В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Обозначим Гь = Ь;,'"' (5.109) и запишем векторы этого базиса в следующей последовательности серий: (К )' (аг); "; (й,г: СЬА ° ., Ьь", Ьь" ~ ), ь" = 1, 2,..., гп1', (5.110) ЕЬА "" Ь'") й= +1,", р Рассмотрим действие оператора В на векторы базиса (5.110) в пространстве )'. Обращаясь к соотношениям (5.101), (5.103), (5.104) и (5.109), убедимся, что действие В в базисе (5.110) дается соотношениями Вкь — — О, к=1,2,..., тв, ВЬА"э' =Ь'", ь'= 1,2,...,пм и соотношениями (5.101).
Итак, в базисе (5.!10) оператор В = А — ЛТ действует по правилу (5.96), указанному в формулировке теоремы 5.32. Но тогда в этом базисе и оператор А = В + ЛТ действует по этому же правилу. Теорема доказана. 9 9. Линейные операторы в вещественном евклидовом пространстве В этом параграфе мы покажем, каким образом определения и результаты предыдущих параграфов переносятся на случай вещественных евклидовых пространств. 1. Общие замечания.
Рассмотрим произвольное п-мерное вещественное евклидово пространство Ъ' и оператор А, действующий из~'вК Понятие линейного оператора для случая вещественного линейного пространства формулируется в полной аналогии с соответствующим понятием для комплексного пространства. (гл. 5 14б ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРЛТОРЫ Определение 1. Оператор А называется линейным, если для любых элементов х б Ъ' ц у е И и любых вещественных чисел о и В выполняется равенство (5.1 1 1) А(о»+,Зу) = оА»+ 13Ау. В полной аналогии с комплексным пространством вводится понятие собственного значения и собственного вектора оператора. Важно заметить, что собственные значения являются корнями характеристического уравнения оператора. Обратное утверждение в вещественном случае верно лишь тогда, когда соответствующий корень характеристического уравнения вещественный.
Только в этом случае указанный корень будет собственным значением рассматриваемого линейного оператора. В связи с этим естественно выделить какой-либо класс линейных операторов в вегцественном евклидовом пространстве, все корни характеристических уравнений которых вещественны. В доказанной выше теореме 5.!б было установлено, что все собственные значения самосопряженного оператора вещественны. Кроме того, понятие самосопряженного оператора играло важную роль в выводах Эб настоящей главы о квадратичных формах.
Естественно поэтому перенести понятие самосопряженного оператора на случай вещественного пространства. Предварительно введем понятие оператора А*, сопряженного к оператору А. Именно оператор А* называется сопряженным к А, если для любых х и у из И выполняется равенство (А», у) = (», А*у). Без затруднений на случай вещественного пространства переносится теорема 5.12 о существовании и единственности сопряженного оператора. Напомним, что доказательство теоремы 5.12 опирается на понятие полуторалинейной формы. В вещественном случае вместо полуторалинейной формы следует воспользоваться билинейной формой В(х, у).
По этому поводу в п. 2 ~ 4 гл. 5 сделано соответствующее замечание. Напомним в связи с этим определение билинейной формы в любом вещественном, не обязательно евклидовом, линейном пространстве Б. Пусть  — функция, сопоставляющая каждой упорядоченной паре (х, у) векторов х Е! и у б В вещественное число В(х, у). Определение 2. Функция В(», у) называется билинейной формой, заданной на В, если для любых векторов х, у и я из Ь и любого вещественного числа Л выполняются соотношения: В(»+ я, у) = В(», у) + В(я, у), В(», у+ я) = В(», у) + В(», я), (5.
112) В(Лх, у) = В(х, Лу) = ЛВ(х, у). Важную роль в данном параграфе будет играть специальное представление билинейной формы В(х, у) в виде В(», у) = (А», у), (5.113) 49) !47 линеиные ОпеРлтОРы где А — некоторый линейный оператор. Соответствующая теорема (теорема 5.11) об аналогичном представлении полуторалинейной формы в комплексном пространстве опиралась на выводы леммы п.! 9 4 настоящей главы о специальном представлении линейной формы Г(х). В конце указанного пункта отмечалось, что эта лемма верна и в вещественном пространстве.
Заметим только, что в доказательстве леммы выбор элементов Ьл нужно производить не по формуле (5.41), а с помощью формулы Ь" = Г" (еь), где у'(х) — данная линейная форма в вещественном пространстве. В эб настоящей главы были введены эрмитовы формы. Эрмитова форма — это полуторалинейная форма В(х, у) в комплексном пространстве, характеризующаяся соотношением В(х, у) = В(у, х) (черта над В означает, что берется комплексно-сопряженное значение для В). В случае вещественного пространства аналогом эрмитовых форм служат симметричные билинейные формы. Такая форма характектеризуется соотношением (5. 114) В(х, у) = В(у, х) Билинейная форма В(х, у), заданная на линейном пространстве Л, называется кососимметрич~ой, если для любых векторов х и у из Т, выполняется соотношение В(х, у) = — В(у, х).
