В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 23
Текст из файла (страница 23)
изучим подробнее множество Ь(Г, И). Назовем тождественным (или единичньсм) оператором линейный оператор 1, действующий по правилу 1х = х (здесь х — любой элемент И). Введем понятие произведения линейных операторов из множества Ц1/, И). Произведением операторов А и В из Ь(Г, 'сс) называется оператор АВ, действующий по правилу (АВ)х = А(Вх). (5.3) Отметим, что, вообще говоря, АВ ф- ВА. Справедливы следую!дне свойства линейных операторов из 1(Ъ', Ъ'): 1'. Л(АВ) = (ЛА)В; 2'. (А+ В)С = АС+ ВС; 3'.
А(В+ С) = АВ+АС; 4'. (АВ)С = А(ВС). Первое из свойств 1'-4' следует из определения произведения линейного оператора на скаляр (см. (5.2)) и определения произведения операторов (см, (5.3)). Перейдем к обоснованию свойства 2'. Имеем, согласно (5.1), (5.2) и (5.3), ((А + В)С)х = (А+ В)(Сх) = А(Сх) + В(Сх) = = (АС)х+ (ВС)х = (АС + ВС)х.
(5.4) Сравнивая левую и правую части последних соотношений, мы получаем равенство (А+ В)С = АС+ВС. Свойство 2' установлено. (гл. 5 106 линеиные ОпеРлтОРы Совершенно аналогично доказывается свойство 3'. Свойство 4' справедливо, поскольку, согласно определению (см. (5.3)), произведение линейных операторов заключается в их последовательном действии, и поэтому линейные операторы (АВ)С и А(ВС) совпадают и, следовательно, тождественны. 3 а м е ч а н и е 1.
Свойство 4' позволяет определить произведение АВ... С любого конечного числа операторов из l (Ь', Ь') и, в частности, п-ю степень оператора А с помощью формулы А" = АА...А. о еомножоеееея Очевидно, справедливо соотношение А"+ = А"А Нам понадобится понятие обратного оператора для данного оператора А из Ц*Р', $'). Определение 1. Линейный оператор В из т'(Р', 'Р') называется обратным для оператора А из 1,(Р', !'), если выполняется соотношение АВ=ВА=Е Обратный оператор для оператора А обычно обозначается символом А Из определения обратного оператора А ' следует, что для любого х 6 'Р' справедливо соотношение А 'Ах = х.
Таким образом, если А 'Ах = О, то х = О, т.е. если оператор А имеет обратный, то из условия Ах = О следует, что х = О. Мы будем говорить, что линейный оператор А действует взаимно однозначно из Г в !г, если любым двум различным элементам х| и хз отвечают различные элементы у1 = Ах| и уа = Ахз. Если оператор А действует взаимно однозначно из Ъ' в !л, то отображение А: !л' -э !" представляет собой отображение Ь' на !', т.е. каждьш' элемент у 6 Ъ' представляет собой образ некоторого элемента х 6 Ь': у = Ах.
Чтобы убедиться в этом, достаточно, очевидно, доказать, что и линейно независимых элементов хи хш ...,х„ пространства отображаются посредством оператора А в и линейно независимых Ахи Аха,..., Ах„ элементов этого же пространства. Итак, пусть хн хз,...,х„ -- линейно независимые элементы Е Если линейная комбинация о~Ах~ + овАхв + ...-Е о„Ах„представляет собой нулевой элемент пространства Р': и1Ах~ + озАхв + ... + ожАх„= О, то из определения линейного оператора (см. п.
1 этого параграфа) следует, что А(о1х1+ азха + ... + о„х„) = О. Так как оператор А действует из !ж в !/ взаимно однозначно, то из последнего соотношения вытекает, что ее|х1 + азхз + ... + о„х„ = = О. Но элементы хи хв,...,х„ линейно независимы. Поэтому о! = ПОНЯТИЕ ЛИНЕИНОГО ОПЕРАТОРА = оз = ... = а„ = О.
