В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Достаточно доказать, что л ю б ы е (и + 1) элементов этого пространства х1,ха,...,х„э1 линейно зависимы ). Разложив каждый из этих элементов по базису, будем иметь х1 = ане1+ амеа+ ... + а1„е„, ха —— аме1+ аззез + ... + аз,е„, х„ж1 = а1„.„1)1е1 + а1„Р1)зев + ... + а1„э11„ее, где ан, а1ю ..., а1„Р11„— некоторые вещественные числа. Очевидно, линейная зависимость элементов х1, ха,..., х„э1 эквивалентна линейной зависимости строк матрицы ам ...

а1„ аз ... а„ ап аи А= аб,~.и1 а1„РН ... ащ, Н„ ') Йбо базисные элементы е1, ем ..., е„образуют систему п линейно независимых элементов пространства Я. ") См. теорему 1.б из и. 2 й 3 гл. 1. Но строки указанной матрицы заведомо линейно зависимы, ибо порядок базисного минора этой матрицы (содержащей (и+ 1) строк и и столбцов) не превосходит и, и хотя бы одна из (и + 1) ее строк не является базисной и по теореме о базисном миноре а) представляет собой линейную комбинацию базисных (а стало быть, и всех остальных) строк. Теорема доказана. Обращаясь к примерам, рассмотренным в конце предыдущего пункта, мы теперь можем сказать, что размерность пространства В1 всех свободных векторов равна трем, размерность пространства А" равна п, а размерность пространства (л) равна единице.

Примером бесконечномерного пространства может служить линейное пространство С (а, Ь) всех функций а = х(1), определенных и непрерывных на сегменте а < 1 < Ь (см. пример 4 из п.1 Э 1). В самом деле, для любого номера п система (и + 1) элементов этого пространства 1, й гз,..., 1" является линейно независимой (ибо в противном случае некоторый многочлен Со + С11 + СЗ1~ + ... + С„1", не все коэффициенты Со, С1,..., С„ которого равны нулю, оказался бы тождественно равным нулю на сегменте а < 1 < Ь). 4. Понятие изоморфизма линейных пространств. В этом пункте мы покажем, что различные линейные пространства одной и той же размерности г1 в смысле свойств, связанных со введенными в этих пространствах операциями, по существу не отличаются друг от друга.

Так как в линейных пространствах введены лишь операции сложения элементов и умножения элементов на числа, то естественно сформулировать следующее определение. Определение. Два произвольных вещественных линейных пространства Й и Й' называются изоморфнызги, если между элементами 52 (гл. 2 линеиные пгостглнствл этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие ') так, что если элементам х и у пространства Л отвечают соответственно элементы х' и у' пространства Л', то элементу х + у отвечает элемент х' + у', а элементу Лх при любом вещественном Л отвечает элемент Лх'. Заметим, что если линейные пространства й и й' изоморфны, то нулевому элементу й отвечает нулевой элемент й' и наоборот.

(В самом деле, пусть элементу х пространства Л отвечает некоторый элемент х' пространства Л'. Тогда элементу О х пространства й отвечает элемент О х' пространства й'.) Отсюда следует, что если в случае изоморфизма элементам х, у,... ..., я пространства й отвечают соответственно элементы х', у',..., я' пространства Л', то линейная комбинация гхх + )зу + ... + уя является нулевым элементом пространства й тогда и только тогда, когда линейная комбинация ох' + ду' + ... + 7я' является нулевым элементом пространства й'. Но это означает, что если пространства й и й' изоморфны, то максимальное число линейно независимых элементов в каждом из этих пространств одно и то же.

Иными словами, два изоморфным пространства обязаны иметь одинаковую размерность. Стало быть, пространства разной размерности не могут быть изоморфньп Докажем теперь следующее утверждение. Теорема 2.7. Любые два и-мерных веи)естввнних линейных пространства й и Л' изоморфны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем в й какой-либо базис ем ез,..., е„, а в й' какой-либо базис еы е.', ..., е'„. Поставим в соответствие каждому элементу х = х1е1+ хяез+ ... + м„е„пространства й элемент х' = х|е', + хзе' + ...

+ лье'„пространства й' (т.е. мы берем в качестве х' тот элемент й', который имеет относительно базиса ео е', ..., е'„те же самые координаты, что и элемент х относительно базиса е1, ез,..., е„). Убедимся в том, что установленное соответствие является взаимно однозначным. В самом деле, каждому элементу х пространства й однозначно соответствуют координаты хы хз,..., х„, которые, в свою очередь, определяют единственный элемент х' пространства й'. Б силу равноправности пространств Л и й', каждому элементу х' пространства й', в свою очередь, соответствует единственный элемент х пространства й. Остается заметить, что если элементам х и у пространства Л отвечают соответственно элементы х' и у' пространства й', то в силу ) Напомним, что соответствие между элементами двух множеств й и й' называется взаимно однозначным, если при этом соответствии каждому элементу Л отвечает один и только один элемент Л', причем каждый элемент Й' отвечает одному и только одному элементу Л.

