В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Л ~ — вещественное собственное значение оператора А, а е! — единичный собственный вектор, отвечающий этому собственному значению ((~е1(~ = 1). Обозначим через 1:1 (и — 1)-мерное подпространство пространства $', ортогональное к ею Очевидно, 1ч — инвариантное подпространство пространства !г (т.е. если х е Уи то Ах е 1:1). Дей- ') Напомним, что не зсе этн числа равны нулю. (гл. 5 150 линеЙные ОпеРлтОРы ствительно, пусть х Е 'РИ тогда (х, е|) = О. Поскольку оператор А самосопряженный и Л1 — собственное значение А, получим (Ах, е1) = =- (х, Ае1) = Л1(х, е1) = О.
Следовательно, Ах е Ъ'и и поэтому Ъ'1 — инвариантное подпространство оператора А. Поэтому мы можем рассматривать оператор А в подпространстве $'~. Ясно, что в Рт оператор А будет самосопряженным. По теореме 5.34 у оператора А, действующего в 11, имеется вещественное собственное значение Ла, которому отвечает собственный вектоР ез Е Ъ) опеРатоРа А, УдовлетвоРЯющий Условию 5ез5 = !.
Обращаясь далее к (и — 2)-мерному подпространству Ъ~, ортогональному векторам е| и ею и повторяя только что описанные рассуждения, мы построим собственный вектор ез оператора А, ортогональный векторам е~ и ез и удовлетворяющий условию ~~ез~~ = 1. Рассуждая и дальше таким же образом, мы в результате найдем и взаимно ортогональиых собственных векторов ен ею..., е„оператора А, удовлетворяющих условию 5еь5 = 1, й = 1, 2,..., и. Очевидно, векторы (еь) образуют базис в К Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е, Пусть еи ею..., е„— ортонормированный базис в а-мерном евклидовом пространстве 1', состоящий из собственных векторов самосопряженного оператора А, т. е.
Аеь = Льею Тогда матрица оператора А в базисе (еь) является диагональной, причем диагональные элементы имеют вид а,„ = Лю ь Отметим, что если (еь) — произвольный ортонормированный базис в вещественном евклидовом пространстве Ъ', то матрица самосопряженного оператора А будет симметричной, т.е. А' = А. Верно и обратное утверждение, т.е. если в некотором ортонормированном базисе (еь) матрица оператора является симметричной, то оператор А— самосопряженный. Этим вещественный случай отличается от комплексного, поскольку в комплексном случае оператор А является самосопряженным тогда и только тогда, когда матрица А этого оператора в ортонормированном базисе является эрмитовой, т.е.
элементы а' матрицы А удовлетворяют условию а'„= а," (черта означает комплексное сопряжение). Указанное утверждение непосредственно следует из того, что если (и'„) — матрица оператора А, то матрица сопряженного оператора в вещественном случае равна (а~), а в комплексном случае — (ай), что легко проверяется прямым вычислением. 2. Ортогоиальные операторы. В комплексном евклидовом пространстве важную роль играют унитарные операторы, введенные в 2 7. Аналогом унитарных операторов в вещественном евклидовом пространстве являются ортогональные операторы.
Определение 1. Линейный оператор Р, действующий в вещественном евклидовом пространстве Ъ', называется ортогональным, если для любых х и у из Ъ' выполняется равенство (Рх, Ру) = (х, у). (5.119) !5! 99) линеиные опеглтогы Таким образом, ортогональный оператор сохраняет скалярное произведение.
Отсюда непосредственно следует, что если е!, еа,..., е„— ортонормированный базис евклидова пространства 1г, то Ре!, Реэ,... ..., Ре„ также является ортонормированным базисом. В дальнейшем условие (5.1!9) будем называть условием ортогональности оператора Р. Справедливо следующее утверждение. Теорема 5.36. Для того чтоб!я линейный оператор Р бьгл ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы существовал оператор Р ' и было выполнено равенство Р" =Р (5. 120) где Р* — оператор, сопряженный к Р, а Р ' — оператор, обратный к Р.
Доказательство. !) Необходимость. Пусть Р— ортогональный оператор, т.е. выполняется условие (5.119). Применяя сопряженный оператор Р*, это условие можно записать в виде (Р'Рх, у) = = (х, у). Таким образом, для любых х и у выполняется равенство ((Р*Р— 1)х, у) = О. Фиксируя в этом равенстве любой элемент х, считая у произвольным, получим, что линейный оператор Р*Р— 1 действует по правилу (Р*Р— 1)х = О. Следовательно, Р*Р = 1; совершенно аналогично можно убедиться, что РР* = 1. Таким образом, операторы Р* и Р взаимно обратны, т. е. условие (5.120) выполнено.