Следовательно, элементы Ах!, Аха,,.,, Ах„ также линейно независимы. Отметим следующее у т в е р ж д е н и е. Для того чтобы линейный оператор А из Ь(Ъ', Ъ') имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из Р' в К Убедимся, что сформулированное условие необходимо. Пусть оператор А имеет обратный, но не действует взаимно однозначно из Ъ' в К Это означает, что некоторым различным элементам х! и хз, ха — х! ф = О из Р' отвечает один и тот же элемент у = Ах, = Ахз. Но тогда А(х, — х!) = О, и поскольку оператор А имеет обратный,х! — хз = О. Но выше было отмечено, что х! — хз ~ О.
Полученное противоречие доказывает необходимость условия утверждения. Докажем достаточность этого условия. Допустим, что оператор А действует взаимно однозначно из Р' в Р'. Тогда каждому элементу у е )/ отвечает элемент х е Ъ' такой, что у = Ах. Поэтому имеется оператор А ', обладающий тем свойством, что А 'у = А '(Ах) = х. Легко убедиться, что оператор А ' линейный. По определению А ' обратный оператор для оператора А. Достаточность условия утверждения также доказана. Введем понятия ядра и образа линейного оператора. Определение 2. Ядром линейного оператора А называется множество всех тех элементов х пространства $', для которых Ах = О.
Ядро линейного оператора А обозначается символом !сег А. Если кегА = О, то оператор А действует взаимно однозначно из )г в К Действительно, в этом случае нз условия Ах = О вытекает х = О, а это означает, что различным х! и хз отвечают различные у! = = Ах! и уз = Ахз (если бы у! = уз, то А(хз — х!) = О, т.е. х! = хз и элементы х! и хз не были бы различны). Таким образом, согласно доказанному выше утверждению условие )сегА = О является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обратный.
Определение 3. Образом линейного оператора А называется множество всех элементов у пространства Р', представимых в вице у = Ах. Образ линейного оператора А обозначается символом пп А ') . Замечание 2. Отметим, что если кегА — О, то пи А — Р', и наоборот. Поэтому наряду с отмеченным выше условием кегА = О условие 'пи А = )с также является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обратньш.
Замечание 3. Очевидно, ядро кегА и образ ппА — линейные надпространства пространства К Поэтому можно рассматривать размерносгпи д)ш ()гег А) н д)ш (пи А) этих подпространств. Справедлива следующая теорема. ') Символ пп следует отличать от символа!гп, используемого для обозначения мнимой части комплексного числа. (гл. 5 108 линеЙные ОпеРлторы Теорема 5.1. Пусть размерность гйпт)Г пространства (л равна и, и пусть А — линейный оператор из 1 Я, (г). Тогда г1пп (1ш А) + г1пп (нег А) = и.
Доказательство. Так как кегА представляет собой подпространство г', то можно указать такое подпространство р) пространства И, что р' будет представлять собой прямую сумму Ь) и )гег А '). Согласно теореме 2.10 д1п~ Ь) + д1п~(1сег А) .=. и. Поэтому для доказательства теоремы достаточно убедиться, что д1го ('~ =- дпп (1ш А). Пусть гйгп (ч = р, г1пп(ппА) = д и ун уз,..., уч -- базис в ппА. Так как линейный оператор А действует взаимно однозначно из Ь'~ в 'ппА а), то каждому элементу у из 1шА можно поставить в соответствие единственный элемент х б Р) такой, что Ах = у.
Поэтому в р) определены элементы хи хщ.,., хч такие, что Ахь = уь, и = 1, 2, ..., ц. Элементы хи хз,.,., хч линейно независимы, ибо если о ~ х~ + сгзхз +... + очхч = О, то А(о ~ х~ + овхз +... + очхд) = о~ у~ + + сгзУ + ... + очУч —— О, а так как элементы Уи Ущ..., Уч линейно независимы, то сг~ = сгз = ... = оч = О, т.е.
