В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Далее мы обозначим через Ъгз ортогональное дополнение элемента ея до Гн Рассуждая так же, как и выше, мы докажем, что в 1з есть общий собственный элемент ез операторов А и А' такой, что '5ез~~ = 1. Продолжая аналогичные рассуждения, мы, очевидно, построим в пространстве Р' ортонормированный базис (еь), состоящий из собственных элементов операторов А и А*. Теорема доказана. Следствие 1. Пусть А — нормальный оператор.
Существует базис (еь), в котором А имеет диагональную матрицу. Действительно, по только что доказанной теореме существует базис 4'еь) из собственных векторов оператора А. Согласно теореме 5.9 в этом базисе матрица оператора А диагональна. Следствие 2. Унитарный оператор имеет полную ортонормированную систвму собственных векторов. Следующая теорема является обратной для теоремы 5.30. Теорема 5.3!. Если у дгиствующгго в и-мгрном гвклидовом пространстве 1г оператора А имеется и попарно оргпогональных собственных элементов ен ев,..., е„, то оператор А нормальный.
Д о к а з а т ел ь с т в о. Пусть (еь) — попарно ортогональиые собственные векторы оператора А. Тогда Аеь = Льеь и, согласно (5.69), имеет место следующее представление оператора А '): 48) !4! клноничкскии вид линейных опввлтогов Достаточно доказать, что для операторов А и А', определяемых соот- ношениями (5.69) и (5.93), справедливо равенство (х, А*у) = (Ах, у). (5.94) Подставляя в левую часть этого равенства выражение А*у по формуле (5.93), получим после несложных преобразований (х, А*у) = '> (х, Лй(у, ей)ей) = 2 Лй(у, ей)(х, ей) = й=! й=! Лй(х, ей)(ей, у) = (Ах, у).
Таким образом, равенство (5.94) доказано, т.е. оператор А*, действующий по правилу (5.93), является сопряженным к оператору А. Чтобы завершить доказательство теоремы, нужно убедиться в справедливости равенства (5.92~! А'А = АА'. Согласно (5.93) имеем ' АА'х = 2 Лу,(х, ей)Аей = й=! и и ЛйЛй(х, ей)ей = 2 ЛйЛй(х, ей)ей = А*Ах. Итак, для операторов А и А* справедливо равенство (5.92) и, следова- тельно, оператор А является нормальным. Теорема доказана. 98. Канонический вид линейных операторов В этом параграфе рассматривается вопрос о выборе для заданного линейного оператора специального базиса, в котором матрица этого оператора имеет простейший вид, называемый жорданоеой формой матриць!.
Введем понятие присоединенного элемента оператора А. Определение. Элемент х называется присоединеннь!м элементом оператора А, отвечающим собственному значению Л, если для некоторого целого т > 1 выполняются соотношения (А — Л1)™х ~! О, (А — Л1) е'х = О. При этом число т называется порядком присоединяемого элемента х. Иными словами, если х — присоединенный элемент порядка т, то элемент (А — Л1)™х является собстееннь!м вектором оператора А. В этом параграфе мы докажем следующую основную теорему. ') Лйы воспользовались также соотношениями Аей = Лйей.
(гл. 5 !42 линеиные опеялтопы Теорема 5.32. Пусть А — линейнглй оператор, действующий в п-мерном евклидовом пространстве К Существует базис (еь ), к = 1, 2,..., 1; т = 1, 2, ..., пь! п1+ из+... + п! = и, (5.95) образованный из собственных и присоединенных векторов оператора А, в котором действие оператора А описывается следующими соотногиениями: Аеь = Ляеь 1 1 к = 1, 2,..., 1; (5.96) , 2, ..., 1; т = 2, 3, ..., пь . Аеь' —— Льея +е~ ', !г = 1 Прежде чем перейти к доказательству, сделаем ряд замечаний. Замечание 1.
Очевидно, векторы е„' базиса (5.95) являются собственными векторами оператора А, отвечающими собственным значениям Ль. Из определения присоединенных векторов и соотношений (5.96) следует, что векторы е™ (lь = 1, 2, ..., 1; т = 2, 3, ..., пь) являются присоединенными векторами порядка т., отвечающими собственным значениям Ль соответственно. 3 а м е ч а н и е 2. Обращаясь к формулам (5.13) и (5.12), мы видим, что соотношения (5.96) действительно определяют действие оператора А в пространстве Г при заданном базисе (е„ ). 3 а м е ч а н и е 3.
Матрица А линейного оператора А в базисе (е„) имеет следующий «клеточныйь вид: л л О (5.97) А= О Л~ где клетка Ль представляет собой следующую матрицу: Ля ! О ... О О Ль 1 ... О л„= О О О ... ! О О О ... Ля (5.98) Замечание 4. Форма (5.97) матрицы А линейного оператора А называется жордановой формой матрицы этого оператора. При этом клетка Ль обычно называется жордановой клеткой матрицы А. Отметим, что теорему 5.32 о приведении матрицы оператора к простейшему виду (5.97) называют теоремой о приведении матрицы оператора к жордановой форме. Замечание 5.
Жорданова форма матрицы (5.97) определена с точностью до порядка расположения клеток Ль по диагонали матрицы. Этот порядок зависит от порядка нумерации собственных значений Лю 98! !43 клноничвский вид динкиных опьнлтогов Мы дадим доказательство теоремы 5.32, предложенное А.Ф. Филипповым '). Доказательство теоремы 532.
