В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Перейдем к конкретным примерам. П р и м е р 1. Пусть требуется вычислить следующий определитель четвертого порядка: 4 99 83 1 0 8 16 0 60 17 134 20 15 43 106 5 Вычитая из первого столбца утроенный последний столбец, будем иметь 1 99 83 ! 0 8 16 0 0 17 134 20 0 43 106 5 Далее естественно разложить определитель по первому столбцу, В результате получим 8 16 0 Ь = ! .
17 134 20 43 106 5 Теперь в определителе третьего порядка вычтем из второго столбца удвоенный первый столбец. Прн этом будем иметь 8 0 0 Ь = 1? 100 20 43 20 5 22) ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Разлагая, наконец, последний определитель третьего порядка по пер- вой строке, окончательно получим ет = 8 20 5 ) = 8(500 — 400) = 800. Пример 2.
Вычислим так называемый вереугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше главной диагонали, равны нулю О О О О ап ам аы аЕ„ПШ О О ат„п а„ а<„ 1П а<„ Оз а„~ а„е Разлагая определитель Ь„по последнему столбцу, мы получим, что он равен произведению элемента а„„на треугольный определитель (и — !)-го порядка Ь„п равный а~~ аз1 аез аЕ„О1 а<„— Оз .. ащ О! О 2 Ляяейяая алгебра Последний определитель мы снова разложим по его последнему столбцу, в результате чего убедимся в том, что он равен произведению элемента а1„01„1! на треугольный определитель (п — 2)-го порядка йе„2. Продолжая аналогичные рассуждения, мы придем к следующему выражению для исходного определителя: Ь„= опаяз...
а„„. Итак, треугольный определитель равен произведению элементов, стони!их на его главной диагонали. 3 а м е ч а н и е 1. Если у определителя Ь равны нулю все элементы, лежащие ниже главной диагонали, то этот определитель также равен произведению элементов, лежащих на его главной диагонали (убедиться в этом можно по схеме, изложенной выше, но примененной не к последним столбцам, а к последним строкам; можно и просто произвести транспонирование йе и свести этот случай к рассмотренному выше).
Аналогичным способом устанавливается, что определитель, у которого равны нулю все элементы, лежащие выше (или ниже) побочной диагонали, равен произведению числа ( — 1)"0' '!22 и всех элементов, лежагцих на этой диагонали. П р и м е р 3. Обобщением треугольного определителя второго порядка может служить определитель 2п-го порядка следующей блочной А О матрицы, С, в которой А, В и С вЂ” произвольные квадратные матрицы и-го порядка, а 0 нулевая квадратная матрица и-го порядка. Убедимся в том, что для указанного определителя справедлива ! гл.! МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ формула ') В С = 1А~1С~.
(1.37) !1,38) !А, В, С и 0 имеют тот же смысл, что и выше). Для этого следует разложить определитель, стоящий в левой части (1.38), по последним и строкам и учесть, что ( !)11п-~-1)-~-.ле2п)-ь!1Е.леп! ( !)2п(2п-21!!2 ( 1)п Пример 4. Вычислим теперь так называемый определип2ель Ван- дермонда 1 1 ... 1 Х1 Х2 ...
Х Х1 Х2 ... Х„ 2Л!Х1, Х2,..., Хп) = (1.39) — 1 1 2 Вычитая первый столбец из всех последующих, будем иметь О (хз — х1) 2 2) О !х„— х1) (х2 — х1) Х1 Х1 2З1,Х1, Х2, ° ° °, Х, ) = х", ' (х," ' — х", ') ... (х„' — х", ') Далее естественно произвести разложение по первой строке, в результате чего мы получим (х2 — х1) д2!х1, хз, ..., хп) = !Х" 1 — Хп ) (Хп 1 — Х" 1) (Х" (хз — х1) ... (х„ (хз — х1) ., (х„ — Х1) 2) ') Напомним, что символами 1А(, 1В~, 1С(, ... мы договорились обозначать определители матриц А, В, С, ... соответственно.
Привлекая теорему Лапласа, разложим определитель, стоящий в левой части (1.37), по первь2м и строках. Так как определитель, у которого хотя бы один столбец состоит из нулей, равен нулю, то в формуле разложения (!.31) будет отлично от нуля только одно слагаемое, причем это слагаемое (в силу того, что ( — 1)!'"-"п!2!'"-"п1 = 1) будет как раз равно 1А~ 1С~. 3 а м е ч а н и е 2. Аналогичными рассуждениями легко убедиться в справедливости формулы гз2) 55 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ (хз — х|) хз(хз — х~) (хз — х~) ... (х„— х1) хз(Х1 — х~) ... Х„(х„— х~) Ь(Х1, Х2,..., Хп) = хз (хз х1) хз (хз х1) ''' х (х х~) Далее мы можем вынести за знак определителя общий множитель первого столбца, равный (Х2 — Х1), общий множитель второго столбца, равный (хз — Х1), ..., общий множитель (п — 1)-го столбца, равный (хп — х1).
В результате получим Ь(хн Х2, ° Хп) = (Х2 — Х1)(ХЗ вЂ” Х1)... (Хп Х1) пх (Х2, ХЗ, ° Хп) ° СО СТОЯЩИМ В ПРаВОй ЧаСтн ОПРЕДЕЛИТЕЛЕМ Ь(Х2, Хз, ..., Хп) ПОСТУПИМ ТОЧНО таК жЕ, КаК И С СХ(Х1, Хз,..., Хп). В рЕЗуЛЬтатЕ ПОЛУЧИМ, Чта '-~(Х2 ХЗ ° ° Хп) = (ХЗ Х2) ° ° ° (Хп Х2) ' й~(ХЗ ° ° Хп) ° Продолжая аналогичные рассуждения далее, окончательно получим, что исходный определитель (1,39) равен Ь(Х1, хз,..., х ) = (хз — х1)(хз — х1) .. ° (Хп Х1)(ХЗ Х2) (Х Х2) (Хп Хп — 1). 6.
