В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 29
Текст из файла (страница 29)
е. х = 2 сйей. й=1 Так как ~~х~~ = ! и базис е1, ею..., е э! — оРтоноРмиРованный, то в силу теоремы Пифагора (см. п.2 ~1 гл.4) ше! ))х!) = 2 1сй! = 1. й=! (5.66) шэ1 ш-1-1 Имеем далее Ах = А 2' сйей = '! сйАей. Поскольку ей собй=! й=! ственные векторы оператора А, то из последних соотношений получаем шь1 Ах = 2 сйЛйей. Отсюда и из ортонормированности ей следует спрай=! ведливость соотношения / ш-1-1 ш-1-! ш-~1 (Ах, х) = ~ 2 сйЛйей, 2 срер) = 2' ~сй)~Лй.
(5.67) й=! р=! й=! Мы занумеровали собственные значения в порядке убывания с учетом возможной их кратности. Поэтому Л э! < Лй, й = 1, 2,..., т. Отсюда и из соотношений (5.67) и (5.66) получаем шь1 ш-1-1 (Ах, х) = ~ )сй(~Лй > Л э! ~ (сй)~ = Л для любого Е Е з.ш. Перейдем к доказательству соотношения (5.65). Обозначим символом Ез ортогональное дополнение подпространства Е (см.
п.З ~ 2 гл.4), Из теоремы 2.10 следует, что размерность Ей равна и — пм Следовательно, (гл. 5 132 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРЛТОРЫ (см. п. 3 Э 2 гл. 4), а так как Аей = Лйеы то с помощью (5.68) получаем Ах = 2 ' Лй(х, ей)ей. й=! (5.69) Оператор Рй, определяемый соотношением Рйх = (х, ей)ей, (5.70) называется проектором на одномерное подпространство, порожденное вектором ей. Из свойств скалярного произведения сразу же следует, что Рй самосопряженный линейный оператор. Отметим следующие важные свойства проекторов: 1'. Рай = Рй (отсюда следует, что Р,, = Рй, где т натуральное число).
2'. РЕР, = О, где й ф ~. Доказательство этих свойств следует из соотношений (РЕР,)х = Рй(Р,х) = Рй(х, е,)е, = (х, ей)ей при й = ~, при й т. Заметим также, что непосредственно из определения (5.70) следует, что Рй коммутирует с каждым оператором, который коммутирует с А. Из соотношений (5.68), (5.69) и (5.70) получаем следую!цие выражения для х и Ах: п х=2 Рйх, й=! (5. 71) Ах = 2 ЛЕРйх. й=! (5.72) Замечая, что для любого х:Ф 0 норма элемента х/~~х~~ равна 1 и ()х)! = 1, а также учитывая, что хЕЕ, получим (Ах, х) ( х х илн (х, х) хгн Ъ, !!х!!' )х)(/ шах ' =шах)А —, ~>(Ах,х)>Л Итак, соотношения (5.65) установлены.
Теорема доказана. 5. Спектральное разложение самосопряженных операторов. Теорема Гамильтона-Кэлн. Рассмотрим самосопряженный оператор А и собственные значения Л! > Ла » ... Л„этого оператора. При этом е!, еш ..., е„— ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов, отвечающих (Л,).
Пусть х е (г. Тогда х = 2 (х, ей)ей (5.68) й=! 45) линеиные слмОсопэяженные Опегктогы Из равенства (5.7!) следует, что оператор 2' Рь является тождеь=! ственным: 1= ~„-Рь. (5.73) ь=! Из равенства (5.72) получаем так называемое спектральное разложение самосопряженного оператора: п А = 2' ЛьРь. (5.74) ь=! Из свойств 1' и 2' проекторов и из соотношения (5.74) вытекает следующее выражение для Аз! А = 2 Л~ьРь. ь=! Очевидно, вообще для любого целого положительного в и А' = 2 ЛьРь.
ь=! (5.75) Рассмотрим произвольный полинам р(Л) = 2 с,Л'. По определе- з=! нию считают р(А) = 2 сьАь. Обращаясь к соотношению (5.75), легко ь=! получить следующее выражение для р(А); р(А) = 2 р(Л;)РО (5.76) Докажем следующую теорему. Теорема 5.23 (теорема Гамильтона — Кэз!и). Если А — самосопряженный оператор и р(Л) = с!ее (А — Л1) — характеристический многочлен этого оператора, то р(А) = О.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если А — самоса пряже нный оператор и Л; — собственные значения этого оператора, то, согласно теореме 5.8, Л, является корнем характеристического уравнения, т.е. р(Л!) = О. Отсюда и из соотношения (5.76) следует, что р(А) = О. Теорема доказана. 6. Положительные операторы.