и хи хщ ..,, хч линейно независимы. Таким образом, в Р) имеется ц линейно независимых элементов. Следовательно, р > ц (напомним, что р = д)гп 'р) ). Предположим, что р > д. Добавим к линейно независимым эле- МЕИтаМ ХП ХЩ ..., Хч ЭЛЕМЕНТЫ Х Н Хчжа, ..., Хр таК, Чтп ХИ ХЩ... ..., хр обРазУют базис в 1/и Так как Р > д и д = г1пп(ппА), то элементы Ахи Ахщ ..., Ахр, принадлежащие штА, линейно зависимы, и поэтому существуют не все равные нулю числа Ли Лз,..., Лр такие, что Л~Ах~ + ЛЕАхз + ...+ ЛрАхр —— О. Отсюда следует, что А(Л~х~ + + Лзхв + ...+ Лрхр) = О. Так как А действует из 1'~ в пи А взаимно однозначно, то из последнего равенства получаем Л~х~ + Лзхз + ... + Лрхр: О.
Но хи хщ..., хр — базис в Ь'и Поэтому Л~ = Лз = ... = Лр — — О. Выше указывалось, что не все Лн Лщ.,., Лр равны нулю. Следователь- ') Чтобы убедиться в этом, выберем в И такой базис еп еп ..., е„, что первые г векторов еи ез, ..., е, образуют базис в нег А, тогда линейная оболочка векторов е рн ...,е представляет собой р1 (см подробнее гл 4) ) По аналогии с линейными операторами, действуюятими взаимно однозначно из И в И, можно ввести понятие линейного оператора А, действующего взаимно однозначно из линейного пространства И в линейное пространство Иг.
Эти операторы характеризуются тем, что различным элементам х~ и хя пространства 1l отвечают различные элементы у~ =- Ах~ и у„ = Ах. пространства Иг. Таким свойством обладает рассматриваемый оператор А, действующий из пространства р) в пространство йп А. Действительно, если х~ Е К~, ха Е Ъ'и хя — х~ ф О, то хя — х~ Е Ъ), и поэтому Ахз ф Ах~ (Ах~ Е пи А, Ахя Е пи А, ибо если бы Ахт = Ахп то А(х — х~) = О, т. е. хя — х~ Е йегА, что противоречило бы принадлежности ха — х~ Е 14 и условию хз — х~ Ф 0 ($'~ и кегА составляют прямую сумму и поэтому имеют общим лишь нулевой элемент).
511 ПОНЯТИЕ ЛИНЕИНОГО ОПЕРАТОРА но, предположение р > у ведет к противоречию. Таким образом, р = у. Теорема доказана. Имеет место также следующая теорема, в определенном отношении обратная теореме 5.1. Теорема 5.2. Пусть р) и Ъв — два таких надпространства и-мерного пространства $', что ойгп )л1 + д1гп )лз = ойпт К Тогда существует такой линвйньш оператор А из ЦЪ', 1'), что 1'1 = 1псА и )га = 1сегА. Доказательство.
Пусть д1пс)л1 = р, ойпт1з = у. Выберем в пространстве И базис ен ез, ..., е„так, чтобы элементы ержп ерша, ... ..., е„принадлежали )лз. Далее в пространстве 1ч выберем некоторый базис дн Кз," ° Кр Определим теперь значения линейного оператора А на базисных векторах ен еш..., е„пространства р" следующим образом: Ае~ = ан Аез = нш ..., Аер — — пр, Аерч.1 = О, Аер.,з = О,..., Ае„= О. Далее, если х = х1е~ + хает + ...+ хрер + хрт~ерт~ + ...+ х„е„, то Ах = х1м1+ хзмв + ... + хрмр. Очевидно, оператор А линейный и обладает требуемыми свойствами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
