В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 37
Текст из файла (страница 37)
При такой замене соотношение для погрешности Яь переходит в следующее соотношение для Ра! )хме ! = ( Š— тач ! С) )ьн (й = О, 1, 2, ...), ') Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894) — великий русский математик и механик. !69 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ где через С обозначена матрица вида С = В 'гаАВ 'гз. Убедимся в том, что квадрат обычной нормы вектора 1ГЕ равен квадрату энергетической нормы вектора гзя. В самом деле, [[Ъ'~[[~ = (\ '~, Ъ'~) = (В'~~Я, В'~~7) = (ВЛЫ Я~) = [[У~[[~~. Таким образом, для оценки энергетической нормы ль достаточно оценить обычную норму Ую Оценим норму [[Уь[[. Прежде всего заметим, что из неравенств у1(ВХ, Х) < (АХ, Х) < "Гз(ВХ, Х) с помощью замены Х = = В 'УЕУ получаются неравенства у|(У, У) < (СУ, У) < уз(У, У). Последние неравенства эквивалентны тому, что гп Е < С < уаЕ.
Поскольку, кроме того, матрица С = В 'У АВ 'г~ симметрична, то все собственные значения этой матрицы вещественны и расположены на отрезке [тн тз). Последовательно записывая соотношение Уьч1 = = (Š— тьэ~С)ГЕ для номеров я = О, 1,..., мы придем к следующему равенству: Ь'ь = П ( Š— тз С) Уо, у=! из которого сразу же вытекает, что [[Уа[[ < П (Е тус) [[10[[ з=| Но тогда из Равенства [[Уя[[ = [[Ха[[в вытекает, что [[Ел[[в < 9ь[[Яо[[в, где чь = П(Š— Т,С) . Следовательно, итерационный процесс схоу=! дится при условии, что последовательность (дь) стремится к нулю, причем тем быстрее, чем меньше величины дь.
Поскольку каждое значение чь является функцией параметров гн тш ..,, Ть, возникает задача построения оптимального набора итерационных параметров из условия минимума чь для фиксированного к. Перейдем к решению этой задачи. Предположим, что все собственные значения Л, матрицы С лежат на заданном сегменте [Тн тз). Учитывая симметрию матрицы С, мы приходим к следующей задаче оптимизации: найти пцп чь(тн тш.,., гь) = 1п1 = пн1п П(Š— т С) = ппп ~ гпах П(1 — т Л,) Поскольку все Л, лежат на отрезке [тн тз], то расширяя область, по которой берется максимум, мы получим, что ппп Чь(тн тш..., ть) < ппп гпах П(1 — ТД 1П1 1П1 1 ш<гау2 170 итн лционныв мвтоды гашения линейных систем [гл. 6 Полученная огрубленная задача имеет более простое решение.
Кроме того, при решении такой задачи не используется информация о конкретном расположении собственных значений Л, на отрезке [ун уз), а учитываются лишь границы этого отрезка. Такой подход позволяет построить набор оптимальных параметров для матриц произвольной структуры. Перейдем к решению указанной огрубленной задачи оптимизации. Положим ь () П( ) и заметим, что полинам РЯ удовлетворяет условию нормировки Р[0) = 1. С помощью замены переменной 1=-[у1+ уз — БЬ вЂ” уз)) = ' [1 — д ) = 1 тзь и у та — т11 1 — дрв 2 2 [, ув+.у~) тв где .у. — у1 2 Ро= то= уз + 'у~ и + 'уз мы отобразим отрезок у~ < 1 < уз в отрезок — 1 < Я < 1, причем точка 1 = 0 пеРеходит в точкУ Я = Яо = 1УРо > 1.
При такой замене рассматриваемая задача оптимизации переходит в следующую задачу: среди всех полиномов Рь[Ь') степени к, удовлетворяюи1их условию нормировки РРя[1[рв) = 1, найти такой, для котороео шах [Р(Я)[ минимален. )Я<1 Таким полиномом, как известно, является полинам Чебышева Рь[Я) = ть[Я).
[та[за))-', где р сов (й атосов Я) при [Я[ < 1, т,[з) = — [(д + ъУУ: 1)ь + [б' — ъУ~:1)") при [Я[ > 1. 2 Так как гпах [Ть(Я)[ = 1, то )в(<1 1 ппп пуах [РьЯ[ = — „, — —, 1,1 ъ<г<т~ 7'ь [Яв) 1 2р", т/та — ту т1 причем = аь =,„, где р1 = Для вычисления оптимального набора параметров будем исходить из равенства ь() П( ) Дь ь Ро МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ !7! Я =сов — — к (7=1,2,...,й), 2у — ! 2й ! — рва ! ! — ьрь то, учитывая, что ! = , получим — = ' (~ =1,2,... ть т ть ..., и; Я, определены выше). Итак, оптимальными значениями итерационных параметров будут значения 22.- ! где Я = сов — — — к 2к ть т' = 1, 2,..., й.
