В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 16
Текст из файла (страница 16)
..., 4,..., 7(„(с сохранением без изменения всех остальных столбцов М). Тогда, записывая решение системы (3.19) с помощью формул Крамера и пользуясь линейным свойством определителя, мы получим 1 с; = — М7(Ь, — ан,ьцс, 71 — ... — ашс„) = М 1 = — '!М;(Ьг) — с,ч 1М (ац,ь0) — ... — с„М (аг„)! (3.20) 0=1,2,...,7). ') Так как ранги основной и расширенной матриц оба равны г, то базисный минор основной матрицы будет одновременно являться базисным минором и расширенной матрицы.
92) отыскание Решении линеинои системы Формулы (3.20) выражают значения неизвестных ху = с, (~ = 1, 2,... ..., Р) через коэффициенты при неизвестных, свободные члены и произвольно заданные параметры с,м!, ..., с„. Докажем, что формулы (3.20) содержат любое решение системгл (3.!). В самом деле, пусть сн со,..., со, с", 1, ..., с! — произвольное решение указанной системы. Тогда оно является решением и системы (3.19). Но из системы (3.19) величины со, со, ..., со определяются через величины сое!,..., со однозначно и именно по формулам Крамера (3.20).
Таким образом, при с,ч.~ — — соч!, ..., с„= со формулы (3.20) дают нам как раз рассматриваемое решение сн с,..., с„, с„н..., с„. Замечание. Если ранг г основной и расширенной матриц системы (3.1) равен числу неизвестных п, то в этом случае соотношения (3.20) переходят в формулы с,= ''' О=!,2,...,п), м,(ь,) х! — хг + хз — хл = 4, х! + хз + 2хз + Зхл = 8, 2х! +4хз+ 5хз+10хл = 20, 2х! — 4ха + хз — бх! = 4. (3.21) Нетрудно убедиться в том, что ранг как основной, так и расширенной матрицы этой системы равен двум (т.е, эта система совместна), причем можно считать, что базисный минор М стоит в левом верхнем углу ! — ! основной матрицы, т.е.
лт' = ! — — 2. Но тогда, отбрасывая два последних уравнения и задавая произвольно сз и с4, мы получим си- стему х! — хз =4 — сз+ с4, х! + хз = 8 — 2сз — Зол, из которой в силу формул Крамера получаем значения 3 ! х! = с! = 6 — — сз — с4, хз = са = 2 — — сз — 2сл. 2 ' 2 (3.22) Таким образом, четыре числа ( 3 1 6 — — сз — с4, 2 — —, сз — 2сл, с1, сл) 2 ' ' 2 (3.23) при произвольно заданных значениях сз и с! образуют решение системы (3.21), причем строка (3.23) содержит все решения этой системы.
определяющие единственное решение системы (3.1). Таким образом, система (3,1) имеет единственное решение (т,е. является определенной) при условии, что ранг т основной и расширенной ее матриц равен числу неизвестных п (и меныпе числа уравнений т или равен ему). П р и м е р. Найдем все решения линейной системы (гл. 3 74 СИСТЕМЫ ЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ 3. Свойства совокупности решений однородной системы. Рассмотрим теперь однородную систему т линейных уравнений с п неизвестными (3.7), предполагая, как и выше, что матрица (3.2) имеет ранг, равный г, и что базисный минор М расположен в левом верхнем углу этой матрицы.
Поскольку на этот раз все Ь! равны нулю, вместо формул (3.20) мы получим следующие формулы: сз — — — — (сч!Му(аеп! !!) + ... + спМэ(аьпЯ (7' = 1, 2,..., 7), (3 24) ! выражающие значения неизвестных х, = су (~ = 1, 2,..., г) через коэффициенты при неизвестных и произвольно заданные значения с„ч!,..., с„. В силу доказанного в предыдущем пункте формулы (3.24) содержат любое решение однородной системы (3.7). Убедимся теперь в том, что совокупность всех решений однородной системь! (3.7) образует линейное п~!остранство. Пусть Х! = (х!, ..., х ) и Хз = (х,,..., хп ) — два произволь- !!! О ! з! !з! ных решения однородной системы (3.7), а Л вЂ” любое вещественное число. В силу того, что каждое решение однородной системы (3.7) является элементом линейного пространства А" всех упорядоченных совокупностей п чисел, достаточно доказать, что каждая из двух совокупностей Х!+Хз = (х! +х!,..., х(0+х1,)) и ЛХ! = (Лх! 1,..., Лх~(!) также является решением однородной системы (3.7).
Рассмотрим любое уравнение системы (3.7), например 1-е уравне- ние, и подставим в это уравнение на место неизвестных элементы ука- занных совокупностей. Учитывая, что Х! и Ха — решения однородной системы, будем иметь и и и а! ~х. +х!. ] = 2 аих +2 аих. =О, у=! у=! з=! аи ~Лх~. ] = Л ~ а!ух! = О, з=! у=! а это и означает, что совокупности Х! + Хз и ЛХ! являются решени- ями однородной системы (3.7). Итак, совокупность всех решений однородной системы (3.7) обра- зует линейное пространство, которое мы обозначим символом 77. Найдем размерность этого пространства 77, и построим в нем базис. Докажем, что в предположении о том, что ранг матрицы однородной системы (3.7) равен т, линейное пространство 77 всех реи!ений од- нородной системы (3.7) изоморфно линейному пространству А" ' всех упорядоченных совокупностей (п — т) чисел ') .