Корни т-й степени из оператора. Самосопряженный оператор А называется положительнь!м, если для любого х из Г справедливо соотношение (Ах, х) > О. (5. 77) Если оператор А — положительный и из условия (Ах, х) = О следует, что х = О, то А называется положительно определеннь!м оператором. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРЛТОРЫ (гл. 5 Положительные и положительно определенные операторы соответственно обозначаются символами А > 0 и А > О. Отметим следующее простое утверждение. Каждое собственное значение положительного (положительно определенного) оператора неотрицательно (положительно). Это утверждение следует из простых рассуждений.
Пусть Л вЂ” собственное значение оператора А. Тогда, согласно лемме п.4 этого параграфа, можно указать такой элемент х, !!х!! = 1, что Л = (Ах, х). Отсюда и из соотношения (5.77) получаем, что Л > 0 для положительных операторов и Л > 0 для положительно определенных операторов. Утверждение доказано. Введем понятие корня пт-й степени (гп — натуральное число) из оператора. Определение. Корнем т-й степени из оператора А называется оператор В такой, что В™ = А. Корень т-й степени из оператора А обозначается символом А!й Естественно выделить какой-либо класс операторов, для которых имела бы смысл операция нахождения корня т-Й степени. Определенный ответ на этот вопрос дается следующей теоремой.
Теорема 5.24. Пусть А — положительный самосопряженный оператор, А > О. Тогда для любого натурального !и существует положительный самосопряженный оператор А!г -, А!г > О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через Лй собственные значения оператора А, и пусть (ей) — ортонормнрованный базис из собственных векторов. Обозначим далее через Рй проектор на одномерное подпространство, порожденное вектором ей. Согласно предыдущему пункту имеет место спектральное разложение (5.74) самосопряженного оператора А: и А = 2 ЛйРй. й=! Так как Лй > 0 (см. только что доказанное утверждение), то можно ввести следующий самосопряженный оператор В: и В = ~- Л„"-Р,. (5.78) й=! Согласно (5.70) справедливо соотношение (Рйх, х) > О, из которого следует положительность операторов Рй и положительность оператора В (см. (5.78)).
Из свойств 1' и 2' проекторов Рй (см. п.5 этого параграфа) вытекает, что В = 2 ЛйРй. Сравнивая это выражение для В й=! с выражением (5.74) для А, получим В = А. Выше была установлена положительность оператора В. Теорема доказана. !35 йб) пРиВедение кВАЕРАтичнои ФОРмы Замечание 1. Отметим без доказательства, что существует единственный положительный оператор А!7 Замечан ие 2.
В ортонормированном базисе (еь) собственных векторов оператора А матрица оператора А!7 имеет следующий вид: ф 6. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов В этом параграфе мы изучим вопрос о выборе такого базиса, в котором квадратичная форма (инвариантная квадратичная функция координат вектора; точно это понятие определяется ниже) имеет наиболее простой вид. Квадратичные формы подробно изучаются в гл.7. Там будут, в частности, рассмотрены различные способы приведения таких форм к сумме квадратов.
Введем понятие так называемых эрмитовых форм. Определение. Полуторалинейная форма В(х, у) называется эрмитовой, если для любых х и у справедливо соотношение В(х, у) = В(у, х). (5.79) Согласно следствию из теоремы 5.11 любая полуторалинейная форма В(х, у) (в том числе и эрмитова) может быть единственным образом представлена в виде В(х, у) = (Ах, у), (5.
80) где А — ли пейн ы й оператор. Докажем следующие два утверждения, в которых выясняются условия, при которых полуторалинейная форма является эрмитовой. Теорема 5.25. Для того чтобы полуторалинейная форма В(х, у) являлась эрмитовой, необходимо и достаточно, чтобы оператор А в представлении (5.80) этой формы был самосопряженным (А=А). Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если А — самосопряженный оператор, то, используя свойства скалярного произведения, получим В(х, у) = (Ах, у) = (х, Ау) = (Ау, х) = В(у, х). Таким образом, выполнено соотношение (5.79), т. е. форма В(х, у) = (Ах, у) является эрмитовой.
Если же форма В(х, у) = (Ах, у) эрмитова, то, опять обращаясь к свойствам скалярного произведения, получим равенства (Ах, у) = В(х, у) = В(у, х) = (Ау, х) = (х, Ау). (гл. 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРЛТОРЫ и В(х, х) = 2' Ль~(ь~з. ь=! (5.81) Доказательство. Так как форма В(х, у) эрмнтова, то, согласно теореме 5.25, существует самосопряженный оператор А такой, что В(х, у) = (Ах, у).
(5.82) Обратимся теперь к теореме 5.21. По этой теореме для оператора А можно указать ортонормированный базис (еь) из собственных векторов этого оператора. Если Ль — собственные значения А, а (ь— координаты вектора х в базисе (еь), так что х = 2 ~ьеь, ь=! (5.83) то, используя формулу (5.12) и соотношение Аеч = Льеь '), получим следующее выражение для Ах: и Ах = 2 Ль~ьеь, ь=! (5.84) ') Это соотношение следует нз того, что Ль н еь — соответственно собственные значения и собственные векторы оператора А. Таким образом, (Ах, у) = (х, Ау), т.е. оператор А является само- сопряженным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