43) ПОДПРОСТРЛНСТВА ЛИНЕИНЫХ ПРОСТРАНСТВ теоремы 2.4 элементу х+ у отвечает элемент х'+ у', а элементу Лх отвечает элемент Лх'. Теорема доказана. Из приведенного нами рассмотрения следует, что единственной существенной характеристикой конечномерного линейного пространства является его размерность. ф 3. Подпространства линейных пространств 1.

Понятие надпространства и линейной оболочки. Предположим, что некоторое подмножество Е линейного пространства Рг удовлетворяет следующим двум требованиям. 1'. Если элементы х и у принадлежат подмножеству Ь, то и сумма х+ у принадлежит этому подмножеству. 2'. Если элемент х принадлежит подмножеству Е, а Л вЂ” любое вещественное число, то и элемент Лх принадлежит подмножеству Ь. Убедимся в том, что подмножество 1, удовлетворяющее требованиям 1' и 2; само является линейным пространством. Достаточно убедиться в справедливости для элементов подмножества Е аксиом 1' — 8' из определения линейного пространства.

Все указанные аксиомы, кроме аксиом 3' и 4; заведомо справедливы для элементов подмножества 1, поскольку они справедливы для всех элементов пространства й. Остается проверить выполнение аксиом 3' и 4'. Пусть х — любой элемент подмножества ), а Л вЂ” любое вещественное число. Тогда в силу требования 2' элемент Лх также принадлежит Ь. Остается заметить, что !в силу теоремы 2.2) этот элемент Лх при Л = О превращается в нулевой элемент пространства )1, а при Л = -1 превращается в противоположный для х элемент.

Таким образом, подмножеству ! принадлежит нулевой элемент и противоположный !для каждого элемента х) элемент, а это и означает, что для элементов подмножества ! справедливы аксиомы 3' и 4'. Тем самым полностью доказано, что подмножество Ь само является линейным пространством. Определение. Подмножество Ь линейного пространства )1, удовлетворяющее требованиям 1' и 2; называется линейным подпространством (или просто подпространством) пространства Рс. 1!ростейщими примерами подпространств мокнут служить: 1) так называемое нулевое подпространство, т.е. подмножество линейного пространства )1, состоящее из одного нулевого элемента; 2) все пространство )! (которое, конечно, можно рассматривать как надпространство). Оба эти подпространства принято называть несобственными.

Укажем примеры подпространств более содержательного вида. П р и м е р 1. Подмножество (Р„(!)) всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа п '), в линейном ') Это подмножество введено в примере б п. ! Э ! настояв!ей главы. 54 (гл. 2 линеиные пностглнствл пространстве С(а, Ь) всех функций к = к(!), определенных и непрерывных на сегменте а < ! < Ь ') (справедливость для элементов подмножества (Р„(!)) требований 1' и 2' не вызывает сомнений).

ГГ ример 2. Подмножество Ва всех свободных векторов, параллельных некоторой плоскости, в линейном пространстве Вз всех свободных векторов з) (справедливость для элементов Вз требований 1' и 2' очевидна). П р и м е р 3. Пусть х, у,..., к — совокупность элементов некоторого линейного пространства й. Линейной оболочкой элеменгпов х, у,..., к будем называть совокупность всех линейныя комбинаций этих элементов, т, е, множество элементов вида ох+ Ву -1- ...

+ ук, где о, !3,..., у — какие угодно вещественные числа. Договоримся обозначать линейную оболочку элементов х, у,..., к символом Цх, у,..., к). Для линейной оболочки произвольных элементов х, у,..., к линейного пространства В, очевидно, выполняются требования 1' и 2; сформулированные в начале настоящего пункта. Поэтому всякая линейная оболочка является подпространством основного линейного пространства й.

Это подпространство, очевидно, содержит элементы х, у,..., к, на которых построена линейная оболочка В(х, у,..., к). С другой стороны, всякое подпространство, содержащее элементы х, у,..., к, обязано содержать и все линейные комбинации этих элементов.

Поэтому линейная оболочка элементов х, у,..., к является наименьшим подпространством, содержащим элементы х, у, ..., к. Конкретным примером линейной оболочки может служить линейная оболочка элементов 1, 1, !з,..., 1„линейного пространства С (а, Ь) всех функций к = к(!), определенных и непрерывных на сегменте а < ! < Ь. Эта линейная оболочка, очевидно, представляет собой множество (Р„(!)) всех алгебраических многочленов степени, не превышающей и. Другие примеры подпространств будут рассмотрены в п.3 настоящего параграфа.

Рассмотрим вопрос о размерности подпространства (и, в частности, линейной оболочки). Можно утверждать, что размерность любого подпространства п-мерного линейного пространства В не превосходит размерности тг пространства В (ибо всякзя линейно независимая система элементов подпространства является одновременно линейно независимой системой элементов всего пространства Я).

Более точно можно утверждать, что если подпространство не совпадает со всем п-мерным линейным пространством й, то размерность В строго меньше и. ') Пространство С (а, Ь) введено в примере 4 п, 1 Ь1 этой главы. ") Множества Вз и Вз были введены в примере 1 и. 1 Э 1 этой главы.

Характеристики

Список файлов книги