В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 10
Текст из файла (страница 10)
") См. выпуск «Аналитическая геометрия», гл. 2, й 1, п. 3. 52) БАзис и РАзмеРность линеиного НРостРАнствА 47 Определение 1. Элементы х, у, ..., к пространства Л называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа о, 11,..., т, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация элементов х, у,..., к с указанными числами является нулевым элементом пространства Л, т.е. имеет место равенство (2.2) ох+,Зу + ... + ух = О. Элементы х, у,..., к, не являющиеся линейно зависимыми, мы будем называть линейно независимь1ми. Дадим другое определение линейно независимых векторов, построенное на логическом отрицании содержания определения 1. Определение 2. Элементы х, у,..., к пространства Л называются линеино независимыми, если линейная комбинация (2.1) является нулевым элементом пространства Л лишь при условии о = д = ...
... = т=о. Теорема 2.3. Для того чтобы элементы х, у,..., к пространства Л были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов являлся линейной комбинацией остальных элементов. Доказательство. 1) Необходимость, Пусть элементы х, у,..., к линейно зависимы, т. е.
справедливо равенство (2.2), в котором хотя бы одно из чисел а, д, ..., т отлично от нуля. Пусть, ради определенности, о у': О. Тогда, поделив (2.2) на о и введя обозначения Л = — —, ..., р = — —, мы можем переписать (2.2) в виде д х = Лу + ... + рк, (2.3) а это и означает, что элемент х является линейной комбинацией элементов у,...,х.
2) Достаточность. Пусть один из элементов (например, х) является линейной комбинацией остальных элементов. Тогда найдутся числа Л,..., р такие, что справедливо равенство (2.3). Но это последнее равенство можно переписать в виде ( — 1)х+ Лу+ ... + рх = О. Так как из чисел ( — 1), Л,..., р одно отлично от нуля, то равенство (2.4) устанавливает линейную зависимость элементов х, у,, х.
Теорема доказана. Справедливы два элементарных утверждения. 1. Если среди элементов х, у,..., к имеется нулевой элемент, то эти элементы линейно зависимьп В самом деле, если, например, х = О, то равенство (2.2) справедливо при о = 1, 11 = ... = у = О. 2. Если часть элементов х, у, ..., к являются линейно зависимыми, то и все эти элементы являются линейно зависимыми.
В самом деле, если, например, элементы у,..., к линейно зависимы, то справедливо равенство )зу + ... + тх = О, в котором не все числа д, ..., т равны нулю. Но тогда с теми же числами д,..., у и с о = О будет справедливо равенство (2.2). (гл. 2 линеиные пРООТРАнствА В заключение рассмотрим вопрос о линейной зависимости элементов пространства А", введенного в примере 3 п. 1 31. Докажем, что и элементов указанного пространства е|=(1,0,0, ...,0), ез=(0,1,0,...,0), ез=(0,0, 1, ...,0), (2.
5) е„=(0,0,0, ...,!) являются линейно независимыми, а совокупность и элементов (2.5) и еще одного произвольного элемента х = (хы хз,..., х„) пространства А" уже образует линейно зависимую систему элементов. Рассмотрим линейную комбинацию элементов (2.5) с какими-либо числами аы аз, аз,..., а„, В силу аксиом эта линейная комбинация представляет собой элемент сг1е1 + еаез + ... + О~о~ = (аы сь2... О~), который является нулевым лишь при условии о! = глз = ... = а„= О.
Но это и означает линейную независимость элементов (2.5). Докажем теперь, что система, состоящая из п элементов (2.5) и еще одного произвольного элемента х = (хы ха,..., х„) пространства А", уже является линейно зависимой. В силу теоремы 2.3 достаточно доказать, что элемент х = (хи хз, ..., х„) представляет собой линейную комбинаг!ию элементов (2.5), а это очевидно, ибо в силу аксиом х = (хи ха,..., хь) = х1е|+ хаев + ... + х.„е„. 2. Базис и координаты. Рассмотрим произвольное вещественное линейное пространство тг.
Определение. Совокупность линейно независимых элементов еы ез,..., е„ пространства Л называется базисом этого пространства, если для каждого элемента х пространства Л найдутся вещественные числа хы хз,...,х„ такие, что справедливо равенство (2.6) х = х1е1+ хаев + ... + х„е„. х = х',е|+ хзеа + ... + х'„е„. (2.7) При этом равенство (2.6) называется разложением элемента х по базису еы ез, ..., е„, а числа хи тш..., х„называются координатами элемента х (относительно базиса еи ез,..., е„). Докажем, что каждый элемент х линейного пространства й может быть разложен по базису еи ем ..., е„единственным способом, т.е. координаты каждого элемента х относительно базиса еы ез,..., е„определяются однозначно. Допустим, что для некоторого элемента х наряду с разложением (2.6) справедливо еще и другое разложение по тому же самому базису й2) БАзис и РлзмеРн<1сть линеиного пРостРлнствл 49 Почленное вычитание равенств (2.6) и (2.7) приводит нас к соотношению ') (х1 — х1)е1+ (хз — хз)ез+ ...