2) Достаточность. Пусть выполнено условие (5.120). Тогда, очевидно, РР" = Р*Р =1. Обращаясь к определению сопряженного оператора и используя только что написанные соотношения, получим для любых х и у равенства (Рх, Ру) = (х, Р*Ру) = (х, 1у) = (х, у).
Мы видим, что условие (5.119) выполнено, следовательно, оператор Р ортогональный. Теорема доказана. Введем теперь понятие ортогональной матрицы Р. Определение 2. Матрица Р называется ортогональной, если Р'Р = РР' = 1, (5.121) где Тн — транспонированная матрица, а 1 — единичная матрица. Если е!, ез,, .., е„— ортонормированный базис в евклидовом пространстве 1г, то оператор Р является ортогональным тогда и только тогда, когда его матрица в базисе (еь) ортогональна.
Непосредственно из равенства (5.121) следует, что если матрица Р = (рь) является ортогональной, то ! ! при !с = й (О при к ~1. ь=! (гл. 5 152 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРЛТОРЫ В комплексном евклидовом пространстве аналогом ортогональной матрипы является унитарная матрица.
Именно, матрица ст называется унитарной, если выполняется соотношение (5.122) в котором Ьг* — эрмитово сопряженная матрица, т.е. ЕГ* = Г, где штрих означает транспонирование, а черта — комплексное сопряжение. Нетрудно показать, что в ортонормированном базисе матрица линейного оператора С является унитарной тогда и только тогда, когда оператор 13 является унитарным. В заключение рассмотрим для примера ортогональные преобразования в одномерном и двумерном пространствах.
В одномерном случае каждый вектор х имеет вид х = ае, где а— вещественное число и е — вектор, порождающий данное пространство. Тогда Ре = Ле, и так как (Ре, Ре) = Лз(е, е) = (е, е), то Л = ш1. Таким образом, в одномерном случае существуют два ортогональных преобразования: Р,х = х и Р х = — х. В двумерном случае каждое ортогональное преобразование определяется в произвольном ортонормированном базисе ортогоУа ЬЛ нальной матрицей порядка 2, т.е, матрицей Р = ( „) .
Из усло(с вия РР' = Р'Р = 1 следует аа+Ь =1, аз=0~, Ьз= с~, ас+ДЬ=О, аЬ+сй=О. Полагая а = соя у, 6 = — з1п у, получаем, что каждая ортогональная матрица порядка 2 имеет вид 1' сову — гйп у Л ~~з1пу ~сову/' причем во второй строке в обоих случаях следует брать либо знак +, либо знак — . Отметим, что г1е1 Р~ = ш1.
Ортогональная матрица Рэ называется собственной, а ортогональная матрица Р— несобственной. Оператор Рэ с матрицей Р в ортонормированном базисе еи еа осуществляет поворот в плоскости еи еа па угол у. Для того чтобы выяснить, как действует оператор Р с матрицей Р, введем матрицу Я = (О ), совпадающую с Р при у = О, и за- /1 От метим, что Р = ОРэ. Матрице Я отвечает отражение плоскости относительно оси еи следовательно, действие оператора Р заключается в повороте на угол у и последующем отражении.
Заметим, что векторы Р еи Рэез образуют, в силу ортогональности Р,, ортонормированный базис и в этом базисе матрица оператора Р совпадает с Я, т.е. является диагональной. В обцгем случае, когда ортогональный оператор Р действует в и;мерном евклидовом пространстве, существует ортонормированный 153 й9~ ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ базис еы ез,..., е„, в котором матрица оператора Р имеет вид 1 1 — 1 — 1 — Мп сп — соя 1с| соя Зя~ я|п сп соз Уь — Я1п 1Яя сйп уя — соя 1сь В этой матрице все элементы, кроме выписанных, равны нулю. Таким образом, в некотором ортонормированном базисе действие ортогонального оператора сводится к последовательным поворотам и отражениям относительно координатных осей.
Глава 6 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ И ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В настоящей главе изучаются различные методы решения системы линейных уравнений с вещественными коэффициентами относительно неизвестных, также принимающих вещественные значения. Все используемые на практике методы решения систем линейных уравнений можно разделить на две большие группы: точные методы и итерационные методы.
Под точным методом решения понимается метод, теоретически позволяющий получить точные значения неизвестных в результате проведения конечного числа арифметических операций. Примером точного метода может служить изложенный в гл. 3 метод, основанный на применении формул Крамера ') . Итерационные методы позволяют получить искомое решение лишь в виде предела последовательности векторов, построение которых производится с помощью единообразного процесса, называемого процессом итераций (последовательных приближений).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
