В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 18
Текст из файла (страница 18)
4 82 евклидовы пгостплнствл и умножения их на числа: (х!, х2,..., х„) + (У!, У2, ..., Уп) = (х! + У!, х2 + У2,..., х„+ У„), Л(х!, х2,..., х„) = (Лх!, Лхз,..., Лх„); а!! а!2 ., а!„ ам аээ ... аэ (4.3) а„! а„! ... а„ Составим с помощью матрицы (4.3) однородный многочлен второго порядка относительно п переменных х!, х2,..., х„ 2 а!ях!хь. в=! я=! (4.4) Забегая вперед, отметим, что такой многочлен называется квадратичной формой (порождаемой матрицей (4.3)) ') . Квадратичная форма (4.4) называется положительно определенной, если она принимает строго положительные значения для всех значений переменных х!, х2,..., х„, одновременно не равных нулю ) .
2) Так как при х! = х2 = ... = х„= О квадратичная форма (4.4), очевидно, равна нулю, то можно сказать, что положительно определенная квадратичная форма обращается в нуль лишь при условии х! = = х2 = ... = х„= О. Потребуем, чтобы матрица (4.3) удовлетворяла двум условиям. 1'. Порождала положительно определенную квадратичную форму (4.4). 2'. Была симметричной (относительно главной диагонали), т.
е. удовлетворяла условию ась = а!м для всех 1 = 1, 2, ..., и и и = 1, 2, ..., и. С помощью матрицы (4.3), удовлетворяющей условиям 1' и 2; определим скалярное произведение двух любых элементов х = (х!, х2,... ') Квадратичные формы систематически изучаются в гл. 7 этой книги. ') В гл. 7 этой книги будет указано необходимое и достаточное условие положительной определенности квадратичной формы. наконец, справедливость аксиомы 4' вытекает из того, что (х, х) = = х2+ х2 + ... + х2 всегда является неотрицательным числом и обращается в нуль лишь при условии х! = х2 = ...
= х„= О. Рассмотренное в этом примере евклидова пространство часто обозначают символом Е". Пример 4. В том же самом линейном пространстве А" введем скалярное произведение любых двух элементов х = (х!,хз,...,х„) и у = (у!, у2,..., у„) не соотношением (4.2), а другим, более общим, способом. Для этого рассмотрим квадратную матрицу порядка и ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО и ) и у = (у!, уъ ... у„) пространства А" соотношением и п (х, у) = '! 2 а!Ах;уь. г=! ь=! (4.5) (х,у) ((х,х)(у,у), (4.6) назь!ваемое неравенством Коши-Буняковского. Доказательство.
Для любого вещественного числа Л, в силу аксиомы 4' скалярного произведения, справедливо неравенство (Лх — у, Лх — у) > О. В силу аксиом 1'-3; последнее неравенство можно переписать в виде Ла(х,х) — 2Л(х, у) + (у, у) > О. Необходимым и достаточным условием неотрицательности последнего квадратного трехчлена является неположительность его дискриминан- та, т.е. неравенство ') (х, у) — (х,х)(у, у) < О. (4.7) Из (4.7) сразу же вытекает неравенство (4.6). Теорема доказана. Наша очередная задача — ввести в произвольном евклидовом пространстве понятие норме! (или длинь!) каждого элемента.
Для этого введем понятие линейного нормированного пространства. ') В случае (х,х) = О квадратный трехчлен вырождается в линейную функцию, но в этом случае элемент х является нулевым, так что (х, у) = О и неравенство (4.7) также справедливо. Легко проверить справедливость для так определенного скалярного произведения всех аксиом !' — 4'. В самом деле, аксиомы 2' и 3; очевидно, справедливы при совершенно произвольной матрице (4.3); справедливость аксиомы 1' вытекает из условия симметричности матрицы (4.3), а справедливость аксиомы 4' вытекает из того, что квадратичная форма (4.4), представляющая собой скалярное произведение (х,х), является положительно определенной.
Таким образом, пространство А" со скалярным произведением, определяемым равенством (4.5), при условии симметричности матрицы (4.3) и положительной определенности порождаемой ею квадратичной формы, является евклидовым пространством. Если в качестве матрицы (4.3) взять единичную матрицу, то соотношение (4.4) перейдет в (4.2), и мы получим евклидова пространство Е", рассмотренное в примере 3. 2. Простейшие свойства произвольного евклидова пространства.
Устанавливаемые в этом пункте свойства справедливы для совершенно произвольного евклидова пространства как конечной, так и бесконечной размерности. Теорема 4.1. Для любых двух элементов х и у произвольного евклидова пространства справедливо неравенство (гл. 4 84 евклидовы пРОстглнстВА Определение. Линейное пространство Я называется нормирован»ым, если выполнены следующие два требования. 1. Имеется правило, посредством которого каждому элементу х пространства й ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой (или длиной) указанного элемента и обозначаемое символом 8х8.
1!. Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам: 1'. 8х8 ) О, если х — ненулевой элемент; 8х8 = О, если х — нулевой элемент; 2'. 8Лх8 = )Л) '8х() для любого элемента х и любого вещественного числа Л; 3'. для любых двух элементов х и у справедливо следующее неравенство '8х+ У8 < ()х8+ 8У8, (4.8) называемое неравенством треугольника (или неравенством Минковского). Теорема 4.2. Всякое евклидова пространство является нормированным, если норму любого элемента х в нем определить равенством !)х8 = ь7(х,х). (4.9) Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что для нормы, определенной соотношением (4.9), справедливы аксиомы 1' — 3' из определения нормированного пространства.