Очевидно, что для каждой билинейной формы функции В!(х, у) = — [В(х, у) + В(у, х)], 1 Вт(х, у) = — [В(х, у) — В(у, х)[ 1 2 являются соответственно симметричной и кососимметричной билинейными формами. Поскольку В(х, у) = В!(х, у) + Вэ(х, у), то мы получаем следующее утверждение. Любую билинейную форму можно представить в виде сумм!я симметричной и кососимметричной билинейной формы. Нетрудно видеть, что такое представление является единственным. Мы докажем следующую теорему о симметричных билинейных формах (эта теорема служит аналогом теоремы 5.25 об эрмитовых формах).
Теорема 5.33. Для того чтобы билинейная форма В(х, у), заданная на всевозможных векторах х и у вещественного евклидова пространства Ъ', была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы линейный оператор А, фигурирующий в представлении (5.113), бгял самосоиряженнгям. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если А — самосопряженный оператор, то, используя свойства скалярного произведения, получим В(х, у) = (Ах, у) = (х, Ау) = (Ау, х) = В(у, х). Таким образом, выполняется соотношение (5.114), т.е.
билинейная форма В(х, у) = (Ах, у) симметричная. (гл. 5 148 ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРЛТОРЫ с$с! (А — Л1) = О самосопряженного оператора А. Фиксируем в Ъ' какой-либо базис (еь) и обозначим через а,ь элементы матрицы оператора А в этом базисе (отметим, что а ь— вещественные числа). Будем искать ненулевое решение слсдуюшсй системы линейных однородных уравнений относительно С!, ~а, ..., С„: 2 ать~а = Л~зч 1 = 1, 2, ..., и, ь=! (5.1 !6) где Л = о + ч,З. Так как определитель системы (5.1!6) равен дех(А — Л1) (напомним, что определитель матрипы линейного преобразования не зависит от выбора базиса и, согласно (5.115), этот определитель равен нулю), то система (5.116) однородных линейных уравнений имеет ненулевое решение Сь = ха + 4ую 1с = 1, 2, ..., и..
Если же форма В(х, у) = (Ах, у) симметричная, то справедливы соотношения (Ах, у) = В(х, у) = В(у, х) = (Ау, х). Следовательно, оператор А самосопряженный. Теорема доказана. Введем понятие матрицы линейного оператора А. Пусть е!, е!,... ..., ен — какой-либо базис в и-мерном вещественном линейном пространстве Ь.
Положим Аеь = 2 к' аье!. !=! Тогда, как и в комплексном случае, нетрудно показать, что если х = 2 лчеь, то для компонент вектора у = Ах справедливо представь=! ление у' = 2 а'„х". ь=! Матрица А = (аь) называется матрицей линейного оператора А в базисе (еь). Аналогично тому, как это было сделано в 8 2 настоящей главы, можно доказать, что величина бег А не зависит от выбора базиса и, тем самым, корректно вводится определитель де!А оператора А. Характеристическим уравнением, отвечающим оператору А, называется уравнение г!ет(А — Л1) = О, а многочлен, стоящий в левой части этого уравнения, называется характеристическим многочлвном оператора А. Докажем теперь теорему о корнях характеристического многочлена самосопряженного оператора в вещественном евклидовом пространстве.
Теорема 5.34. Всг корни характеристического многочлена само- сопряженного линейного оператора А в евклидовом пространстве вещественны. Доказательство. Пусть Л = о + з,9 — корень характеристического уравнения (5.1! 5) й9) !49 линейные опеглтогы Подставляя это решение в правую и левую части системы (5.1!б), учитывая при этом, что Л = о + !д, и отделяя затем вещественную и мнимую части полученных соотношений, найдем, что наборы (хы хз,..., х ) и (ун уз,..., у„) вещественных чисел ') удовлетворяют следующей системе уравнений: а,ьхь =- ох, — ду,, ь=о (5.117) а,куй = ау, — ' дх,, У =- 1, 2,..., п.
ь=! Рассмотрим в данном базисе еы ем ..., е„векторы х и у с координатами хн хз, ..., х„и уы уз, ..., у„соответственно. Тогда соотношения (5.11?) можно переписать в виде Ах = ох — ду, Ау = ау+ фх. Умножнм первое из полученных соотношений скалярно на у, а второе на х. Очевидно, получим равенства (Ах, у) = о(х, у) — д(у, у), (х, Ау) = о(х, у) + р(х, х). (5.1 18) Так как оператор А самосопряженный, то (Ах, у) = (х, Ау). Поэтому путем вычитания соотношений (5.1!8) получим равенство )7[(х, х) + (у, у)) = О. Но (х,х) + (у, у) ~ О (если (х,х) + (у, у) = О, то хь = О и уь = О, к = 1, 2,..., и; следовательно, решение сь = хь + !ул было бы нулевыы, тогда как по построению это решение ненулевое). Поэтому р = О, а так как д мнимая часть корня Л = о + Ц характеристического уравнения (5.115), то, очевидно, Л -- вещественное число.
Теорема доказана. Как и в комплексном случае, для самосопряженного оператора справедливо утверждение о существовании ортонормированного базиса, состоящего нз собственных векторов этого оператора (аналог теоремы 5.21). Докажем это утверждение. Теорема 5.35. У каждого самосопряжвнного линейного оператора А, действующего в и-мерном вещественном евклидовом пространстве ~', существует ортонормированный базис из собственных векторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
