В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Теорема доказана. Теорема 5.26. Для того чтобы полутораличейная форма В(х, у) была эрмитовой, необходимо и достаточно, чтобы функция В(х, х) была вещественной. Доказательство. Форма В(х, у) будет эрмитовой в том и только в том случае, когда линейный оператор А в представлении (5.80) этой формы является самосопряженным (см. теорему 5.25). Согласно же теореме 5.!8, для того чтобы оператор А был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы для любого х скалярное произведение (Ах, х) было вещественным. Теорема доказана.
Введем теперь понятие квадратичной формы. Пусть В(х, у) — эрмитова форма. Квадратичной формой, соответствующей форме В(х, у), называется функчия В(х, х). Докажем следующую теорему о приведении квадратичной формы к сумме квадратов. Теорема 5.27. Пусть В(х, у) — эрмитова форма, определенная на всевозможных векторах х и у и-мерного евклидова пространства 1'. Тогда в этол пространстве существует такой ортонормированный базис (еь) и можно указать такие вещественные числа Ль, что для любого х, принадлежащего 1', квадратичная форма В(х, х) может бь!ть представлена в виде следующей суммы квадратов координат гь вектора х в базисе (еь); 57) 187 УНИТАРНЫЕ И НОРМЛЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Из (5.83), (5.84) и ортонормированности базиса (еь) получим следующее выражение для (Ах, х): и (А, ) = 5- Л, ~~, ~'.
ь=! Из этого выражения и из соотношения (5.82) получим (5.81). Теорелча доказана. Докажем теперь важную теорему об одновременном приведении двух квадратичных форм к сумме квадратов. Теорема 5.28. Пусть А(х, у) и В(х, у) — зрмитовы формы, определенные на всевозможных векторах х и у п-мерного линейного пространства К Допустим далее, что для всех ненулевых элементов х из 1У имеет место неравенство В(х, х) > О. Тогда в пространстве Ъ' можно указать базис (еь) такой, что квадратичньче формь! А(х, х) и В(х, х) могут быть представлены в следующем виде: А(х, х) = 'ч ЛЕ15Е1~, (5.85) ь=! В(х, х) = 2 (8ь~~, (5.86) ь=! где Ль — вещественньче числа, а 5ь — координаты вектора х в базисе (еь). Доказательство.
Так как свойства скалярного произведения и свойства эрмитовой формы В(х, у) при дополнительном требовании о том, что В(х, х) > О при х у-. О, формулируются одинаково, мы можем ввести в линейном пространстве 1У скалярное произведение (х, у) векто ов полагая Р (х, у) = В(х, у). Таким образом, 1У представляет собой евклидова пространство со скалярным произведением (5,87). По теореме 5.27 можно указать в 1' такой ортонормированный базис (еь) и такие вещественные числа Ль, что в этом базисе квадратичная форма А(х,х) будет представлена в виде (5.85). С другой стороны, в любом ортонормированием базисе скалярное произведение (х,х), равное, согласно (5.87), В(х,х), равно сумме квадратов модулей координат вектора х.
Таким образом, представление В(х, х) в виде (5.86) также обосновано. Теорелча доказана. 8 7. Унитарные и нормальные операторы В этом параграфе рассматриваются свойства важного класса операторов, действующих в евклидовом пространстве 1У. Определение 1. Линейный оператор 17 из ЦГ, Ъ') называется унитарным, если для любых элементов х и у из 1У справедливо соотношение (ТТх, 1)у) = (х, у).
(5.88) (гл. 5 138 линейные опеьатогы В дальнейшем соотношение (5.88) будем называть условием унитарности оператора. 3 а м е ч а н и е 1. Из условия (5.88) унитарности оператора следует, что для любого унитарного оператора Т) справедливо равенство '8'1)х'8' = 1х8. Отметим следующее утверждение. Если Л вЂ” собственное значение унитарного оператора 1), то (Л( = 1.
Действительно, если Л вЂ” собственное значение 1), то существует такой элемент е, что 8е8 = 1 и 1)е = Ле. Отсюда и из замечания 1 следуют соотношения )Л) = '8Ле8 = '81)е8 = '8е8 = 1. Утверждение доказано. Докажем следующую теорему. Теорема 5.29. Для того чтобы линейный оператор 1), действуюи!ий в евклидовом пространстве И, был унитарныл, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено соотношение (5.89) Доказательство. 1) Необходимость. Пусть оператор унитарный, т.е. выполнено условие (5.88). Обращаясь к определению сопряженного оператора 1)*, можно переписать это условие в следующей форме '): (1)"1)х, у) = (х, у), (5.90) или, иначе, для любых х и у выполняется равенство ((~3'13 — 1)х, у) = О.