Справедливость для нормы аксиомы 1' сразу вытекает из аксиомы 4' скалярного произведения. Справедливость для нормы аксиомы 2' почти непосредственно вытекает из аксиом 1' и 3' скалярного произведения. Остается убедиться в справедливости для нормы аксиомы 3; т.е. неравенства (4.8). Будем опираться на неравенство Коши †Буняковского (4.8), которое перепишем в виде ~(х, у)~ ( ьг(х,х) ь/(у, у). (4.7') С помощью последнего неравенства, аксиом 1' — 4' скалярного произве- дения и определения нормы получим = фх, х) + „Г(У, У) = ()х8 -Ь '8У8. Теорема доказана. Следствие. Во всяком евклидовом пространстве с нормой элементов, определяемой соотношением (4.9), для любык двух элементов х и у справедливо неравенство треугольника (4.8).
85 ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Заметим далее, что в любом вещественном евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между двумя произвольными элементами х и у это~о пространства. В полной аналогии с векторной алгеброй, мы назовем углом ьэ между элементами х и у тот (изменяющийся в пределах от О до я) угол, косинус которого определяется соотношением (х, у) (х, у) ьхь' ЕУ!~ ~/(х х) А/(у у) Данное нами определение угла корректно, ибо в силу неравенства Коши †Буняковско (4.?') дробь, стоящая в правой части последнего равенства, по модулю не превосходит единицы. Далее договоримся называть два произвольных элемента х и у евклидова пространства Е ортогональными, если скалярное произведение этик элементов (х, у) равно нулю (в этом случае косинус угла р между элементами х и у будет равен нулю). Снова апеллируя к векторной алгебре, назовем сумму х + у двух ортогональных элементов х и у гипотенузой прямоугольного треугольника, построенного на элементах х и у.
Заметим, что во всяком евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора: квадрат гипотенузгя равен сумме квадратов катетов. В самом деле, поскольку х и у ортогональны и (х, у) = О, то в силу аксиом и определения нормы '5х+ у() = (х+ у, х+ у) = = (х, х) + 2(х, у) + (у, у) = (х, х) + (у, у) = /!х!/~ + /!у//~. Этот результат обобщается и на и попарно ортогональных элементов хн хз, ..., х„: если я = х1+ хз+ ... + хп, то 'ВВВ = (х|+ ха + ... + х„, х~ + хз + ...
+ х„) = = (хп х1) + (хз, хз) + ... + (х„, х„) = = ()Х~(! + ЬХЗ'Ь' + ... + Вхь'я В заключение запишем норму, неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника в каждом из конкретных евклидовых пространств, рассмотренных в предыдущем пункте. В евклидовом пространстве всех свободных векторов с обычным определением скалярного произведения норма вектора а совпадает с его длиной ~а~, неравенство Коши †Буняковско приводится к виду (а, Ь)а < )а(~)Ь|~ '), а неравенство треугольника — к виду (а + Ь| < < )а(+ (Ь! Я). ') Для скалярного произведения векторов (а, Ь) =- 1а~)Ь| сов 1ь это неравенство тривиально вытекает из того, что соз зь < 1. -) Если сложить векторы а н Ь по правилу треугольника, то это неравенство тривиально сводится к тому, что одна сторона треугольника не превосходит суммы двух других его сторон.
(гл. 4 86 евклидовы пРОстглнствл В евклидовом пространстве С(о, Ь) всех непрерывных на сегменте а < 2 < Ь функций х = х(2 со скалярным произведением (4.1) норма ь элемента х = х(2) равна )'х2(2) с22, а неравенства Коши — Буняковско- а го и треугольника имеют вид 2 ь Ь ь Пх(2)+ у(2)12 с~а < ) х2(Ь) сй + ('у2(2) сН а а а Оба зти неравенства играют важную роль в различных разделах математического анализа. В евклидовом пространстве Е" упорядоченных совокупностей п вещественных чисел со скалярным произведением (4.2) норма любого ЭЛЕМЕита Х = (Х!, Х2,...,Хи) РаВНа а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют вид (Х!У! + Х2У2 + ° ° + Хпуп) < (Х! + Х2 + .
+ Хп) (У! + У2 + .. + Уи)' (х! + У!) + (х2+ Уг) + ... + (хп + Уп) < < х2+х2+...+х2 + уз+уз+...+У2. Наконец, в евклидовом пространстве упорядоченных совокупностей и вещественных чисел со скалярным произведением (4.5) норма любого элемента х = (х!, х2,..., хп) равна ') п п '8х!) = Ь 2 асс,хсхс,, с=! ь=! а неравенства Коши — Буняковского и треугольника имеют вид с и и / п п / и п асьх,уь) < 1 ~ ~ а,ьх,хь) 1 ~ ~ асьу,уь с=! Ь=! с=! ь=! Ь=! Ь=! и и и п с!!ах!ха + ~ ~ осьуауь с=! Ь=! с=! ь=! ') Напоминаем, что при этом матрипа (4.3) симметрична и порождает положительно определенную квадратичную форму (4.4). 87 БАзис Бвклидовл НРостРАнствА ф 2.
Ортонормированный базис конечномерного евклидова пространства В этом параграфе будут изучаться евклидовы пространства конечной размерности п. распространение изучаемых здесь результатов на бесконечномерные евклидовы пространства выходит за рамки этой книги и является предметом специального изучения. (Такие пространства изучаются в главах 1О и !1 выпуска «Основы математического анализа, часть В>.) 1. Понятие ортонормированпого базиса и его существование. В гл.2 было введено понятие базиса и-мерного линейного пространства. В линейном пространстве все базисы являлись равноправными, и у нас не было оснований предпочитать один базис другому. В евклидовом пространстве существуют специальные, особо удобные базисы, называемые ортонормированнгнми базисами. Эти базисы играют ту же роль, что и декартов прямоугольный базис в аналитической геометрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