1+ пью~ Итерационный процесс с указанным оптимальным набором параметров называется чебышевским. Мы приходим к следующей теореме. Теорема 6.4. Если матрицгя А и В симметричны и положительно определенгл и если т!В < А < чзВ, то чебышевский итерационный процесс сходится и для погрешности Хь после выполнения й итераций справедлива оценка ~~~ь~~в < йь!~~о~~в, 2рь ~'ть — у'ъ где ць = — —,„при р! = —-- ! + р(ь ъ% + ~Ъ Если в качестве условия окончания процесса взять для заранее заданной е-точности требование !!Уь!!в < е!!Яо!!и, то из теоремы 6.4 получается для числа итераций й следующая оценка: к > кь(е) = = 1п(е/2)/1пр!.
Сравнивая эту оценку с установленной выше оценкой числа итераций для метода простой итерации Й > Йо(е) = 1пе/ 1и рь, мы получим, при условии, что величина Е = тя/~! мала, что ко(е) ге = 1п(2/е)/(2Я), /со(е) — 1п(1/е)/(2Е). Сравнение этих оценок указывает на преимущество чебышевского метода (в случае, когда величина Е = тз/т! мала). Описанный нами чебьнневгкнй метод известен еще с нача.ьа 50-х годов. Иногда его называют методом Ричардсона.
Следует отметить, что мы изучили этот метод для идеального вычислительного процесса с бесконечным числом знаков, в то время как на ЭВМ вычисления ведутся с конечным числом знаков, в связи с чем имеются числа, являющиеся машинной бесконечностью М и машинным нулем.
Если в пропессе вычислений на ЭВМ появляется число М, превосходящее М, то происходит аварийный останов машины (авост). С точки зрения идеального вычислительного процесса значения итерационных параметров т: можно упорядочить как угодно (любым из к! способов). Любые две последовательности итерационных па- ( ! — Ть! Х мы учли, что В = 7!. Приравняем корни полиномов, стоящих Рь в левой и в правой частях этого равенства. Так как полинам Рь(!) имеет корни 1. = 1(ту (~ = 1, 2,..., й), а поливом Ть(Я) имеет корни 172 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ (гл. 6 раметров (т,) с точки зрения идеального вычислительного процесса эквивалентны, ибо для них требуемая е-точность достигается за одно и то же число итераций.
Но при вычислении на ЭВМ различные последовательности параметров (т ) не эквивалентны. Для одних последовательностей значений (т,(Т может произойти аварийный останов машины вследствие роста промежуточных значений. Для других последовательностей значений (т,) аварийного останова машины не происходит, но в связи с немонотонным характером стремления к нулю погрешности 2ь, т.е. вследствие того, что норма матрицы Š— т С перехода от (т' — 1)-й итерации к уцй может быть больше единицы, для этой погрешности не справедлива установленная нами для идеальной ситуации оценка. Вследствие указанных обстоятельств возникает теоретическая проблема указать такой наилучший закон упорядочения значений Ттз), при котором для чебышевского метода было бы наименьшим влияние ошибок округления.
Исчерпывающее решение этой проблемы можно найти в книге Самарский А.А. Теория разностных схем. — Мл Наука, 1977. С.572 и далее. ф 2. Решение полной проблемы собственных значений методом вращений Ради простоты сначала будем рассматривать вещественную симметричную матрицу А, определяемую равенством (6.2). Заметим, что отыскание всех собственных значений и собственных векторов этой матрицы сводится к отысканию такой ортогональной матрицы Т, для которой произведение Р = Т'АТ (б.29) представляет собой диагональную матрицу.
В самом деле, если такая ортогональная матрица Т будет найдена, то диагональные элементы матрицы Р будут являться собственными значениями матрицы А, а столбцы матрицы Т будут являться соответствующими собственными векторами матрицы А ) . Введем в рассмотрение сферическую норму матрицы А: 'ЯА'б,ф = 2 1 а~ ') Для доказательства этого обозначим через Лц Лз,..., Ль диагональные элементы матрицы Р и положим еь = ) еь), где элементы е'„столбца еь удовлетворяют условию еь =- 0 при к А 1 и еь =- 1. Тогда, очевидно, Рея =- = Льеь, т, е, '!чАТеь = Льеь, и так как Т' = Т ', то АТеь = ЛьТеь. Следовательно, Теь являются собственными векторами матрицы А. Ц2) !73 метод ВРАщениЙ Тогда, очевидно, для диагональных элементов матрицы А будет справедливо неравенство Еп" < ЦАЦ'.
а=1 16.30) ! сов зг — в!и Эг т-я строка 16.31) яп |р у-я строка сов ~р 1 В целом метод вращений состоит в построении последовательности матриц А, А!, Ать ", А, А ч !, 16.32) каждая последующая из которых получается из предыдущей при помощи элементарного шага вида А,г! = Т,А,7',, Если для упрощения записи опустить индекс и и рассмотреть один такой шаг А = Т,' АТии осуществляемый с помощью матрицы (6.31), то для элементов й„ преобразованной матрицы А мы получим следу- ') В самом деле, если А = !7А77, а символ ФгС обозначает сумму всех элементов матрицы С, лежащих иа ее главной диагонали, то ЦАЦ = сг гА'А) = =- Е~ГКА'ТХ'17АК) =Гг (КА'АК) = ЦАК!/з~ — — Ц(АЯ)'//,.~ — — ! й'А'Ця —— = ге ГА7!г!'А') = гг(АА') = /!АЦ/,~ — — ЦА/1~~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