Фиксируя в этом равенстве любой элемент х и считая у произвольным, получим, что линейный оператор Т)'11 — 1 действует по правилу (Т)*11 — 1)х = О. Следовательно, 1)*11 = 1. Совершенно аналогично можно убедиться, что 1111* = 1.
Таким образом, Т) и 1)' — взаимно обратные операторы, т. е. соотношение (5.89) выполнено. Необходимость условия теоремы доказана. 2) Достаточность. Пусть выполнено условие (5.89). Тогда, очевидно, Ш1* = О*13 = 1. Обращаясь к определению сопряженного оператора и используя только что написанные соотношения, получим при любых х и у равенства (1)х, Т)у) = (х, 11'Т)у) = (х, 1у) = (х, у). Таким образом, условие (5.88) унитарности оператора выполнено.
Следовательно, оператор 11 унитарный. Теорема доказана. ') Напомним, что оператор 11 называется сопряженным к оператору 11, если для любых х и у выполняется соотношение (х, 1!у) = (11"я, у). Полагая х = 11х, получим (5.90). й7) !39 УНИТАРНЫЕ И НОРМЛЛЬНЫЕ ОПЕРЛТОРЫ 3 а м е ч а н и е 2. В процессе доказательства теоремы установлено, что условие (5.88) унитарности оператора 13 и условие (5.91) эквивалентны. Таким образом, в основу определения унитарного оператора можно положить условие (5.91).
Это условие также можно называть условием унитарности оператора с!. Введем понятие нормального оператора. Определение 2. Линейный оператор А называется нормальным, если справедливо соотношение А*А = АА*. (5.92) Обращаясь к условию (5.91) унитарности оператора и к условию (5.92), мы видим, что любой унитарный оператор является нормальнь!м оператором. Нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.
Лемма. Пусть А — нормальньгй оператор. Тогда оператор А и оператор А* имеют общий собственный элемент е такой, что !!е!! = 1 и справедливы соотношения Ае = Ле и А*е = Ле. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Л вЂ” собственное значение оператора А, и пусть йх = 1гег(А — Л1). Иными словами, йх — множество всех элементов х таких, что Ах — Лх = О. Убедимся теперь, что если х принадлежит йх, то и А'х принадлежит йю Действительно, если Ах = Лх (т, е, х е 77х), то, поскольку А — нормальный оператор, А(А'х) = А'(Ах) = А*(Лх) = Л(А'х). Иными словами, вектор А'х является собственным вектором оператора А н отвечает собственному значению Л, т.е. принадлежит йх.
Рассматривая далее оператор А* как оператор, действую!ций из йх в Яю и используя вывод следствия из теоремы 5.8 о том, что каждый линейный оператор имеет собственное значение, мы можем утверждать, что в Йх существует элемент е такой, что !!е!! = 1 и справедливы соотношения А*е = !ге и Ае = Ле.
Используя эти соотношения и условие !!е!! = 1, найдем (Ае, е) = = (Ле, е) = Л!!е!!з = Л, (е, А*е) = (е, ре) = р!!е!!з = р. Так как (Ае, е) = (е, А" е), то, очевидно, Л = р. Лемма доказана. Докажем теперь следующую теорему. Теорема 5.30. Пусть А — нормальньш" оператор. Тогда существует ортонормированный базис (еь), состоящии из собственных элементов операторов А и А'. Доказательство. Согласно только что доказанной лемме операторы А и А* имеют принадлежащий И общий собственный элемент е!, причем !!е!!! = 1.
Собственные значения для операторов А и А*, соответствующие е!, равны соответственно Л! н Л!. (гл. 5 140 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРЛТОРЫ Пусть Р1 — ортогональное дополнение элемента е1 до пространства К Иными словами, 1ч — совокупность всех х, удовлетворяющих условию (х, е|) = О. Докажем, что если х принадлежит 1'н то Ах и А'х принадлежат Рн Действительно, если (х, е,) = О, то (Ах, е|) = (х, А е ) = (х, Л1е1) = Л1(х, е~) = О, т.е. Ах Е 1'ы Аналогично, если (х, е!) = О, то (А*х, е,) = (х, Ае,) = (х, Л|е|) = Л~(х, е,) = О, Ах = ')" Ль(х, еь)еь. ь=! Докажем, что сопряженный оператор А' действует по правилу А*у = 2 ' Ль(у, еь)еь.
(5.93) ') Представление (5.69) справедливо для любого оператора, имеющего п попарно ортогоиальиых собственных векторов. т.е. А*х е 1гы Таким образом, Ъ'! — инвариантное подпространство операторов А и А". Поэтому, по только что доказанной лемме, в подпространстве 1г1 существует общий собственный элемент ез операторов А и А' такой, что Аеа = Лзег, А*ез = Лзеа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