Определитель суммы и произведения матриц. Непосредственно из линейного свойства определителя вытекает, что определитель сумль1 двух квадратных латриц одного и того же порядка п А = =- '5а1,(! и В = 561,)! равен сумме всех различных определителей порядка и, которые могут получиться, если часть строк (или столбцов) брать совпадающими с соответствующими строками (или столбцами) матрицы А, а остальную часть — совпадающими с соответствующими строками (или столбцами) В. Докажем теперь, что определитель матрицы С, равной произведению квадратной матриць1 А на квадратную матрицу В, равен произведению определителей матриц А и В.
Пусть порядок всех трех матриц А, В и С равен п, и пусть 0— нулевая квадратная матрица порядка и, а ( — 1)Е следующая матрица: — 1 О ... ΠΠ— 1 ... О О О ... — 1 ( — 1)Е = В силу примера 2 из предыдущего пункта определитель матрицы ( — 1)Е равен числу ( — 1)". Рассмотрим следующие две блочные квадратные матрицы порядка 2п: (-1)Е В'й ' 'й(-ЦЕ О'й Вычитая теперь из каждой строки предыдущую строку, умноженную на Х1, получим (гл. ! МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ В силу формул (1.37) и (1.38) из предыдущего пункта, определители этих матриц равны (-ЦЕ В =~А~ ~В~ (-!)Е О =( 1) ~( 1- А О А С Таким образом, достаточно доказать равенство определителей А О А С ( — 1)Е В ( — 1)Е О Подробнее эти два определителя можно записать так: ги~ ои ...
а1 О О ... О ам аз.... аз„о О ... О а„~ а„з ... а„„о О ... Π— 1 О ... О Ьп Ьы ... Ьы Π— 1 ... О Ьм Ьз ... Ьз о о ... — ! ь„ь„... ь (1.40) сп си .. сги си сзг ... сз ьч~ аы ... аы аз~ озз ... аз а„~ а З ... а„„сгп с„З ... си — 1 О ... О О О ... ΠΠ— 1 ... О О О ... О О О ... — 1 О О ... О Лля того чтобы убедиться в равенстве этих двух определителей, достаточно заметить, что первые п столбцов у этих определителей совпадают, а каждый столбец второго определителя (1.40) с номером п и+ Ь (где Ь = 1, 2,..., и), в силу формулы сиу = ') а,ььь, получается ь=! в результате прибавления к (и+ Ь)-му столбцу первого определителя (1.40) линейной комбинации первых и его столбцов с коэффициентами, соответственно Равными Ьь!, Ььз, ..., Ьь„.
Таким обРазом, определители (1.40) равны в силу следствия 5 нз и. 3. В заключение заметим, что непосредственно из формулы (1.37) А О вытекает, что определитель прямой суммы ~А й! В~ = О В двух матриц А и В равен произведению определителей этих матриц. 7. Понятие обратной матрицы.
Пусть А — квадратная матрица о-го порядка, а Е единичная квадратная матрица того же порядка (см. п.2 31). Матрица В называется правой обратной по отношению к матрице А, если АВ = Е. Матрица С называется левой обратной по отношению к матрице А, если СА = Е. 57 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Так как обе матрицы А и Е являются квадратными матрицами порядка п, то матрицы В и С (при условии, что они существуют) также являются квадратными матрицами порядка и.
Убедимся в том, что если обг матрицьг В и С существуют, то они совпадают между собой. В самом деле, на основании равенств (1.7) (см. п.2 ~ !), соотношений АВ = Е, СА = Е и сочетательного свойства произведения матриц получим С = СЕ = С(АВ) = (СА) В = ЕВ = В. Естественно, возникает вопрос об условиях на матрицу А, при выполнении которых для этой матрицы существуют как левая, так и правая обратные матрицы ').
Теорема 1.4. Для того чтобы для матрицы А существовали левая и правая обратныг матрицы, необходимо и достаточно, чтобьч определитель дед А матрицы А был отличен от нуля. Доказательство. 1) Необходимость. Если для матрицы А существует хотя бы одна из обратных матриц, например В, то из соотношения А В = Е мы получим, что деС А деФ В = де1 Е = 1 а), откуда вытекает, что деь А ф О. 2) Достаточность. Пусть определитель сх = дегА отличен от нуля. Обозначим, как и выше, символом А; алгебраические дополнения элементов агу матрицы А и составим матрицу В, в 1-й строке которой стоят алгебраические дополнения 1-го столбца матрицы А, поделенные на величину определителя Ь; АО А~~ А„~ Ь Ь Ь Аы Азг А„з Ь (1.41) А~„Аг„ А„„ Ь Ь сг Убедимся в том, что эта матрица В является как правой, так и левой обратной по отношению к матрице А.
Достаточно доказать, что оба произведения А В и ВА являются единичной матрицей. Для этого достаточно заметить, что у обоих произведений любой элемент, нг лежащий на главной диагонали, равен нулю, ибо после выноса множителя 1/Ь этот элемент равен сумме произведений элементов одной строки (или одного столбца) на соответствующие алгебраические дополнения другой строки (или другого столбца).
Что же касается элементов, лежащих на главной диагонали, то у обоих произведений АВ и ВА все такие элементы равны единице в силу того, что сумма произведений элементов ) И, стало быть, зти матрицы совпадают. ") де! Е = ! в силу примера 2 нз п.б этого параграфа. (гл. ! 38 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ н соответствующих алгебраических дополнений одной строки (одного столбца) равна определителю. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
