В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 38
Текст из файла (страница 38)
причем это неравенство переходит в точное равенство только в случае, когда матрица А является диагональной. Заметим теперь, что при ортогональном преобразовании лгатрицы А гт.е. при преобразовании вида А = 17АЯ, где 17 и )7 ортогональные матрицы) сферическая норма этой лгалгриг!ьг не изменяетвя '). Отсюда следует, что от всех ортогональных преобразований матрицы А преобразование 16.29) отличается тем, что это преобразование делает максимальной сумму квадратов диагональных элементов преобразованной матрицы и минимальной — сумму квадратов всех внедиагональных элементов этой матрицы. Методом вращения называется итерационный метод, при котором указанная выше матрица Т находится как предел бесконечного произведения элементарных матриц вращения, каждая из которых имеет вид 174 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ (гл.
6 ющие выражения через элементы аы матрицы А: аы=аы прий~1,2,1~1',~; ап = оп сов!2+ а 1яп!р при1 фт, 1; ау1 = — аа яп !р + аа! соз 52 при 1 р! 1, 22 ан' — он сов!р+ а!1 51п!р при 1 т- 2, 1; а! = — амяп 52+ аы сов!р при 1 ф1, 12 (6.33) а„= (ан соз !р + а ., яп !р) соз ~о + (аы соз !р + ауз яп !р) яп !р; й ., = ( — а„юп 52 + аги соз !Р) соз Р + ( — а „Яп !Р + ау соз 52) Яп !Р; а = — ( — аи Яп Р + а ч соз 52) 51П !Р + ( — а, Яп 52+ ауу соз !Р) соз !Р; йпз = — (а„СОЗ !Р + а 1 ЯП !Р) ЯП !Р + (а, СОЗ Р + а ...
ЗШ !Р) СОЗ !Р. Из соотношений (6.33) и из условия симметричности матрицы А вытекает следующее легко проверяемое равенство: п и п п ~ ' ~ 'азь! — — ~ ' ~ а!21 — 2а', + — ((а . — ан) яп2!р+ 2ам сов 2!р)2. в=11=1 Ь=!1=! Ь~! ЬИ! (6.34) Из этого равенства вытекает, что для максимального уменьшения суммы квадратов всех внедиагональных элементов необходимо матрицу (6.31) выбрать так, чтобы были выполнены два требования: !) номера 1 и 1 выбрать так, чтобы квадрат элемента ачн оыл наибольшим среди квадратов всех недиагональных элементов матрицы А, т.
е, выбор номеров 1 и у подчинить условию апу = 1иаХ аЫ,' 2 !<Ь<п, !<1<п, ьФ 2) угол поворота !р в матрице (6.31) выбрать так, чтобы было справедливо равенство (а — ап) яп2!р+ 2а1 соз2!р = О. (6.35) Равенство (6.35) однозначно определяет угол !р, удовлетворяющий условиям 1д2!р = '", 'рр~ < —. (6.36) Это равенство позволяет вычислять соз 52 и яп !р по формулам соз!р = ( — [1+(1+ р ) '~ ]) !/2 51п !Р = зкп Р ( — [1 — (1 + Р ) ] ) где Р = 2а1 2!(ан — ауу). 42) !75 метод ВРАщении а~А! — — 2 2 а~ы — 2а~3, Ь=!1=! Ь=!1=! Аф! ЬФ1 (6.37) в котором аб представляет собой наибольший по модулю внедиагональный элемент матрицы. Теперь мы можем более точно сказать, что метод вращений состоит в построении последовательности матриц (6.32), каждая последующая из которых получается из предыдущей посредством ортогонального преобразования А„+! = Т,'.А,Т1, в котором матрица Тьу = Тг (р) выбирается так, чтобы были выполнены указанные выше два требования ') .
Докажем сходимость метода вращений. Обозначим символом Яа сумму квадратов всех внедиагональных элементов матрицы А, а символом аг 1 наибольший по модулю внедиагональный элемент этой (и) матрицы. Тогда в силу (6,37) справедливо равенство Я~ ! — — Я~ — 2 ~а!")1 ~ (6.38) Далее, поскольку общее число внедиагональных элементов матрицы А равно п(п — 1), а а1 1 — наибольший по модулю из этих ( ) элементов, то справедливо неравенство ~()~ ) эз (6.39) Из (6.38) и (6.39) вытекает неравенство п(п — 1)) (6.40) Последовательно используя неравенство (6.40), записанное для номеров О, 1,..., и, и обозначая через Яо = Яо(А) сумму квадратов всех внедиагональных элементов основной матрицы А, мы получим, что (6.41) ') Номера 1 и У на каждом шаге выбираются такими, чтобы наибольшим по модулю являлся внедиагональный элемент матрицы А с этими номерами. Заметим, что если матрица (6.31) выбрана так, что выполнены указанные выше требования 1) и 2), то равенство (6.34) переходит в следующее соотношение: 176 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ (гл.