+ (х„— х'„)е„= О. (2.8) В силу линейной независимости базисных элементов е1, ез,..., е„, соотношение (2.8) приводит к равенствам х1 — х', = О, хз — х!~ — — О, ... ..., х,„— х'„= О или х1 = хн ха = хз, ..., х = х'„. Единственность разложения по базису доказана. Значение базиса заключается также и в том, что операции сложения элементов и умножения их на числа при задании базиса преврапцаются в соответствующие операции над числами — координатами этих элементов. Именно справедливо следующее утверждение. Теорема 2.4.
При сложении двух любых элементов линейного пространства гь их координаты (относительно любого базиса пространства гс) складываются; при умножении произвольного элемента на любое число Л все координаты этого элемента умножаются на Л. Доказательство. Пусть е1, ею ..., е„— произвольный базис пространства 77, х = х1е1 + хаев + ... + т„,е„ и у = у1е1 + увез + ... + У„е„ вЂ” любые два элемента этого пространства. Тогда в силу аксиом 1' — 8' Х + У = (Х1 + У1)Е1 + (ХЗ + УЗ)ЕЗ + ...
+ (Хн + У„)Еп, Лх = (Лх1)е1 + (Лхз)ез + ... + (Лх„)е„. В силу единственности разложения по базису теорема доказана. Приведем примеры базисов конкретных линейных пространств. Из аналитической геометрии известно, что любые три некомпланарных вектора образуют базис в линейном пространстве Вз всех свободных векторов (это пространство рассмотрено в примере 1 п.1 9 1). Заметим далее, что совокупность и элементов (2.5), рассмотренных в конце п.
1, образует базис в линейном пространстве А", введенном в примере 3 п.) 9 1. В самом деле, в конце предыдущего пункта доказано, что элементы (2.5) линейно независимы и что любой элемент х = (х1, хз,..., х„) пространства А" представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов (2.5). Убедимся, наконец, что базис линейного пространства (х), введенного в примере 2 п. 1 91, состоит из одного элемента, в качестве которого можно взять любой н е н у л е в о й элемент этого пространства (т. е, любое положительное вещественное число хш не равное 1).
Достаточно доказать, что для любого положительного вещественного ') Возможность почленного вычитания равенств (2.6) н (2.7) н производимой группировки членов вытекает нз аксиом 1' — 8'. 50 (гл. 2 линеиные ппостплнствл числа х найдется вещественное число Л такое, что х = хл ') . Но это очевидно: достаточно взять Л = !оя,х.
3. Размерность линейного пространства. Как и выше, будем рассматривать произвольное вещественное линейное пространство Л. Определение 1. Линейное пространство Л называется п-мерным, если в нем существует и линейно независимых элементов, а любые (п+ 1) элементов уже являются линейно зависимыми.
При этом число п называется размерностью пространства Л. Размерность пространства й обычно обозначают символом г!!ш й. Определение 2. Линейное пространство й называется бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых элементов я). В настоящей книге мы будем изучать, в основном, пространства конечной размерности и.
Бесконечномерные пространства составляют предмет спепиального изучения. (Они изучаются в гл. 10 и 11 выпуска «Основы математического анализао, часть 11.) Выясним связь между понятием размерности пространства и введенным в предыдущем пункте понятием базиса. Теорема 2.6. Если й — линейное пространство размерности и, то любые п линейно независимых элементов этого пространства образуют его базис.
Доказательство. Пусть еы еа,..., е„— любая система п линейно независимых элементов пространства й (существование хотя бы одной такой системы вытекает из определения 1). Если х — л ю б о й элемент й, то, согласно определению 1, система (и + 1) элементов х, еы ею ..., е„линейно зависима, т. е. найдутся не все равные нулю числа оо, оы оя, ..., о„такие, что справедливо равенство оох+ о ~е~ + озез + ... + о„е„= О. (2.9) Заметим, что число оо заведомо отлично от нуля (ибо в противном случае из равенства (2.9) вытекала бы линейная зависимость элементов еы еа,..., е„). Но тогда, поделив равенство (2.9) на оо и положив а1 ао а х1 = — —, хо = — —, ..., х„= — —, мы получим из (2.9) ао ао' ' " оо' (2.10) х = х!е! + хаев+ ... + х„е„.
Так как х — произвольный элемент Л, то равенство (2.10) доказывает, что система элементов еы ею ...,е„ является базисом пространства Л. Теорема доказана. Теорема 2.6. Если линейное пространство й имеет базис, состава!ий из п элементов, то размерность й равна п. ') Напомним, что произведение элемента хо на число Л определяется как число хо. ') Для обозначения того, что пространство Л является бесконечномерным, используют следующую символику: й!т й = со. гз2) БАзис и РлзмеРность линеиного пРОстРлнствл 5! Доказательство. Пусть система и элементов е1, ез,..., е„является базисом пространства гс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