Для доказательства теоремы применим метод индукции, При и = 1 утверждение теоремы очевидно. Пусть и > 1 и теорема верна для пространств размерности меньше и. Докажем, что при этом предложении она верна и для пространств размерности и. Этим и будет завершено доказательство теоремы. Пусть Л вЂ” собственное значение оператора А. Согласно теореме 5.8 это число является корнем характеристического уравнения г(еС(А — Л1) = О. Следовательно, ранг г линейного оператора а) В = А — Л1 (5.99) меньше и, т.е, т < и.. Линейный оператор В отображает пространство !г на подпространство ппВ.
Поэтому оператор В отображает подпространство ппВ размерности г < и в это же подпространство. По предположению индукции в нп В есть базис ВЬь~ = рьЬлл,, й = 1, 2,..., р, (5.101) ВЬь — — рвЬь +Ь™, ', к=1,2,...,р; т=2,3,...,тл. Таким образом, в этом базисе матрица В оператора В, действующего из ни В в ни В з), имеет следующий клеточный вид: М~ Ма О и, ! О ... О О рь ! ... О где Мь = О 0 О ...
1 О Мт Обо...р, (5.102) Пусть лишь первые т~(т1 > 0) собственных значений оператора В равны нулю. Так как ранг каждой клетки Ма (см. (5.102)), для которой рь = = О, равен ть — 1, а ранг клетки, для которой рь у= О, равен ть, то, р согласно (5.100), ранг матрицы В равен 2 гь — иг1 = т — ты Поэтому л=1 ') Филиппов А Ф. Краткое доказательство теоремы о приведении матрицы к жордановой форме 0 Вестник Московского университета. !97!. № 2. а) Напомним, что ранг т линейного оператора В равен размерности но В; согласно теореме 5.6 ранг т равен рангу матрицы этого оператора з) Символом В мы будем обозначать оператор В, действующий из ппВ в !п1В. (Ь~~), к=1,2,...,р; т=!,2, ...,га, т1+тз+ +гр:г, (5.100) в котором действие оператора В из ппВ в пи В дается следующими соотношениями: (гл.
5 144 линеиные Опеялтопы размерность подпространства кег В равна ги! ') и кегВ представляет собой линейную оболочку векторов Ь,', Ь,',..., Ь',. Эти векторы в силу линейной независимости образуют базис в 1сегВ. Очевидно, кегВ с 1гегВ. Дополним базис Ь!!, Ь!, ..., Ь', в (гегВ до базиса в 1сегВ векторами мй, lс = 1, 2,..., то, пйо = п — г — т! (размерность 'кегВ по теореме 5.1 равна и — г)!ш ни В, т. е. Равна и — г).
Так как яй е кегВ, то (5. 103) Обратимся теперь к векторам Ь"„', гг = 1, 2, ..., т,!, Поскольку эти векторы принадлежат нп В, то существуют такие векторы Гй е )', что Вуй =Ь„"', !с= 1, 2,..., пг!. (5. 104) Докажем теперь, что векторы Ьй (к=1,2,...,р; пи=1,2,...,гй), 8й (й=1,2,...,то) Гй (й=1,2,...,гп!) (5. 105) линейно независимы. Рассмотрим следующую равную нулю линейную комбинацию г" этих векторов: Р пй тпо тп, г" = 2 2 ай Ьй + 2 Дйцй+ 2 уйгй = О.
(5.10б) й=! ж=! й=! й=! Рассмотрим действие оператора В на этот элемент т. Получим, согласно (5.101), (5.103) и (5.104), следующее выражение: р гв ВГ = 2 ай!рйЬй+ 2 2 ай (рйЬй +Ь, ') + 2 7йЬ" = О. й=! й=! гпйа (5. 107) Соотношение (5.107) представляет собой равную нулю линейную комбинацию базисных векторов (Ь™), поэтому коэффициенты при этих векторах в указанной линейной комбинации равны нулю.
Поскольку рй = 0 при гг < пг!, то из (5.107) следует, что коэффициенты при Ь'„" в точности равны тй, и поэтому гй = О. Отсюда и из соотношения (5.!06) получаем равенства (5. 108) й=! ш=! из которых следует, что вектор я, представляющий собой линейную комбинацию векторов (яй), принадлежит кегВ (напомним, что векторы (яй) составляют часть базиса в !сегВ). С другой стороны, из (5.108) вытекает, что я представляет собой линейную комбинацию векторов Ь™, т.е.
принадлежит 1тВ. Следова- ') Ранг матрицы В равен г!!!и ппВ. Согласно теореме 5.1 г!!!и !и!В+ ч- г!!гп !гегВ = г. Следовательно, ей!и 'пег В = гп!. !45 й9! ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ тельно, я принадлежит кегВ (напомним, что кегВ есть пересечение ХП ( ппВ и 1сегВ), и поэтому и = 2 бьЬь. ь=! Так как линейные оболочки наборов векторов (яь) и (Ь,') имеют общим лишь нулевой элемент (эти наборы вместе образуют базис в кегВ) н, как ьиы установили, н принадлежит каждой из упомянутых линейных оболочек, то я = О. Но тогда из (5.108) следует, что Дь = 0 (в=1,2,...,тв) иаь =0(в=!,2,...,р; ги=1,2,...,гь). Итак, все коэффициенты в линейной комбинации (5.106) векторов (5.105) равны нулю, т.е. векторы (5.105) линейно незаеисимьи Общее число векторов (5.105) равно г + птв + пты Так как птв = п— — т — гп~ (это было установлено выше, в доказательстве при введении векторов яь), то общее число векторов (5.105) равно и и поэтому они образуют базис в )с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