6 Из неравенства (6.41) сразу же следует, что !Ип Язэ, = О, что и дар — рьр казывает сходимость метода вращений. В качестве приближенных значений собственных чисел матрицы А берутся диагональные элементы матрицы А„, а в качестве приближенных собственных векторов матрицы А берутся столбцы матрицы 761, Тбу,... Т;„у . Более точные результаты получены В.В. Воеводиным ') . Для случая, когда произвольная (не обязательно симметричная) матрица А не имеет жордановых клеток и все ее внедиагональные элементы являются величинами порядка е и малы по сравнению с числом р = = ппп ~Л; — Л ~, В.В. Воеводин получил следующие оценки: л,~л, а) для собственных значений оценку Л, =;, + ~ -'-'-"-' — "* -+ О( з) 1а* арр Н О, если Л;=Л, + О(ез), если Л; ф Л, Если А комплексная эрмитова матрица, то вместо матрицы (6.31) следует взять унитарную матрицу 1-я строка — 81 зр ею соз Зр 1 Т (~ Ф)= (6.42) у-я строка Мп!р е сов у 1 ') Воеводин В.В.
Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы. — Мс Наука, ! 966. (из указанной суммы исключаются значения р, принадлежащие множеству Н~ тех чисел у = 1, 2,..., и, для которых Л, = Л;); б) если Т вЂ” матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы А и Т = Е+ Н, где Е -- единичная матрица, то для элементов Ьг матрицы Н справедливы оценки гз2) 177 МЕТОД ВРАЩЕНИИ При этом вместо равенства (6.34) мы придем к равенству и и П и ) ' ) ~аы(~ = и2 ' иг'~аь1~~ — 2~а, ~~ + А=11=1 А=11=! АФ ЬМ1 2 +2~а11~ соз222 е'" — В1п222 ед2" "1+(а — ам)соз1рейпэ2е"" в котором через сг обозначен аргумент комплексного числа а;,.
Для максимального уменьшения суммы квадратов модулей внедиагональных элементов следует у матрицы (6.42) выбрать такие номера 1 и ~, чтобы элемент аау был наибольшим по модулю внедиагональным элементом матрицы А, а выбор углов р и ф подчинить условию ~аг ~(сов2 ЗР ег — ейп ~р еда~ ~ + (аеу — аы) сов 22 вш 1р его) = О. Последнее условие приводит к соотношениям ф = вся об, 1д212 = ", (~р( К вЂ”. 21а,1 ! 11 Доказательство сходимости метода вращений проводится точно так же, как и для случая вещественной матрицы. Глава 7 БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ В этой главе изучаются билинейные формы, определенные в вещественном линейном пространстве, т.е.
числовые функции двух векторных аргументов, линейные по каждому из этих аргументов. Подробно исследуются так называемые квадратичные формьг, представляющие собой билинейные формы, определенные для совпадающих значений их аргументов. Рассматриваются также некоторые приложения теории билинейных и квадратичных форм. ф 1. Билинейные формы А(х+ в, у) = А(х, у) + А(я, у), А(х, у + и) = А(х, у) + А(х, я), А(Лх, у) = ЛА(х, у), А(х, Лу) = ЛА(х, у). (7. 1) Иными словами, билинейная форма представляет собой числовую функцию А(х, у) двух векторных аргументов х и у, определенную на всевозможных векторах х и у вещественного линейного пространства 1, и линейную по каждому из этих аргументов ') . Простейшим примером билинейной формы может служить произведение двух линейных форм 1(х) и д(у), определенных на векторах х и у линейного пространства 1 .
') При этом часто говорят, что билинейная форма А(х, у) задана на линейном пространстве !.. 1. Понятие билинейной формы. Понятие билинейной формы в произвольном линейном пространстве было введено нами ранее в гл.5. Однако для удобства изложения в этом пункте мы напомним некоторые определения и простейшие утверждения. Определение 1. Числовая функция А(х, у), аргументами которой являются всевозможные векторы х и у вещественного линейного пространства 1,, называется билинейной формой, если для любых векторов х, у и в из 1 и любого вещественного числа Л выполняются следующие соотношения: !79 вилинеиные ФОРмы Определение 2.
Билинейная форма А(х, у) называется симметричной (кососимметричной), если для любых векторов х и у линейного пространства Б выполняются соотношения А(х, у) = А(у, х) (А(х, у) = — А(у, х)). (7.2) и В(х, у) = 2 Ь!1~!цу, Я у=! (7.3) где Ь;, = В(е„е ), (7.4) а С! и г! — координаты в базисе е векторов х и у соответственно. и и Доказательство. Пусть х = 2 с!е! и у = 2 ц е~ — разложег=! у=! ние векторов х и у по базису е. Так как форма В(х, у) линейна по каждому из аргументов х и у (см. (7.1)), то и и и В(х, У) = В ~ 2 С!е,„2 тЬ.е,) = 2 В(ео еу)СьЦ1 1=! 1=! и 1=! Таким образом, для формы В(х, у) справедливо представление (7.3) с выражениями (7.4) для коэффициентов Ьгу. Чтобы доказать однозначность этого представления, предположим, что для В(х, у) справедливо представление (7.3) с некоторыми коэффициентами Ь;,.
Беря в (7.3) х=е„у=еу мы сразу же получим выражения (7.4) для коэффициентов Ьны Теорема доказана. Определение. Матрица Ь Ь ... Ь В(е) = (Ьм) = Ь!Ьз...Ь (7.5) элементы Ь, которой определены с помощью соотношений (7.4), называется матрицей билинейной формы В(х, у) в данном базисе е. Замечание 1. Обратимся к вопросу о построении всех билинейных форм в данном конечномерном вещественном пространстве !.. Справедливо следующее утверждение: любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной билинейных форм (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
