметричная обратная матрица, которую мы обозначим через В Пз. Заметим далее, что с помощью замены Х = В ПаУ и умножения слева на матрицу В Па задача на собственные значения СХ = =- ЛВХ переходит в эквивалентную задачу на собственные значения В ПзСВ ПаУ, так что для доказательства леммы остается убедиться в том, что заведомо симметричная матрица В ПаСВ Оа является положительно определенной тогда и только тогда, когда является положительно определенной матрица С. Это последнее сразу вытекает из того, что для любых ненулевых векторов Х и У, связанных соотношением У = В ПаХ, справедливо равенство (В-П'СВ-П'Х, Х) = (СВ-П'Х, В-П'Х) = (СУ, 1).
Лемма доказана. Теперь мы можем перейти к доказательству необходимости условий (6.14) теоремы 6.2 при дополнительном предположении о том, что матрица В является симметричной. 2) Необходимость. Будем опираться на следующее утверждение из доказанной выше леммы: если матрица В является симметричной и положительно определенной, а матрица С является симметричной и не является положительно определенной, то за- !6! МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ дача на собственные значения СХ = ЛВХ имеет хотя бы одно неположительное собственное значение Л,.
Предположим, что не выполнено первое из условий (6.14), т.е. не выполнено требование 2 — тА ) О. Полагая в проведенных выше рассуждениях С = 2 — ТА, мы получим, что задача на собственные значения (2 — ТА)Х = ЛВХ имеет хотя бы одно неположительное собственное значение Л,. Обозначим через Х!"! отвечающий Л, собственный вектор и выберем нулевое приближение Хб так, чтобы было выполнено условие Хб = Х!'1. Тогда, переписав уравнение для погрешности (6.15) в виде ВУьч! = = — ВХь + (2 — тА)7ь мы получим, последовательно полагая !г равным О, 1,..., я! = ( — 1+ Л,)Х!'1, Уз = ( — 1+ Л,)аХ!'1, 2, = (-1+ л,)'х», Поскольку — 1+ Л, < — 1, то очевидно, что !!ль!! не стремится к нулю при й — е оо.
Аналогично рассматривается случай невыполнения второго условия (6.14), т.е. условия тА > О. В этом случае в проведенных выше рассуждениях следует положить С = тА. Мы получим при этом, что задача ТАХ = ЛВХ имеет хотя бы одно неположительное собственное значение Л, с собственным вектором Х!'1. Выбирая нулевое приближение Хг! так, чтобы было справедливо равенство 2о = Х!'! и переписывая (6.15) в эквивалентном виде ВЯьч! = ВЯь — тАХь мы получим, что у! = (! — Л.) Х!'1, 7, = (! — Л.)аХ!'1, ..., 2ь = (! — Л,)" Х!'1, Так как Л < О, то очевидно, что !1г5ь)! не стремится к нулю при й -е оо.
Теорема 6.2 полностью доказана. Перейдем теперь к оценке скорости сходимости общего неявного метода простой итерации. Следуя А.А. Самарскому '), выясним вопрос о выборе такого значения параметра т, которое обеспечивает наиболее быструю сходимость. Предположим, что матрица В является симметричной и положительно определенной. С помощью такой матрицы естественно ввести так называемое энергетическое скалярное произведение двух произвольных векторов Х и У, положив его равным (ВХ, У) = (Х, ВУ). Такое скалярное произведение будем обозначать символом (Х, У)в.
С помощью матрицы Вг7а это скалярное произведение можно записать в виде (Х, У)в = (В!7аВг7ах, У) = (Вг7ах, В!7аУ). С помощью последнего равенства легко проверяется справедливость для ') Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. — Мл Наука, 1971. Самарский А.А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. — М.. Наука, 1973. б Лннейнан алгебра 162 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ (гл. 6 введенного нами скалярного произведения четырех аксиом скалярного произведения (см. и.
1 В 1 гл.4). Далее естественно ввести энергетическую норму вектора Х, поло° - р-. р,тх, хр, =,ртвх, хр. в*р -ьр.*. - р .р р мы обозначим символом йХйв. Две различные нормы одной и той же совокупности векторов ()Х()! и ()Х!)п называют эквивалентными, если сугцествуют такие положительные постоянные ур и Та, что справедливы неравенства у,~~Х~~, < ~~Х~~И < Т,~~Х~~И Заметим, что энергетическая норма вектора Х и обьтная его норма являются эквивалентными. В самом деле, справедливость неравенства ур~~Х~~ < ~~Х~~в, т.е. неравенства у~(Х, Х) < (ВХ, Х) вытекает нз положительной определенности матрицы В, а справедливость неравенства ~~Х~~н < ТЕ~~Х~~, т.е. неравенства (ВХ, Х) < < Тз))Х()~ вытекает из неравенства Коши — Буняковского и оценки (6.7) (достаточно положить !г~ = ~еВй).
Установленная эквивалентность обычной и энергетической норм позволяет утверждать, что последовательность ~~Хь~~ сходится к нулю тогда и только тогда, когда сходится к нулю последовательность ))Хь()в. Для дальнейших рассуждений энергетическая норма является более удобной, чем обычная норма. Докажем следующую фундаментальную теорему. Теорема 6.3 (теорема Л.А. Самарского). Пусть матрицы А и В симметричны и положительно определены, Хь обозначает погрешность общего неявного метода простой итерации. Тогда для того чтобы при р < 1 было справедливо неравенство ((Хь))в < р")(Хь!)в, достаточно, чтобы было выполнено условие В<А< В. (6.21) т т Замечание.
А.А. Самарским доказано, что условие (6.21) не только достаточно, но и необходимо для справедливости неравенства ~~Хь~~в < Рь~~Хо~~н, но мы на этом останавливатьсЯ не бУдем. Доказательство теоремы 63. Для удобства разобьем доказательство на два шага. !'. Сначала докажем, что если симметричные и положительно определенные матрицы А и В удовлетворяют условиям Самарского (6.14), то (ВХьхн Хячз) < (ВХЫ Хь). Умножая равенство (6.!5) скалярно на 2ТХьч.1 = т(Хь„,| + Хь) + т(ХЕР1 — Хь), получим (В(Хне — 7ь), Хь~|+ Х~) + (В(Хьт — Х~), Хьтр — 7 ) + + т(АХвьь 7~т~ + Хь) + т(АХЫ Х~~ — Хь) = О. !63 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ В последнем равенстве заменим А7ь на разность ! 1 — А(г +Я ) — — А(Я .
— К ). 2 2 Тогда, учитывая вытекающее из симметрии матрицы А равенство (А(7ьэ ! — 7ь), кь.г! + Яь) = (ль.ь! — 7ь, А(ль ь! + .Оь)), мы получим тождество (В(7ь Р! — 7ь), 7ь Р! + 7ь) + + (( — — А) (Л~+ ! — Хь), Яь~ + 7~) + ! + — (ТА(Хь.ь! + 7ь), 7ь.ь! + 7ь) = О. 2 Учитывая, что (в силу условий Самарского (6.14)) операторы ТА и В— — (т/2)А являются положительно определенными, мы получим из последнего тождества следующее неравенство; (В(кь., — 7),2ь., +К)<О. Это неравенство эквивалентно доказываемому неравенству (Вя„н К„,) < (Вг,, Я,) (в силу вытекающего из симметрии оператора В тождества (Вгь„, г,) = (г„н Веь)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
