В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Теорема доказана. Введем понятие ранга линейного оператора А. Назовем рангом линейного оператора А число, обозначаемое символом гвпя А и равное гапяА = с1пп (ппА). Отметим следующее очевидное следствие из теоремы 5.1 и из замечания 2 этого пункта. Следствие из теоремы 5.1. Для того чтобы оператор А из Т,()л, И) имел обратный А ', необходимо и достаточно, чтобы ганя А = с1пп 1' = п. Пусть А и В линейные операторы из Ц)', И). Справедлива следующая теорема. Теорема 5.3. Имеют место следующие соотношения: гапиАВ < гапаА, гапдАВ < гапеВ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала первое из отмеченных соотношений. Очевидно, ппАВ С ппА '). Поэтому ойш(ппАВ) < < дпп (1пгА), т. е, гапкАВ < ганя А. Для доказательства второго соотношения воспользуемся следующим очевидным включением з): 1согВ С нег АВ. Из этого включения следует, что с1пи (1сег В) < ейпт (1сег АВ). Из последнего неравенства, в свою очередь, следует неравенство с1пп И вЂ” с1пп(1сегАВ) < дпп И вЂ” с1пп(1сегВ), а из него, согласно тео- ') Символ С здесь и в дальнейшем обозначает включение, т е. запись А С С В обозначает, что А является подмножеством В.
з) Так как АВ и ВА различные, вообще говоря, операторы, то включение ппАВ С 1шВ может не иметь места, и поэтому для доказательства второго соотношения гапКАВ < гапКВ требуются специальные рассуждения. линеиные Оперлторы (гл. 5 реме 5.1, получаем йш (цп АВ)< д!гп (пи В), т. е. гап8 АВ < гап8 В. Теорема доказана. Докажем еще одну теорему о рангах линейных операторов. Теорема 5.4.
Пусть А и  — линейные операторы из Е()г, Ъ') и и — размерность К Тогда гап8АВ > гап8А+ гап8 — г!. Доказательство. Согласно теореме 5.1 йш (пп АВ) + йш (нег АВ) = и. Так как гап8АВ = йп! (пиАВ), то из (5.5) получаем гапдАВ = п — йгп(йегАВ). Поскольку, согласно теореме 5.1, йщ (йегА) + йщ (йегВ) = 2п — (гапаА+ гапйВ), (5.7) (5.6) то для доказательства теоремы достаточно установить неравенство йш (нег АВ) < йш ()сер А) + йга (кегВ). (5.8) Действительно, из этого неравенства и из соотношения (5.6) следует неравенство гана АВ > п — (йга ()гег А) + с1пп (нег В)), из которого, согласно (5.7), сразу же вытекает справедливость утверждения теоремы.
Итак, перейдем к обоснованию неравенства (5.8). Пусть йш (йег В) = д. (5.9) Согласно теореме 5.3 йп! ()гегАВ) > д. Поэтому справедливо соотношение йш (йег АВ) = р+ о, где р > О. (5.10) Из этих неравенств получим, что гап8АВ = гап8В. Аналогично дока- зывается соотношение гап8ВА = гап8В. Так как 1сегВ С 1сегАВ, то в подпространстве 1гегАВ можно выбрать базис х!,хз,...,хргз так, что элементы хрь!, ...,хрэя образуют базис в кегВ. При таком выборе х!,хз,...,хрья элементы Вх!, Вхз,..., Вхр линейно независимы (если линейная комбинация р !г р ~ ЛьВхь = О, то В'( ~ Льхь) = О, т.е. 2 Льхь с йегВ, а это ь=! ь=! ь=! может быть, в силу выбора х!, ха, ..,, хр, лишь при Ль = О, и = 1, 2,...
..., р). !1оэтому элементы Вх!, Вхз,.,., Вхр принадлежат нег А, т.е. р < йпт(!гегА). Из этого неравенства и соотношений (5.9) и (5.!О) вытекает требуемое неравенство (5.8). Теорема доказана. Следствие из теорем 5.3 и 5.4. Если гаг!8А = и (и — размерность И), то гап8 АВ = гап8 ВА = гапй В. Указанное следствие вытекает из неравенств гапдАВ < гана В (теорема 5.3), сапа АВ > гана В (теорема 5.4 при гаг!8А = и). 42) млтРичнля злпись лииеиных ОпеРлтОРОВ ф 2.
Матричная запись линейных операторов х=2 х ей й=! (5.1 1) разложение х по данному базису. Пусть А — линейный оператор из Е(1г, Ъ'). Тогда из (5.11) полу- чаем Ах = 'з х" Аей. й=! (5.12) Полагая Аей = 2 а'ейи 1=! (5.13) перепишем (5.12) в следующей форме: и и и / и Ах= 2 х" 2 азйе = 2 1 2 аэйх" е.. й=! у=! т=! й=! Таким образом, если у = Ах и элемент у имеет координаты у', уз,..., у", то уз = ') азйхй, у = 1, 2,..., и.