') Пространство А введено в примере 3 п, ! Ез ! гл.2. 75 ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИИ ЛИНЕИНОИ СИСТЕМЫ М1 (а,(„2) ) "=-(- М М„(а,(„э2)) — —, О, 1,..., 0), (3.25) 7 М1 (а,„) М Поставим в соответствие каждому решению (с1,..., с„, с„„1,... , с„) однородной системы (3.7) элемент (с„э1,..., с„) пространства А(" "). Поскольку числа с„э1,..., с„, могут быть выбраны произвольно и при каждом выборе с помощью формул (3.24) однозначно определяют решение системы (3.7), то установленное нами соответствие является взаимно однозначным. Далее заметим, что если элементы (с,э1, ..., с„) и (с,ь1, ..., с„) пространства А" ' отвечают элемен- (1) (1) (2) (2) там (с,,..., с,, с,,,..., с„) и (с,,..., с„, с, 1, ..., с„) про- (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) ст(2анства й, то из формул (3.24) сразу же следует, что элементу (с,, + с, н ..,, с„+ с„) отвечает элемент (с, + с,,..., с, + О (2) (1) (2 (1) (2) (1) + с,, с„ , + с, н ..., с„ + с„ ), а элементу (Лс, н ..., Лс„ ) при (2) (1) (2) 0) за) (1) 0) любом вещественном Л отвечает элемент (Лс(, ..., Лс(, Лс,)н ...
..., Лс„). Тем самым доказано, что установленное нами соответствие является изоморфизмом. Итак, линейное пространство й всех решений однородной системы (3.7) с и неизвестными и рангом основной матрицы, равным г, изоморфно пространству А" ' и, стало быть, имеет размерность п — г. Любая совокупность из (п — г) линейно независимых решений однородной системы (3,7) образует (в силу теоремы 2.5) базис в пространстве 77 всех решений и назь1вается фундаментальной совокупностью решений однородной системьг (3.7).
Для построения фундаментальной совокупности решений можно отправляться от любого базиса пространства А" '. Отвечающая этому базису совокупность решений системы (3.7), в силу изоморфизма, будет линейно независимой и поэтому будет являться фундаментальной совокупностью решений. Особо выделяют фундаментальную совокупность решений системы (3.7), отвечающую простейн1ему базису е1 = (1, О, О, ..., 0), е2 = = (О, 1, О,..., 0), ..., е„ „ = (О, О, О,..., 1) пространства А" " и называемую нормальной фундаментальной совокупностью решений однородной системы (3.7).
При сделанных выше предположениях о ранге и расположении базисного минора, в силу формул (3.24), нормальная фундаментальная совокупность решений однородной системы (3.7) имеет вид: (гл. 3 76 СИСТЕМЫ ЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ По определению базиса любое решение Х однородной системы (3.7) представимо в виде (3.26) Х = С Х, +С Х,+...+С„„Х„,, где Сн Сз,..., С„„— некоторые постоянные.
Поскольку в формуле (3.26) содержится любое решение однородной системы (3.7), то эта формула дает общее решение рассматриваемой однородной системы. Пример. Рассмотрим однородную систему уравнений: х| — ха + хз — х4 = О, х1+хз+2хз+Зх4 =О, 2х~ + 4хз + 5хз + 1Ох4 = О, 2х! — 4ха+ хЗ вЂ” бх4 = О, (3.27) соответствующую неоднородной системе (3.21), разобранной в примере в конце предыдущего пункта. Там мы выяснили, что ранг т матрицы этой системы равен двум, и взяли в качестве базисного минор, стоящий в левом верхнем углу указанной матрицы.
Повторяя рассуждения, проведенные в конце предыдущего пункта, мы получим вместо формул (3.22) соотношения 3 1 с1 = — — сз — с4, сз = — — сз — 2с4, 2 ' ' ' 2 Х~ =( — —,— —, 1,0), Хз=( — 1,— 2,0, 1). 2' 2' Общее решение однородной системы (3.27) имеет вид Х = С1 ( — —, — —, 1, 0) + Сз( — 1, — 2, О, 1), (3.28) 3 1 2' 2' где С! и Са — произвольные постоянные. В заключение этого пункта установим связь между решениями неоднородной линейной системы (3.1) и соответствующей ей однородной системы (3.7) '). Докажем следующие два утверждения. 1'. Сумма любого решения неоднородной системы (3.1) с любым решением соответствующей однородной системы (3.7) представляет собой решение системьг (3.1). В самом деле, если сн ..., с„— решение системы (3.1), а 4(н...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