й=! Рассмотрим квадратную матрицу А с элементами а': А = (азй). Эта матрица называемся матрицей линейного оператора в заданном базисе е!, ез,..., еи. Наряду с ранее указанным способом записи линейного оператора используется при заданном базисе е!, ез, ..., еи матричная форма записи: у = Ах, причем, если х = (х', х'-', ..., хи), то у = (у', уз, ... ..., уи), где у', ! = 1, 2, ..., п, определяются с помощью соотношений (5.14), а элементы а' матрицы А вычисляются по формулам (5.!3).
3 а м е ч а н и е 1. Если оператор А нулевой, то все элементы матрицы А этого оператора равны нулю в любом базисе, т. е. А нулевая матрица. Замечание 2. Если оператор А единичный, т.е. А = 1, то матрица этого оператора будет единичной в любом базисе. Иными словами, в этом случае А = Е, где Е единичная матрица. В дальнейшем единичную матрицу мы будем обозначать также символом Е 1.
Матрицы линейных операторов в заданном базисе линейного пространства И. Фиксируем в линейном пространстве И базис е!, ез, ..., еи. Пусть х — произвольный элемент Ь' и (гл. 5 112 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРЛТОРЫ Мы выяснили, что каждому линейному оператору А из ВЯ, 'Р') при заданном базисе линейного пространства Р' отвечает матрица А этого оператора. Естественно, возникает обратный вопрос — каждой ли данной матрице А при заданном базисе в Гг можно поставить в соответствие линейный оператор А, матрицей которого будет данная матрица.
Важно также выяснить вопрос о единственности матрицы линейного оператора в заданном базисе. Справедливо следующее утверждение. Теорема 5.5. Пусть в линейном пространстве ~' задан базис еи ез, ..., е„, и пусть А = (а',,) — квадратная матрица, содержагцая и строк и и столбцов. Существует единственный линейный оператор А, матрицей которого в заданном базисе является матрица А.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала существование оператора А. Для этой цели определим значения Аеь этого оператора на базисных векторах еь с помощью соотношения (5.13), полагая в этом соотношении а„' равными соответствующим элементам заданной матрицы А. Значение оператора А на произвольном векторе х Е 1', разложение которого по базисным векторам еи ез,..., е„дается формулой (5.11), определим по формуле (5.12). Очевидно, построенный оператор линейный и матрицей этого оператора является матрица А.
Единственность оператора А, матрицей которого в базисе еи ез, ... ...,е„ является матрица А, следует из соотношений (5.13): с помощью этих соотношений единственным образом определяются значения оператора на базисных векторах. 3 а м е ч а н и е 3. Пусть А и  — квадратные матрицы порядка п, А и  — отвечающие им линейные операторы в заданном базисе (еь) пространства К Из доказательства теоремы 5.5 следует, что матрице А + ЛВ, где Л вЂ” некоторое число, отвечает линейный оператор А + ЛВ (напомним, что А, В и А+ ЛВ принадлежат Ь(Ъ', Ъ')).
Докажем следующую теорему. Теорема 5.6. Ранг линейного оператора А равен рангу матрицы А этого оператора: гапя А = гапя А. Доказательство. По определению гапцА = д1ш(1гпА), а ппА — линейная оболочка векторов 5ь: (5.15) (см. матричную форму записи оператора и определение пи А). Поэтому гапц А равен максимальному числу линейно независимых вектоРов 5ь. Так как вектоРы ен ез,..., е„, линейно независимы, то, согласно (5.15), максимальное число линейно независимых вектоРов 5ь совпадает с максимальным числом линейно независимых стРок (а', аз„,..., а"„) матрицы А, т.е.
с рангом А. Теорема доказана. Г!усть А и  — произвольные квадратные матрицы, содержащие п строк и п столбцов. Из теорем 5.3-5.6 вытекают следующие следствия. й2) млтяичнля злпись динкиных Опеялтогов Следствие 1. Ранг гапяАВ произведения А н В удовлетворяет соотношениям гапнАВ < гапнА, гапнАВ < гапдВ, гапнАВ > гапнА+ ганн  — п. Следствие 2.
Обратный оператор А ' для оператора А существует только тогда, когда ранг матрицы А оператора А равен и (и = дйш )л). Отметим, что в этом случае существует также и обратная матрица А ' для матрицы А. 2. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Пусть 1' — линейное пространство, А — линейный оператор из Ц$', )л), е!, ею ..., е„ и е!,ел,...,е„, — два базиса в )л и еь=)'и,',ел, !г=!,2,...,п (5.16) г=! — формулы перехода от базиса (е!) к базису (еь). Обозначим через В матрицу (и'): и=( '„). (5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
